2019年高考真题数学(上海卷) Word版含答案
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x 8．（5 分）在 ABC 中， AC 3 ， 3sin A 2sin B ，且 cos C 1 ，则 AB ．
4 9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，
其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．（5 分）如图，已知正方形 OABC ，其中 OA a(a 1) ，函数 y 3x2 交 BC 于点 P ，函数
当 a [t 4 ， t 9] 时，则 [t ， t 1] ， a
即当 a t 时， „ t 9 ；当 a t 9 时， … t ，即 t(t 9) ；
12．（5 分）已知集合 A [t ， t 1][t 4 ， t 9] ， 0 A ，存在正数 ，使得对任意 a A ，
都有 A ，则 t 的值是 1 或 3 ． a
【解答】解：当 t 0 时，当 a [t ， t 1] 时，则 [t 4 ， t 9] ， a
故答案为： 3 ．
11．（5
分）在椭圆
x2 4
y2 2
1 上任意一点 P
，Q与P
关于 x 轴对称，若有 F1PAF2P„
1 ，则 F1P
与
F2Q
的夹角范围为 [
arccos
1 3
，]
．
【解答】解：设 P(x, y) ，则 Q 点 (x, y) ，
S x | x bn , n N* ．
wk.baidu.com
（1）若 a1
0, d
2 3
，求集合 S
；
（2）若
a1
2
，求
d
使得集合
S
恰好有两个元素；
（3）若集合 S 恰好有三个元素： bnT bn ， T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的值．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
34.34
10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34
33.88
11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41
31.99
13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65
f 1(x) x (x 0) 故答案为 f 1 (x) x (x 0)
5．（4 分）设 i 为虚数单位， 3z i 6 5i ，则 | z | 的值为 【解答】解：由 3z i 6 5i ，得 3z 6 6i ，即 z 2 2i ， | z || z | 22 22 2 2 ．
cos F1P AF2Q F1P AF2Q
x2 2 y2 (x2 2 y2 )2 8x2
2 3y2 y2 2
3
y
2
8
2
[1
，
1 3
]
故 [ arccos 1 ， ] 3
故答案为：[ arccos 1 ， ] 3
1
y x 2 交 AB 于点 Q ，当 | AQ | | CP | 最小时，则 a 的值为 ．
11．（5 分）在椭圆 x2 y2 1 上任意一点 P ， Q 与 P 关于 x 42
轴 对 称 ， 若 有 F1PAF2P„ 1 ， 则 F1P 与 F2Q 的 夹 角 范 围
为 ．
12．（5 分）已知集合 A [t ， t 1][t 4 ， t 9] ， 0 A ，
存在正数 ，使得对任意 a A ，都有 A ，则 t 的值是 ． a
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．（5 分）下列函数中，值域为[0 ， ) 的是 ( )
x
【解答】解： (x
1 x
)6
展开式的通项为 Tr1
C6r
3r 6
x2
令
3r 2
9
0
得
r
2
，
故展开式的常数项为第 3 项： C62 15 ．
故答案为：15． 8．（5 分）在 ABC 中， AC 3 ， 3sin A 2sin B ，且 cos C 1 ，则 AB 10 ．
研究
函数 f (t) 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份．
20．（16 分）已知抛物线方程 y2 4x ， F 为焦点， P 为抛物线准线上一点， Q 为线段 PF 与 抛物线的交点，定义： d (P) | PF | ． | FQ |
（1）当 P(1, 8) 时，求 d (P) ； 3
1 0 ，则点 (
a1
,
1 a2
)
的轨迹是 ( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）如图，在正三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2, AB BC AC 3 ． （1）若 PB 的中点为 M ， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角； （2）求 P ABC 的体积．
椭圆 x2 y2 1 的焦点坐标为 ( 2 ， 0) ， ( 2 ， 0) ， 42
F1PAF2P„ 1 ，
x2 2 y2„ 1 ， 结合 x2 y2 1
42 可得： y2 [1 ， 2]
故 F1P 与 F2Q 的夹角 满足：
则直线 a 、 b 、 c 不可能满足以下哪种关系 ( )
A．两两垂直
B．两两平行
C．两两相交
D．两两异面
16．（5 分）以 (a1 ， 0) ， (a2 ， 0) 为圆心的两圆均过 (1, 0) ，与 y 轴正半轴分别交于 ( y1 ， 0) ，
