2019-2020学年第一学期期末教学质量检测试题试卷—附答案

（Ⅰ）求 p 的值；
（Ⅱ）若直角三角形 APB 的三个顶点在抛物线 C 上，且直角顶点 P 的横坐标为 1，过点 A 、
B 分别作抛物线 C 的切线，两切线相交于点 Q .
① 若直线 AB 经过点 (0,3) ，求点 Q 的纵坐标； ② 求 SPAB 的最大值及此时点 Q 的坐标.
SQAB
y B
A
P
的前 n 项和为Tn ，满足 b1 = −1， bn+1 = TnTn+1(n N*) .
（Ⅰ）求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式；
（Ⅱ）记 cn =
an Tn
， n N * ，证明： c1 + c2 +
+ cn
2 n(2n +1) . 4
21.（本题满分 15 分）已知抛物线 C : x2 = 2 py( p 0) ，直线 y = x 截抛物线 C 所得弦长为 2 .
1
1
主视图
2 2 侧视图
积是（单位：cm3）
A. 2
B. 6
C.10
D.12
5. 设 a, b 是实数，则“ a2 + b2 1”是“| a | + | b | 1 ”的
俯视图
第 4 题图
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
高三期末考试数学试题1 / 4
6. 在同一坐标系中，函数 f (x) = xa (x 0) 与 g(x) = ax+1 的图象可能是
，则满足“对于任意给定的不等于 1 的实
t2x2 + (t +1)x, x 1
数 x1 ，都有唯一的实数 x2 (x2 x1) ，使得 f (x1) = f (x2 ) ”的实数 t 的值
A.不存在
B.有且只有一个
C.有且只有两个
D.无数个
10．已知数列 {an } 满足
0
a1
1，
an+1
=
4an + t an + 2
18. （本题满分 14 分）已知函数 f (x) = sin(2x − ) − 2 3 sin2 x . 3
（Ⅰ）求 f ( 3 ) 的值； 4
（Ⅱ）求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间.
19. （本题满分 15 分）如图，三棱锥 A − BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， CBD = 90 ，
4
23
4
= − cos − 2 3 sin2 = − 1 − 3 ．
3
42
………………6 分
（2） f (x) = sin 2x cos − cos 2x sin − 2 3 1− cos 2x
3
3
2
………………8 分
= 1 sin 2x + 3 cos 2x − 3 = sin(2x + ) − 3 ，
=
1 n(n −1)
,n
2,
………………7 分
（2）由（1）知 cn = n(2n −1) ，用数学归纳法： c1 + c2 +
+ cn
2 n(2n +1) 4
①当 n = 1 时，左边=1，右边= 3 2 ，不等式成立， 4
………………8 分
②假设 n = k 时成立，即 c1 + c2 + 则当 n = k +1时，
.
3
14. 在 ABC 中， BC = 4 ， B = 135 ，点 D 在线段 AC 上，满足 BD ⊥ BC ，且 BD = 2 ，
则 cos A =
， AD =
.
15.
已知双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a,b 0) 的右焦点 F (c, 0）关于直线 y =
b x 的对称点在直线 a
+ ck
2 k(2k +1) ， 4
………………9 分
c + c2 +
+ ck + ck+1
2 k(2k +1) + 4
(k +1)(2k +1) =
2 [k(2k +1) + 4 4
(k +1)(k + 1)] 2
= 2 [k(2k +1) + 4 k 2 + 3 k + 1 ]
4
22
………………11 分
C.{x 0 x 1}
D.{x −1 x 0}
y 0
2.
若实数
x,
y
满足约束条件
y
x
，则 z = x − 2 y 的最大值是
x + 2 y − 3 0
A. −1
B. 0
C. 2
D. 3
3. 双曲线 x2 − y2 = 1的焦点到其渐近线的距离是 24
A.1
B. 2
C. 2
D. 3
4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体
O
x
Q
22．（本题满分 15 分）设函数 f (x) = e−ax + 2x (a 0) . （Ⅰ）当 a = 2 ，求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）当 a 11 时，若对任意 x (−, 0] ，均有 f (x) a (x2 +1) ，求 a 的取值范围．
2
2
高三期末考试数学试题4 / 4
第一学期期末教学质量检测
高三数学参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
D
C
A
B
A
C
B
A
A
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
所以 n = −3 ,即点 Q 的纵坐标为 −3 .
………………9 分
②由题设知 APB = ,即 PA PB = 0 2m + n + 2 = 0 . 2
………………11 分
则
SPAB SQAB
=
|2m − n −1| |2m2 − n − n|
x = − a2 上，则该双曲线的离心率为
.
c
16．已知正三角形 ABC 的边长为 4 ，P 是平面 ABC 内一点，且满足 APB = ，则 PB AC 3
的最大值是
，最小值是
.
17. 设实数 a,b 满足1 b a 3 ，则 a2 + b2 −1 的最大值为
．
ab
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
.
12. 设直线 y = kx 与圆 C : (x − 2)2 + y2 = 1 相交于 A, B 两点，若 |AB |= 3 ，则 k =
，
当 k 变化时，弦 AB 中点轨迹的长度是
.
高三期末考试数学试题2 / 4
13. 设随机变量 的分布列是
−1
0
1
P
a
1
b
3
若 E = 1 ，则 b =
， D =
M 是 AB 的中点，记直线 A1M 与直线 BC 所成的角为 ，直线 A1M 与平面 ABC 所成的角
为 ，二面角 A1 − AC − B 的平面角为 ，则
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
9.
