优选法与试验设计初步

（五）其他几种常见的优选法
2.盲人爬山法 • 一种采用小步调整策略的优 选法，其依据的原理就是“ 单峰函数的最佳点与好点在 差点的同侧”。 • 教学中介绍这种方法时，应 注意结合能表示上述原理的 单峰函数的图像，借图说话 ，使学生感受到它的合理性 。
（五）其他几种常见的优选法
3.分批试验法 • 均分分批试验法 第一批 第二批 • 比例分割分批试验法 第一批 第二批
本专题知识框架优选法试验设计初步单因素双因素单峰情形多峰情形多因素正交试验设计0618法分数法对分法纵横对折法单峰情形从好点出发法平行线法双因素盲人爬山法分批试验法盲人爬山法10课时分配教学时间约为18课时分配如下
普通高中课程标准实验教科书
选修4-7 选修 优选法与试验 设计初步
简 介
人民教育出版社中数室 Байду номын сангаас唯一
编写意图与教学建议
1.什么叫优选法
–引言中的两个问题中的商品价格竞猜游戏，蒸 馒头为“什么叫优选法” 作铺垫。 –主要涉及几个感念：
• 最佳点 • 优选问题 • 优选法
三个概念相互联系，只有了解了前面的概念 才能了解后面的概念，教科书正是以这种顺序 循序渐进地提出它们的。
编写意图与教学建议
– 试验一词的理解。 – 多举优选问题的实例，如电饭锅做米饭，蒸 馒头，查电路断点，商品定价等，帮助学生 了解优选问题广泛存在，优选法大有用武之 地，并形成对试验的广义理解。 – 关于探求池塘最深点的例子，在假设“池塘 底部的高低变化犹如一个倒过来的单峰小山 ”的前提下，利用双因素方法，以1m为试验 区间的条件下得出的结论。并建议在本讲第 六个问题“多因素方法”的学习中，能回顾 这个问题，让学生自己讨论如何解决它。
（二）单峰函数
• 炮弹飞行问题引入 • 这是一个有具体表达式的优选问题
y = x tan θ −
1 g x2 2 2 v cos 2 θ
v2 x = sin 2θ g
图1-1
图1-2
（二）单峰函数
• 单峰函数的定义中注意的两个要点：
– f(x)在[a,b]上只有唯一的最大（小）值点C; – f(x)在[a,C]上递增（减），在[C，b]上递减（增）。
（四）分数法
• 案例1 在配置某种清洗液时，需要加入 某中材料。经验表明，加入量大于130ml 肯定不好。用150ml的锥形量杯计量加入 量，该量杯的量程分为15格，每个代表 10ml。用试验法找出这种材料的最优加 入量。 • 两个目的：
–0.618法不能用于一切优选问题； –结合具体问题介绍分数法。
内容与要求
1.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实 生活中存在着大量的优选问题。 2.通过分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数 法、0.618法及其适用范围，可以利用计算机（ 或计算器）进行试验，并能思考和尝试运用这些 方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。 3.了解斐波那契数列{Fn}，理解在试验次数确定的 情况下分数发最佳性的证明，通过连分数知道 Fn-1/Fn和黄金分割的关系。 4.通过一些具体的实例，使学生知道对分法、爬山 法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的 处理方法。 5.通过丰富的实例，了解多因素优选问题，了解处 理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选 的思想方法。
内容与要求
6.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实 生活中存在着大量的试验设计问题。 7.通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4） 的分析，理解运用正交试验设计方法解决简单问 题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运 用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。 8.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内 容：（1）知识的总结。对本专题的整体结构和内 容的理解，对试验设计方法及其意义的认识。（2 ）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、 独立思考，对某些内容、某些结果和应用进行拓 展和深入。（3）对本专题的感受、体会、看法。
（五）其他几种常见的优选法