( y2 ， 0)
，且满足 lny1
lny2
其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表
示） 【解答】解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 4A33 24 种， 故答案为：24． 10．（5 分）如图，已知正方形 OABC ，其中 OA a(a 1) ，函数 y 3x2 交 BC 于点 P ，函数
（2）证明：存在常数 a ，使得 2d (P) | PF | a ；
（3） P1 ， P2 ， P3 为抛物线准线上三点，且 | P1P2 || P2 P3 | ，判断 d (P1) d (P3 ) 与 2d (P2 ) 的关 系．
21 ．（ 18 分 ） 已 知 等 差 数 列 {an} 的 公 差 d (0 ， ] ， 数 列 {bn} 满 足 bn sin(an ) ， 集 合
故答案为： 2 2 ．
6．（4
分）已知
2 4
x x
2 a
y 1 2y a
，当方程有无穷多解时，
a
的值为
2
．
【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，
可对① 2 ，得： 4x 4 y 2 ．
再与②式比较，可得： a 2 ．
故答案为： 2 ． 7．（5 分）在 (x 1 )6 的展开式中，常数项等于 15 ．
2．
故答案为：2．
3．（4 分）不等式 | x 1| 5 的解集为 (6, 4) ．
【解答】解：由 | x 1| 5 得 5 x 1 5 ，即 6 x 4
故答案为：{6 ， 4) ．
4．（4 分）函数 f (x) x2 (x 0) 的反函数为 f 1(x) x (x 0) ． 【解答】解：由 y x2 (x 0) 解得 x y ，
个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份 卫生总费
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
用（亿 绝对数（亿元） 占卫生总费用 绝对数（亿元） 占卫 绝对数 占卫
元）
比重 (%)
生 （亿 生 总 元） 总
费
费
用
用
比
比
重
重
(%)
(%)
2012 28119.00 9656.32
29.27
16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化
趋势：
（2）设 t
1 表示
1978
年，第 n 年卫生总费用与年份 t 之间拟合函数
f
(t)
357876.6053 1 e6.44200.1136t
18．（14 分）已知数列{an} ， a1 3 ，前 n 项和为 Sn ．
（1）若{an} 为等差数列，且 a4 15 ，求 Sn ；
（2）若{an} 为等比数列，且
lim
n
Sn
12
，求公比
q
的取值范围．
19．（14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生 总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年 2015 年我国卫生货用中
A． y 2x
1
B． y x2
C． y tan x
D． y cos x
14．（5 分）已知 a 、 b R ，则“ a2 b2 ”是“ | a || b | ”的 ( )
A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
15．（5 分）已知平面 、 、 两两垂直，直线 a 、 b 、 c 满足： a ， b ， c ，
B {3 ，5， 6} ，
A B {3 ， 5}．
故答案为：{3 ， 5}．
2．（4
分）计算
lim
n
2n2 3n 1 n2 4n 1
2 ．
【解答】解：
lim
n
2n2 3n 1 n2 4n 1
lim
n
2 1
3
n 4
n
1 n2 1 n2
数学答案
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1．（4 分）已知集合 A {1 ，2，3，4， 5}， B {3 ，5， 6} ，则 A B {3 ， 5} ．
【解答】解：集合 A {1 ，2，3，4， 5}，
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1．（4 分）已知集合 A {1 ，2，3，4， 5}， B {3 ，5， 6} ，则 A B ．
2．（4 分）计算 lim 2n2 3n 1 ． n n2 4n 1
4 【解答】解：3sin A 2sin B ， 由正弦定理可得： 3BC 2AC ， 由 AC 3 ，可得： BC 2 ， cos C 1 ，
4 由余弦定理可得： 1 32 22 AB2 ，
4 232 解得： AB 10 ．
故答案为： 10 ． 9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，
1
y x 2 交 AB 于点 Q ，当 | AQ | | CP | 最小时，则 a 的值为 3 ．
【解答】解：由题意得： P 点坐标为 ( a ， a) ， Q 点坐标为 (a, 1 ) ，
3
a
| AQ | | CP | a 1… 2 1 ，
3a
3
当且仅当 a 3 时，取最小值，
3．（4 分）不等式 | x 1| 5 的解集为 ．
4．（4 分）函数 f (x) x2 (x 0) 的反函数为 ．
5．（4 分）设 i 为虚数单位， 3z i 6 5i ，则 | z | 的值为