已知函数
f
(
x)
=
1 3
x3
− (t2
− t + 2)x2
+ tx +1, x 1
A
所以 BC ⊥ AD ，
………………3 分
又由于 EA = EB = ED ，所以 AD ⊥ BC ，
BG
E
HF
C
所以 AD ⊥ 平面 ABC ，所以 AD ⊥ AC .………………7 分 D （2）取 BE 中点 G ，连接 GF 与 CE 相交于 H ，由于平面
ABD ⊥ 平面 BCD ，且 AG ⊥ BD ，所以 AG ⊥ 平面 BCD ，
E, F 分别是 BD,CD 的中点，且 AB = BE = AE = BC .
A
（Ⅰ）证明： AC ⊥ AD ；
（Ⅱ）求 AF 与平面 ACE 所成角的余弦值.
B
D E
F
C
高三期末考试数学试题3 / 4
20. （本题满分 15 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，a2 = −3 ，S4 = 2(a5 +1) ，数列{bn}
由题设知 n = 2x1m − x12 ， n = 2x2m − x22 ，
………………5 分
即 x1 ， x2 是方程 x2 − 2mx + n = 0 的两根，于是 x1 + x2 = 2m ， x1x2 = n . ………………7 分
故直线 AB : 2mx − y − n = 0 .又因为直线 AB 经过点 (0,3) ，
y
y
y
y
1
1
1
1
O
1x
A
O
1x
B
O
1x
C
O
1x
D
7. 已知多项式 x6 = a0 + a1(1− x) + a2 (1− x)2 + + a6 (1− x)6 ，则 a4 =
A. −15
B. −20
C.15
D. 20
8. 斜三棱柱 ABC − A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形，侧面 ABB1A1 是矩形，且 2AA1 = 3AB ，
2
2
3
………………10 分
所以 f (x) 的最小正周期为T = ，
………………12 分
由 2k − 2x + 2k + 得， k − 5 x k + ，
2
3
2
12
12
所以函数 f (x) 的递增区间是[k − 5 , k + ](k z) ．
12
12
………………14 分
19．解：（1）因为平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，且 BC ⊥ BD ，所以 BC ⊥ 平面 ABD ，
= 2 [2k 2 + k + 4 (k + 3)2 − 1 ] 2 (2k 2 + k + 4k + 3) = 2 (k +1)(2k + 3) ． ……13 分
4
4 16 4
4
即当 n = k +1 时，不等式也成立．
………………14 分
由①，②可知，不等式 c1 + c2 +
+ cn
2 n(n +1) 对任意 n N * 都成立． 2
…………15Байду номын сангаас分
21．解：
（1）
x
y=x 2 = 2 py
，解得两交点为
(0,
0)
，
(2
p,
2
p)
.
………………2 分
所以 (2 p − 0)2 + (2 p − 0)2 = 2 ， p = 1 . 2
………………4 分
（2）①设点 A(x1, x12 ) ， B(x2, x22 ) ， Q(m, n) .切线 QA : y = 2x1x − x12 ， QB : y = 2x2x − x22 ，
(t
R)
，若对于任意
n
N*
，都有
0 an an+1 3 ，则 t 的取值范围是
A. (−1,3]
B. [0, 3]
C（. 3，8）
D（. 8，+）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11. 已知复数 z1 = 1− i ， z1 z2 = 2 − i ，则复数 z2 =
所以 AG ⊥ CE ，又 GF ⊥ CE ，所以 CE ⊥ 平面 AFG ，所以平面 ACE ⊥ 平面 AFG ，所以 AF 在平面 ACE 上的射影在直线 AH 上，则 FAH 即为 AF 与平面 ACE 所成角.………10 分
设 BC = 1，则 AF = 1 CD = 5 ， HF = GH = 2 ， AH = AG2 + GH 2 = 14 ，
第一学期期末教学质量检测 高三数学试题
注意事项：
1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题。 2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考 证号。 3．选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑。 4．试卷分为选择题和非选择题两部分，共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
+
4d
+1)
，
解得 a1 = −1, d = 2，故 an = −2n +1，
………………3 分
由 bn+1
=
Tn
Tn+1 ，得
1 Tn+1
−
1 Tn
= −1 ，T1 = −1
，所以 1 Tn
= −n ，即Tn
=−1 n
，
−1, n = 1
所以 bn
=
Tn
− Tn−1
=
1 n(n −1)
(n
2)
，故 bn
11． 3 + i ； 12． 15 、 2 ；
2
15 3
13． 1 、 5 ； 29
14． 3 10 、 2 5 10
15． 3 ；
16． 8 + 16 3 、 −16 3
3
3
17． 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
18．解：（1） f (3 ) = sin(3 − ) − 2 3 sin2 3
2
2
4
4
由余弦定理可得： cos FAH = AH 2 + AF 2 − HF 2 = 4
70
.
2AH AF
35
………………14 分
所以 AF 与平面 ACF 所成角的余弦值为 4 70 ． 35
………………15 分
20．解：（1）设首项为 a1
，公差为
d
，则
a1 + d = −3 4a1 + 6d = 2(a1
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知全集U = {x x −1} ，集合 A = {x x 0}， B = {x −1 x 1}，则 ( U A) B =
A.{x −1 x 0}
B.{x 0 x 1}