一元二次方程的应用-几何问题数学九年级上册同步教学课件(人教版)

D.x2+3x+16=0
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P
沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从 点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的
围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的
长各是多少米？
25 m
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
A
D
(80 − 2x)x = 600.
整理得 x2 − 40x + 300 = 0，
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的 性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是 求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围
成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是
B
C
解得 x1 = 10，x2 = 30. 当 x = 10 时，80 − 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 − 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12
多少米？
A
D
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得 (58 − 2x)x = 200，
B
C
整理得 x2 − 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 当 x = 25 时，58 − 2x = 8；
当 x = 4 时，58 − 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
随堂演练
1. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它 的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( C ) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
一元二次方程的应用（几何问题）
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
合作探究
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同 的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积 是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、 右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确 到 0.1 cm)？
故左右边衬的宽为 7 6 3 3 1.4(cm). 4
21cm
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上
面的问题？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得
9x 7x 3 27 21. 4
解得
x1
3
3 2
m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，
在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别
为多少时，面积为 80 m2？
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m.
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80， 解得 x1 = 5，x2 = 8.
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
分析:这本书的长宽之比为 9 : 7 ，正中央的长方形的长宽
之比为 9 : 7 ，上下边衬与左右边衬的宽度 之比为 9 : 7.
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，
27 cm
由此得到上下边衬宽度之比为
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
封面面积的四分之三.
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
于是可列出方程 (27 18x)(2114x) 3 27 21，
4
整理，得 16x2 − 48x + 9 = 0.
方程的哪个根
27 cm
解得 x 6 3 3 . 4
符合实际意义? 为什么?
故上下边衬的宽为
9 6 3 3 1.8(cm)， 4
2
2
9(3 a) : 7(3 a)
9 : 7.
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
设上下边衬的宽均为 9x cm，左右边衬宽为 7x cm， 则中央的矩形的长为 (27−18x) cm，宽为 (21−14x) cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封 面面积的四分之一，则中央矩形的面积是
2x
可列方程为 (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 20 解得 x1 = 1，x2= 25(舍去). ∴ x = 1.
答：道路的宽为 1 m.
32
20−2x 32−2x
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，
余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使
整理，得 x2 − 52x + 100 = 0.
20 − x x 32 − x
32
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形 地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边的长为x m,可以得出平行于 墙的一边的长为(25-2x+1)m,由题意得x(25-2x+1)=80, 化简,得x2-13x+40=0, 解得x1=5,x2=8. 当x=5时,26-2x=16(m)>12 m(舍去); 当x=8时,26-2x=10(m)<12 m. 答:当所围矩形猪舍的长为10 m、宽为8 m时,猪舍面积为80 m2.
样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540
m2，则道路的宽为多少？
方法一：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 32 32x 20x x2 540. 20
x
还有其他列法吗？
32
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
方法二：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20
(32 − x)(20 − x) = 540.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
课堂小结
几何图形问 题与一元二 次方程
几何图形
运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系
类型
课本封面问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形平 移聚零为整， 方便列方程
动点面积问题
2. 公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区
域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了
2m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原
正方形空地的边长为x m,则可列方程为( C )
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18
小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留
两位小数）？
2x
20 cm 3x
32 cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
小路所占面积是矩形面积
的四分之一
2x
2x
3x
32−4x
剩余面积是矩形面积的
四分之三
4x
32−4x
20−6x 20 cm 20−6x
3
6x
x
32 cm
解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m、2x m，
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm².
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,有
解得 x1=x2=3
1 6 x2x 9
2
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
4.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的 住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂 直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.当所围矩形猪舍的长、 宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2?
，x2
3 3（舍去）. 2
27 cm
故上下边衬的宽度为
27 9x
27 9 3 3 2
54 27
3 1.8(cm)，
2
2
4
21cm
左右边衬的宽度为
21 7x
21 7 3 3 2
42 21
3 1.4(cm).
2
2
4
ห้องสมุดไป่ตู้
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
典例精析
例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同
答：道路的宽为 (18 - 274) m.
x
20-x
32-2x 32
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样
宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草
坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道
路的宽为多少？
2x
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.
住房墙
当 x = 5 时，26 − 2x = 16 > 12(舍去)；
1m
当 x = 8 时，26 − 2x = 10 < 12.
故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
方法点拨
围墙问题一般先设其中的一条边为 x，然后 用含 x 的代数式表示另一边，最后根据面积或 周长公式列方程求解. 需要注意联系实际问题选 择合适的解.
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示
的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540
m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜16.
2x
可列方程为 (32 − 2x)(20 − x) = 540.
解得 x1 = 18 - 274，
20
x2 = 18 + 274 34.55(舍去).
于是可列方程 (32 − 4x)(20 − 6x) = —43 ×20×32.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
10.71
(舍).
∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m.
下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
x
可列方程为 (32 − x)(20 − x) = 540，
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 m.
20-x 32-x
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）