2x 2 y 1 6．（4 分）已知 4x a2 y a ，当方程有无穷多解时， a 的值为 ． 7．（5 分）在 (x 1 )6 的展开式中，常数项等于 ．
4 9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，
其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．（5 分）如图，已知正方形 OABC ，其中 OA a(a 1) ，函数 y 3x2 交 BC 于点 P ，函数
当 a [t 4 ， t 9] 时，则 [t ， t 1] ， a
即当 a t 时， „ t 9 ；当 a t 9 时， … t ，即 t(t 9) ；
12．（5 分）已知集合 A [t ， t 1][t 4 ， t 9] ， 0 A ，存在正数 ，使得对任意 a A ，
都有 A ，则 t 的值是 1 或 3 ． a
【解答】解：当 t 0 时，当 a [t ， t 1] 时，则 [t 4 ， t 9] ， a
故答案为： 3 ．
11．（5
分）在椭圆
x2 4
y2 2
1 上任意一点 P
，Q与P
关于 x 轴对称，若有 F1PAF2P„
1 ，则 F1P
与
F2Q
的夹角范围为 [
arccos
1 3
，]
．
【解答】解：设 P(x, y) ，则 Q 点 (x, y) ，
S x | x bn , n N* ．
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（1）若 a1
0, d
2 3
，求集合 S
；
（2）若
a1
2
，求
d
使得集合
S
恰好有两个元素；
（3）若集合 S 恰好有三个元素： bnT bn ， T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的值．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
34.34
10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34
33.88
11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41
31.99
13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65
f 1(x) x (x 0) 故答案为 f 1 (x) x (x 0)
5．（4 分）设 i 为虚数单位， 3z i 6 5i ，则 | z | 的值为 【解答】解：由 3z i 6 5i ，得 3z 6 6i ，即 z 2 2i ， | z || z | 22 22 2 2 ．
cos F1P AF2Q F1P AF2Q
x2 2 y2 (x2 2 y2 )2 8x2
2 3y2 y2 2
3
y
2
8
2
[1
，
1 3
]
故 [ arccos 1 ， ] 3
故答案为：[ arccos 1 ， ] 3
1
y x 2 交 AB 于点 Q ，当 | AQ | | CP | 最小时，则 a 的值为 ．
11．（5 分）在椭圆 x2 y2 1 上任意一点 P ， Q 与 P 关于 x 42
轴 对 称 ， 若 有 F1PAF2P„ 1 ， 则 F1P 与 F2Q 的 夹 角 范 围
为 ．
12．（5 分）已知集合 A [t ， t 1][t 4 ， t 9] ， 0 A ，
存在正数 ，使得对任意 a A ，都有 A ，则 t 的值是 ． a
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．（5 分）下列函数中，值域为[0 ， ) 的是 ( )
x
【解答】解： (x
1 x
)6
展开式的通项为 Tr1
C6r
3r 6
x2
令
3r 2
9
0
得
r
2
，
故展开式的常数项为第 3 项： C62 15 ．
故答案为：15． 8．（5 分）在 ABC 中， AC 3 ， 3sin A 2sin B ，且 cos C 1 ，则 AB 10 ．
研究
函数 f (t) 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份．
20．（16 分）已知抛物线方程 y2 4x ， F 为焦点， P 为抛物线准线上一点， Q 为线段 PF 与 抛物线的交点，定义： d (P) | PF | ． | FQ |
（1）当 P(1, 8) 时，求 d (P) ； 3
1 0 ，则点 (
a1
,
1 a2
)
的轨迹是 ( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）如图，在正三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2, AB BC AC 3 ． （1）若 PB 的中点为 M ， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角； （2）求 P ABC 的体积．
椭圆 x2 y2 1 的焦点坐标为 ( 2 ， 0) ， ( 2 ， 0) ， 42
F1PAF2P„ 1 ，
x2 2 y2„ 1 ， 结合 x2 y2 1
42 可得： y2 [1 ， 2]
故 F1P 与 F2Q 的夹角 满足：
则直线 a 、 b 、 c 不可能满足以下哪种关系 ( )
A．两两垂直
B．两两平行
C．两两相交
D．两两异面
16．（5 分）以 (a1 ， 0) ， (a2 ， 0) 为圆心的两圆均过 (1, 0) ，与 y 轴正半轴分别交于 ( y1 ， 0) ，
( y2 ， 0)
，且满足 lny1
lny2
