2020年全国卷(3)文科数学

2020年全国卷(3)文科数学
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学
适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等
一、选择题：
1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}$，$B=\{x|3<x<15\}$，则$A \cap B$ 中元素的个数为 A。

2 B。

3 C。

4 D。

5
2.复数 $z\cdot(1+i)=1-i$，则 $z=$ A。

$1-i$ B。

$1+i$ C。

$-i$ D。

$i$
3.设一组样本数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 0.01，则数据 $10x_1,10x_2,\dots,10x_n$ 的方差为 A。

0.01 B。

1 C。

100 D。

4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。

有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型
$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。

当 $I(t^*)=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则
$t^*$ 约为（$\ln 19 \approx 3$） A。

60 B。

63 C。

66 D。

69
5.若 $\sin\theta+\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=1$，则
$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=$ A。

$\frac{3}{4}$ B。

$\frac{1}{4}$ C。

$-\frac{1}{4}$ D。

$-\frac{3}{4}$
6.在平面内，$A,B$ 是两个定点，$C$ 是动点，$AC\cdot BC=1$，则点 $C$ 的轨迹是 A。

圆 B。

椭圆 C。

抛物线 D。

直线
7.设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线
$C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则$C$ 的焦点坐标为 A。

$(0,0)$ B。

$(0,2)$ C。

$(1,0)$ D。

$(2,0)$
8.点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 的距离的最大值为 A。

1 B。

2 C。

3 D。

2$\sqrt{2}$
9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A。

$6+4\sqrt{2}$ B。

$4+4\sqrt{2}$ C。

$6+2\sqrt{3}$ D。

$4+2\sqrt{3}$
10.设 $a=\log_3 2$，$b=\log_5 3$，$c=\sqrt{2}$，则 A。

$a<c<b$ B。

$a<b<c$ C。

$b<c<a$ D。

$c<a<b$
11.在 $\triangle ABC$ 中，$\cos C=\frac{1}{2}$，$AC=4$，$BC=3$，则 $\tan B=$ A。

5 B。

2/5 C。

4/3 D。

8/15
12.设函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{x}$，则 $\sin x$ 是
$f(x)$ 的 A。

零点 B。

最大值 C。

最小值 D。

奇函数
A。

给定函数$f(x)$具有以下性质：
1.最小值为2；
2.图像关于$y$轴对称；
3.图像关于$x=\pi$轴对称。

B。

填空题：
13.若$x$和$y$满足约束条件$2x-y\geq0$，$x+y\geq13$，
则$z=3x+2y$的最大值为$\boxed{23}$。

14.设双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一条渐近线为$y=2x$，则双曲轴对称线的离心率为$\boxed{\sqrt{3}}$。

15.设函数$f(x)=\frac{\pi}{x+a^4}$，若$f(1)=1$，则
$a=\boxed{\sqrt[4]{\pi-1}}$。

16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半
径最大的球的体积为$\boxed{\frac{3\pi}{4}}$。

17.（本小题满分12分）
设等比数列$\{a_n\}$满足$a_1+a_2=4$，$a_3-a_1=8$。

Ⅰ）求$\{a_n\}$的通项公式；
Ⅱ）设$S_n$为数列$\{\log_3 a_n\}$的前$n$项和$S_n$，
若$S_m+S_{m+1}=S_{m+3}$，求$m$。

解：
Ⅰ）设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，则
begin{cases}
a_1+a_2=4 \\
a_3-a_1=8
end{cases}
Rightarrow
begin{cases}
a_1=q^2 \\
a_2=4/q \\
a_3=q^3
end{cases}
因此，$q^2+4/q=4$，$q^3-q^2=8$，解得$q=2$，
$a_1=4/3$，$a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-
1}\cdot\frac{4}{3}$。

Ⅱ）由于$a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-
1}\cdot\frac{4}{3}$，所以$\log_3 a_n=\log_3\frac{4}{3}-(n-1)\log_3\frac{3}{2}$。

于是。

begin{align*}
S_n&=\sum_{k=1}^n\log_3
a_k=\sum_{k=1}^n\left[\log_3\frac{4}{3}-(k-
1)\log_3\frac{3}{2}\right] \\
n\log_3\frac{4}{3}-
\log_3\left(\frac{3}{2}\right)\sum_{k=0}^{n-1}k \\
n\log_3\frac{4}{3}-\frac{1}{2}\log_3\frac{3}{2}\cdot n(n-1) end{align*}
因此，$S_m+S_{m+1}=S_{m+3}$等价于
2m\log_3\frac{4}{3}+(2m+1)\log_3\frac{2}{3}=6m\log_3\fr ac{4}{3}+3\log_3\frac{2}{3}-
\frac{9}{2}m(m+2)\log_3\frac{3}{2}
整理得$m^2-2m-1=0$，解得$m=\boxed{1}$。