1.对分法 • 案例1 查找输电线路故障
• 类比二分法 • 教学中应结合具体案例，强调这种操作 比较简单，选试点的方法是单一的选取 中点。这一类试验问题的特点是有已知 的试验标准，且能根据一次试验的结果 确定下次试验的选择方向。
（五）其他几种常见的优选法
• 案例2 价格竞猜，建议教学中 让学生独立地分析此案例，然后 进行讨论交流。 • 馒头放碱量。
第一讲 优选法
优选法的概念 单峰函数 黄金分割法—0.618法 分数法 其他几种常用的优选法 多因素方法
教学重点与难点
• 重点： 单因素问题的0.618法和分数法。 • 难点： 1.认识0.618法和分数法的原理； 2.认识分数法的最优性。
什么叫优选法
• 最优化问题 – 为了使某些目标（如产量、质量或经济指标等）达 到最好的结果（如高产、优质、低消耗），就要找 出使此目标达到最优的有关因素（或变量）的某些 值。这类问题在数学上称为最优化问题。 • 近代解决最优化问题的方法，大致分为两大类： – 一类是间接最优化（或称解析最优化）方法，另一 类是直接最优化（或称试验最优化）。所谓间接最 优化方法，就是要求把所研究的对象（如物理或化 学过程）用数学方程描述出来，然后再用数学解析 方法求出起最优解。对于研究对象很难用数学形式 来表达，或者表达式很复杂，只能直接通过试验， 根据试验结果的比较而求得最优解，就是直接最优 化方法。
（1） 图1-4
（2）
（三）黄金分割法—0.618法
• 黄金分割数的导出 • 教材举例说明试验效率的问题，并配了图1-5.
图1-5 • 为了合理选取试验点，需要注意两点：
– 每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间 的中心对称； – 每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应为相 同。
（三）黄金分割法—0.618法
小 大
xm
xn
概括为“加两头，减中间”，教学中应注意使学生理解 “加两头，减中间”的确切含义。 • 这部分内容，教学除教师讲解和演示外，还应带领学生 实际操作，使其在了解做法依据的道理的基础上熟悉操 作过程。
（三）黄金分割法—0.618法
• 如果两次试验结果一样，在一般情况下，仅保留 中间范围，会不会划去最佳点呢？这个问题可以 引导学生根据单峰函数的定义找出答案。 • 精度的讨论把有关不等式、指数、对数的知识与 0.618法结合起来，教学中可以让学生对这个问 题进行自主探究。 • “阅读材料 黄金分割研究史”拓展性学习的材 料，可以供学生自学，也可以在教学中将其中一 些内容穿插与讲授之中，以丰富教学内容，传播 数学文化。
（四）分数法
• 分数法最优性（在单峰函数的前提下）
– 通过n次试验，最多能从（ Fn+1－1）个试验点中保 证找出最佳点； – 只有用分数法才能通过n次试验保证从（ Fn+1－1 ） 个试点中找出最佳点。
上两结论可以推出分数法的最优性，即寻找单 峰函数的最佳点时，用分数法安排试验最节约 试验次数。 • 教学中要介绍这些结论，让学生认识到分数法 最优性的含义，并能初步了解它的推导原理。 但不需要进行具体的证明，详细证明可见附录 二。
优选法是合理地安排试验以求迅 速找到最佳点的数学方法。试验设计 也是一种数学方法，一般来说，它是 考虑在多因素情况下安排试验的方法 ，它可以帮助人们通过较少的试验次 数得到较好的因素组合，形成较好的 设计方案。
本专题将结合具体实例，初步地 介绍单因素、双因素的优选法和多 因素的正交试验设计方法，并对方 法给予简单的说明，帮助学生理解 这些方法的基本思想，并能思考和 解决一些简单的实际问题。
优选法与试验设计初步
• 第一讲 优选法 • 第二讲 试验设计初步
优选法
• 第一讲 优选法
–一 什么叫优选法 –二 单峰函数 –三 黄金分割法—0.618法 –四 分数法 –五 其他几种常用优选法 –六 多因素方法
试验设计
• 第二讲 试验设计初步
–一 正交试验设计法 –二 正交试验的应用
本专题知识框架
y f(x)
图1-3 图1-4 • 教学中应注意： 1.结合图像1-3对上述两点作直观解释，以帮助学生理解 它们。但不能用图像代替单峰函数定义的文字。 2.在给出单峰函数的定义后，要补充说明“我们规定，区 间[a,b]上的单调（递增或递减）函数也是单峰函数。” 需要指出：这样的函数的最大（最小）值点是区间端点。
o
x1 C x2
b
x
（二）单峰函数
• 建议教学中能结合例子说明单因素问题、目标函数等 概念，使学生能认识它们的意义。 • “若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点 的同侧”，这是缩小试验范围时，保留好点所在部分 的重要理论根据。可以通过单峰函数的图像认识外， 还可以利用单峰函数定义，根据函数的单调性加以证 明。
