2020年高考全国2卷理科数学带答案解析

2020
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．12i 12i +=-
A．43i 55-- B．43i 55-+ C．34i 55-- D．34i 55
-+
2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数2
e e ()x x
f x x --=的图象大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A．4
B．3
C．2
D．0
5．双曲线22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为
A．2y x =±
B．3y x =±
C．22
y x =± D．32
y x =± 6．在ABC △中，5
cos 25
C =，1BC =，5AC =，则AB =
A．42 B．30 C．29 D．25
7．为计算111
11
123499100
S =-+-+
+-
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
A．1i i =+
B．2i i =+ C．3i i =+
D．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．
112 B．114 C．115 D．1
18
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1
DB 所成角
的余弦值为
A．1
5
B．56 C．55
D．22
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A．π4 B．π2 C．3π4
D．π
11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，
则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A．50- B．0 C．2 D．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22
22
1(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在
过A 且斜率为36
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为
A．23 B．12 C．1
3
D．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．
开始0,0
N T ==S N T
=-S 输出1
i =100i <1N N i =+11
T T i =++结束是否
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，
若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
记n
S 为等差数列{}n
a 的前n 项和，已知1
7a =-，3
15S =-．
（1）求{}n
a 的通项公式；
（2）求n
S ，并求n
S 的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,
,17）建立模型①：
ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模
型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，
4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 21．（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第
一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方
程为1cos ,2sin ,
x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
2020
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题 1．D
2．A
3．B
4．B
5．A
6．A
P
A
O
C
B
M
7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D
二、填空题 13．2y x = 14．9
15．12
-
16．402π
三、解答题 17．解：
（1）设{}n
a 的公差为d ，由题意得1
3315a d +=-．
由1
7a =-得d =2．
所以{}n
a 的通项公式为29n
a n =-．
（2）由（1）得228(4)16n
S n n n =-=--．
所以当n =4时，n
S 取得最小值，最小值为−16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y
=-+⨯=(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
30.413.5y t =-+上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地
描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
ˆ9917.5y t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模
型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明
利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设1
2
2
1
(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故1222
24
k x k x ++=．
所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为0
(,)x y ，则
02
200
05,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．解：
（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =．
连结OB ．因为2
2AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC ==．
由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．
由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -． 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-． 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0,0AP AM ⋅=⋅=n n 得2230(4)0
y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取
(3(4),3,)a a a =--n ，
所以222
23(4)cos ,23(4)3a OB a a a -=
-++n ．由已知得
3
|cos ,|2
OB =n ．
所以222
23|4|
3=223(4)3a a a a --++．解得4a =-（舍去），43a =．
所以83434(,,)333=--n ．又(0,2,23)PC =-，所以3
cos ,4PC =n ． 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3
4
．
21．解：
（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．
设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．
()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．
（i）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．
当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．
故2
4(2)1e a
h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值．
①若(2)0h >，即2
e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；
②若(2)0h =，即2
e 4
a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；
③若(2)0h <，即2
e 4
a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，
由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以
33342241616161
(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-=->．
故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．
综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2
e 4
a =．
22．．解：
（1）曲线C 的直角坐标方程为
22
1416
x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1
t ，2
t ，则
12
0t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα
++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率
tan 2k α==-．
23．解：
（1）当1a =时，24,1,
()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．
21（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ． 解：
（1）()e 2x f x x '=-，()e 2x f x ''=-．
当ln 2x <时，()0f x ''<，当ln 2x >时，()0f x ''>，所以()f x '在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，故()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，()f x 在(,)-∞+∞单调递增．
因为0x ≥，所以()(0)1f x f ≥=．
（2）当0x >时，设2
e ()x
g x a x =-，则2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+∞只有一个零点等价于()g x 在(0,)+∞只有一个零点．
3
e (2)
()x x g x x -'=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)
单调递减，在(2,)+∞单调递增，故2
e ()(2)4
g x g a ≥=-． 若2
e 4a <，则()0g x >，()g x 在(0,)+∞没有零点．
若2
e 4
a =，则()0g x ≥，()g x 在(0,)+∞有唯一零点2x =．
若2
e 4
a >，因为(2)0g <，由（1）知当0x >时，
2e 1x x >+，22e 1()1x g x a a x x =->+-，
2020年高考全国2卷理科数学带答案解析 故存在11(0,)(0,2)1
x a ∈⊆-，使1()0g x >． 4422
e e (4)1616a a g a a a a a =->- 2e x x >，。