18.（本小题满分12分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
begin{array}{c|ccc}
text{锻炼人次} & \text{空气质量等级为1（优）} &
\text{空气质量等级为2（良）} & \text{空气质量等级为3或4（污染）} \\ \hline
leq 200 & 1 & 2 & 5 \\
200,400] & 6 & 7 & 16 \\
400,600] & 2 & 0 & 0
end{array}
Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
Ⅱ）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
Ⅲ）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。

根据所给数据，完成下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95\%的把握认为一天中到公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
解：
Ⅰ）设$p_i$表示空气质量等级为$i$的概率，$f_i$表示锻炼人次在第$i$个区间内的天数，则
begin{cases}
p_1+p_2+p_3+p_4=1 \\
p_1=\frac{f_1}{100} \\
p_2=\frac{f_2}{100} \\
p_3+p_4=\frac{f_3}{100}
end{cases}
因此，$p_1=0.09$，$p_2=0.09$，$p_3=0.22$，$p_4=0.6$。

Ⅱ）设$x_i$表示锻炼人次在第$i$个区间内的平均值，则
x_1=\frac{100+400}{2}=250,\quad
x_2=\frac{200+600}{2}=400,\quad x_3=\frac{400+600}{2}=500 因此，一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3}{100}=3.9
Ⅲ）完成列联表如下：
begin{array}{c|cc|c}
text{空气质量好} & \text{空气质量不好} & \text{合计} \\ \hline
leq 200 & 1 & 5 & 6 \\
200,400] & 6 & 16 & 22 \\
400,600] & 2 & 0 & 2 \\ \hline
text{合计} & 9 & 21 & 30
end{array}
显然，该列联表为2行3列的表格，不符合卡方检验的要求，因此无法判断一天中到公园锻炼的人次与该市当天的空气质量是否有关。

2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅱ）文科数学第3页共5页
6.635
0.001
10.828
k3.841
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.
Ⅰ）当AB=BC时，EF垂直于AC。

Ⅱ）证明：点C1在平面AEF内。

改写：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E和F分别位于棱DD1和BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.
Ⅰ）当AB=BC时，EF与AC垂直。

Ⅱ）证明：点C1在平面AEF内。

2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学第4页共5页
已知函数f(x)=x^3-kx+k^2.
Ⅰ）讨论f(x)的单调性。

Ⅱ）若f(x)有三个零点，求k的取值范围。

改写：已知函数f(x)=x^3-kx+k^2.
Ⅰ）讨论f(x)的单调性。

Ⅱ）如果f(x)有三个零点，求k的取值范围。

2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学第5页共5页
已知椭圆C：(x^2/15^2)+(y^2/425^2)=1（m<e<5）的离心率为e，A，B分别为C的左、右顶点。

Ⅰ）求C的方程。

Ⅱ）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且BP=BQ，BP 垂直于BQ，求△APQ的面积。

改写：已知椭圆C：(x^2/15^2)+(y^2/425^2)=1（m<e<5）
的离心率为e，A和B分别是C的左、右顶点。

Ⅰ）求C的方程。

Ⅱ）如果点P在C上，点Q在直线x=6上，且BP=BQ，BP垂直于BQ，求△APQ的面积。

二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅱ）文
科数学第4页共5页
22.（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为：
x=2-t-t^2
y=2-3t+t^2
其中t为参数且t≠1.曲线C与坐标轴交于A、B两点。

Ⅰ）求AB。

Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。

改写：在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为：
x=2-t-t^2
y=2-3t+t^2
其中t为参数且t≠1.曲线C与坐标轴交于A、B两点。

Ⅰ）求AB的长度。

Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。

23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
设a、b、c∈R，a+b+c=1，abc=1.
Ⅰ）证明：ab+bc+ca<1.
Ⅱ）用max{a,b,c}表示a、b、c的最大值，证明：
max{a,b,c}≥3/4.
改写：设a、b、c∈R，a+b+c=1，abc=1.
Ⅰ）证明：ab+bc+ca<1.
Ⅱ）用max{a,b,c}表示a、b、c的最大值，证明：
max{a,b,c}≥3/4.。