（四）分数法
• 渐进分数列：1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,…, Fn/Fn+1, … • 案例1中设计连分数与斐波那契数列，应注意教材中连 分数的表达式（2）与数列（3）之间的联系。教学中不 要对连分数与斐波那契数列进行过多的引申介绍和讨论 ，够用即可，而要以介绍分数法本身为重点，注意斐波 那契数列的表示，第一项为F0，是为了后面“做k次试 验时用Fk/Fk+1代替0.618，其精度为1/Fk+1 ”的表述。 • 除了以分数代替黄金分割常数外，分数法和0.618法并 无其他不同，第一点确定后，后续试点口可以用“加两 头，减中间”的方法来确定。 • 案例1对试验范围的划分恰好与斐波那契数有关的类型 ，试验范围恰好为13项，于是可以直接用F5/F6代替 0.618.案例2代表了另一种类型，通过调整试点的个数 来选择代替0.618的近似分数，是在案例1基础上的拓展 。
说明与建议：
1.本专题要求学生掌握一些优选的方法， 尽管没有给予严格的数学证明，目的是 让学生理解这些方法的思想和实质。 2.作为一门应用课程，有条件的地方应让 学生用所学的方法亲自做一些试验，以 便更好地掌握这些方法。 3.使学生认识到，应根据问题的具体情况 讨论采用何种方法更为有效，并要与具 体问题的专业知识相结合。同时，要能 比较不同方法的利弊和适用范围。
什么叫优选法
• 本书介绍的优选法都是直接最优化方法。它是以数 学原理为指导，用尽可能少的试验次数，迅速求得 最优解的方法。 • 在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、 低消耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称 最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选 择问题，称为选优问题。 • 优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用 数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速 找到最佳点的科学试验方法。 • 20世纪60年代，著名数学家华罗庚亲自组织推广了 优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取 得了可喜的成果。
0.618法 单峰情形 单因素 多峰情形 优选法 分数法 对分法 盲人爬山法 分批试验法 纵横对折法 双因素 单峰情形 从好点出发法 平行线法 双因素盲人爬山法 试验设计初步 多因素 正交试验设计
课时分配
教学时间约为18课时，分配如下：
• 第一讲 优选法 • 第二讲 试验设计初步 • 学习总结报告 约10课时 约6课时 约2课时
• 用折纸的方法，可以简化计算过程，这样做是使用 几何操作方法来保证以下两点：
– 每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间 的中心对称； – 每次社区的区间长占舍去钱的区间长的比例数应相同 。
（三）黄金分割法—0.618法
试验点的选取： x1=小+0.618× (大－小)； x2=小+大－x1。 一般：xn=小+大－xm。 •
• 根据上面的两个原则，得出应满足 (b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)
图1-6 图1-7 • 教科书是对一般的情况进行推导，为了简单起见，可以假 设试验区间为[0,1].
(1-x)/1=(2x-1)/x,即x2+x-1=0,得x=0.618.
（三）黄金分割法—0.618法
• 案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使 炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某 种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的量在 1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它 的最优加入量。
（五）其他几种常见的优选法
4.多峰的情形 • 多峰情形不是教学的重点，而是对 单峰情形的进一步拓展。教学中应 重在使学生认识到化多峰为单峰是 解决多峰问题的基本思路。
（六）多因素方法
1.纵横对折法
2.从好点出发法 3.平行线法 4.平行线加速法 5.双因素盲人爬山法