其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表
示） 【解答】解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 4A33 24 种， 故答案为：24． 10．（5 分）如图，已知正方形 OABC ，其中 OA a(a 1) ，函数 y 3x2 交 BC 于点 P ，函数
（2）证明：存在常数 a ，使得 2d (P) | PF | a ；
（3） P1 ， P2 ， P3 为抛物线准线上三点，且 | P1P2 || P2 P3 | ，判断 d (P1) d (P3 ) 与 2d (P2 ) 的关 系．
21 ．（ 18 分 ） 已 知 等 差 数 列 {an} 的 公 差 d (0 ， ] ， 数 列 {bn} 满 足 bn sin(an ) ， 集 合
故答案为： 2 2 ．
6．（4
分）已知
2 4
x x
2 a
y 1 2y a
，当方程有无穷多解时，
a
的值为
2
．
【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，
可对① 2 ，得： 4x 4 y 2 ．
再与②式比较，可得： a 2 ．
故答案为： 2 ． 7．（5 分）在 (x 1 )6 的展开式中，常数项等于 15 ．
2．
故答案为：2．
3．（4 分）不等式 | x 1| 5 的解集为 (6, 4) ．
【解答】解：由 | x 1| 5 得 5 x 1 5 ，即 6 x 4
故答案为：{6 ， 4) ．
4．（4 分）函数 f (x) x2 (x 0) 的反函数为 f 1(x) x (x 0) ． 【解答】解：由 y x2 (x 0) 解得 x y ，
个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份 卫生总费
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
用（亿 绝对数（亿元） 占卫生总费用 绝对数（亿元） 占卫 绝对数 占卫
元）
比重 (%)
生 （亿 生 总 元） 总
费
费
用
用
比
比
重
重
(%)
(%)
2012 28119.00 9656.32
29.27
16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化
趋势：
（2）设 t
1 表示
1978
年，第 n 年卫生总费用与年份 t 之间拟合函数
f
(t)
357876.6053 1 e6.44200.1136t
18．（14 分）已知数列{an} ， a1 3 ，前 n 项和为 Sn ．
（1）若{an} 为等差数列，且 a4 15 ，求 Sn ；
（2）若{an} 为等比数列，且
lim
n
Sn
12
，求公比
q
的取值范围．
19．（14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生 总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年 2015 年我国卫生货用中
A． y 2x
1
B． y x2
C． y tan x
D． y cos x
14．（5 分）已知 a 、 b R ，则“ a2 b2 ”是“ | a || b | ”的 ( )
A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
15．（5 分）已知平面 、 、 两两垂直，直线 a 、 b 、 c 满足： a ， b ， c ，
B {3 ，5， 6} ，
A B {3 ， 5}．
故答案为：{3 ， 5}．
2．（4
分）计算
lim
n
2n2 3n 1 n2 4n 1
2 ．
【解答】解：
lim
n
2n2 3n 1 n2 4n 1
lim
n
2 1
3
n 4
n
1 n2 1 n2
数学答案
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1．（4 分）已知集合 A {1 ，2，3，4， 5}， B {3 ，5， 6} ，则 A B {3 ， 5} ．
【解答】解：集合 A {1 ，2，3，4， 5}，
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1．（4 分）已知集合 A {1 ，2，3，4， 5}， B {3 ，5， 6} ，则 A B ．
2．（4 分）计算 lim 2n2 3n 1 ． n n2 4n 1
4 【解答】解：3sin A 2sin B ， 由正弦定理可得： 3BC 2AC ， 由 AC 3 ，可得： BC 2 ， cos C 1 ，
4 由余弦定理可得： 1 32 22 AB2 ，
4 232 解得： AB 10 ．
故答案为： 10 ． 9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，
1
y x 2 交 AB 于点 Q ，当 | AQ | | CP | 最小时，则 a 的值为 3 ．
【解答】解：由题意得： P 点坐标为 ( a ， a) ， Q 点坐标为 (a, 1 ) ，
3
a
| AQ | | CP | a 1… 2 1 ，
3a
3
当且仅当 a 3 时，取最小值，
3．（4 分）不等式 | x 1| 5 的解集为 ．
4．（4 分）函数 f (x) x2 (x 0) 的反函数为 ．
5．（4 分）设 i 为虚数单位， 3z i 6 5i ，则 | z | 的值为
2x 2 y 1 6．（4 分）已知 4x a2 y a ，当方程有无穷多解时， a 的值为 ． 7．（5 分）在 (x 1 )6 的展开式中，常数项等于 ．