11.1.2三角形的高、中线与角平分线
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三角形的稳定性在生活中有广泛的应用 ， 你还能举出一些例子吗？
三角形的稳定性的应用
三角形的稳定性的应用
三角形的稳定性的应用
自行车的车身与支撑脚
三角形的稳定性的应用
固定树的两根支撑
四边形不具有稳定性
人们往往通过改造，造将其 变成三角形从而增强其稳定 性
四边形灵活的的不稳定性也有广泛应用。
练习 3.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性 的说法正确的是( C ) A、稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B、稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C、稳定性和不稳定性均有利用价值
的内部，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的角平分线
在三角形中，一个 内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线。 A
1、AD是 △ ABC（∠BAC）的 1 2 角平分线； ︶ 2、AD平分∠BAC； ● C １∠BAC B D 3、∠ BAD = ∠ CAD =２ 三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线。 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？ 通过折叠（或测量）作出三角形的角平分线，并观察
H B
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分 线，AF是高。填空：
1 BC ； （1）BE= CE = 1 2 ∠BAC （2）∠BAD= ∠CAD = ； 2
（3）∠AFB= ∠AFC =90°； （4）以AF为高的三角形有哪些？
A
全部
C
E D F
B A
画法
性质
D
C
三角板或量 三条线相交于 角器画垂线 三角形内、外 的一部分 或边上一点
得用刻度尺 三条中线相交 画两点之间 于三角形内一 的线段 点，且把三角 形分成面积相 等的两部分 利用量角器 三条角平分线 画角的平分 相交于三角形 线的一部分 内一点，且这 C 点到三边的距 离相等
中线
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
画出不同三角 形的高，并观察 三条高的位置？
2
3
4
5 5 5
0 0 0 1 1 1 4 4 4 5 6 6 6 7
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的高的特殊性质
高的分布 高是否相交 高所在直线 是否相交 锐角三角形 3条都在内 部 相交 相交 直角三角形 1条在内部， 2条是直角边 相交 相交 钝角三角形 1条在内部， 2条在外部 不相交 相交
三角形三条高 所在直线的交点叫做三角形 的垂心。
三角形的中线
在三角形中,连接 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
1、AD是△ ABC（边BC上）的 2、D是线段BC的中点； B 3、BD=CD=½ BC
●
A
●
D
C
利用刻度尺画任意一个三角形三条边的中 三角形三条中线都在三角形的内部。三 线,你发现了什么? 角形三条中线交与一点，这个交点在三角形
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高， B 简称三角形的高。
如图, 线段AD是△ABc中BC边上的高. A
5
2 2 2 3 3 3
4
3
2
0
1
D
C
还可以表达为 ②AD是△ABC的高； ③AD⊥BC，垂足为D； ④∠ADB=∠ADC=90°
D、以上说法都不对
议一议：P76
n边形呢？
9.解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条； 要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条； 要使n边形木架不变形，至少要再钉上(n-3)根木条；
B
等分土地的面积
有一块三角形的草地， ①要把它分为2个三角形，并且要满足分得的 2个小三角形面积相等，应该这样分割？ 二要把它分为4个三角形，并且要满足分得的 4个小三角形面积相等，可以怎样分割 ？
A
C
B
5、如图，已知：AD是△ABC的中线， △ABC的面积为 50cm2 ,则△ABD的面积 80cm 是25cm2 40cm . A 三角形的一条中线把三角 形分成面积相等的两部分 B D C
D A
C
角平 分线
B
D
生活小常识
探索与思考
(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后 扭动它,它的形状会改变吗? (2)将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后 扭动它,它的形状会改变吗? (3)在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶 点连接起来,然后再扭动它,它的形状会改变吗?
结论
A
∵AD是△ABC的BC上的
C
三角形 的高线
B
D
高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
A
∵ AD是△ABC的BC上
C
B
D
的中线. 1 ∴ BD=CD= BC.
2
A
2 1
三角形的 角平分线
∵.AD是△ABC的
∠BAC的平分线 1 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC
2
B
D
C
名称 基本图形 高
三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状 会改变.
三角形具有稳定性，
四边形具有不稳定性，灵活
三角形的性质---三角形的稳定性
用三根木棒钉一个三角形，你会发现 再也无法改变这个三角形的形状和大小。 也就是说，如果一个三角形的三条边 固定了，那么三角形的形状和大小就完全 确定了. 在数学上把三角形的这个性质叫做三 角形的稳定性.
6、同上题图，若△ACD的面积为60cm2， 30cm 则△ABC的面积为 120cm2 . 60cm
归纳小结
三角形的 重要线段 概念 从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连结一 个顶点和它对边 中的线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段 图形 表示法
●
三角形的三条角平分线都在三角形内部，三 位置特征。 条角平分线交与一点，这个交点在三角形内部， 这个交点叫做三角形的内心。
现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC 于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是 正确的,哪些是错误的. ①BE是⊿ABC边AC上的中线 ( × ) ②BE是⊿ABD边AD上的中线 (× ) ③AD是⊿ABE的角平分线 ( × ) ④CH是⊿ACD边AD上的高 (√ ) F A 12 G E
三角形的稳定性的应用
三角形的稳定性的应用
三角形的稳定性的应用
自行车的车身与支撑脚
三角形的稳定性的应用
固定树的两根支撑
四边形不具有稳定性
人们往往通过改造，造将其 变成三角形从而增强其稳定 性
四边形灵活的的不稳定性也有广泛应用。
练习 3.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性 的说法正确的是( C ) A、稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B、稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C、稳定性和不稳定性均有利用价值
的内部，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的角平分线
在三角形中，一个 内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线。 A
1、AD是 △ ABC（∠BAC）的 1 2 角平分线； ︶ 2、AD平分∠BAC； ● C １∠BAC B D 3、∠ BAD = ∠ CAD =２ 三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线。 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？ 通过折叠（或测量）作出三角形的角平分线，并观察
H B
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分 线，AF是高。填空：
1 BC ； （1）BE= CE = 1 2 ∠BAC （2）∠BAD= ∠CAD = ； 2
（3）∠AFB= ∠AFC =90°； （4）以AF为高的三角形有哪些？
A
全部
C
E D F
B A
画法
性质
D
C
三角板或量 三条线相交于 角器画垂线 三角形内、外 的一部分 或边上一点
得用刻度尺 三条中线相交 画两点之间 于三角形内一 的线段 点，且把三角 形分成面积相 等的两部分 利用量角器 三条角平分线 画角的平分 相交于三角形 线的一部分 内一点，且这 C 点到三边的距 离相等
中线
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
画出不同三角 形的高，并观察 三条高的位置？
2
3
4
5 5 5
0 0 0 1 1 1 4 4 4 5 6 6 6 7
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的高的特殊性质
高的分布 高是否相交 高所在直线 是否相交 锐角三角形 3条都在内 部 相交 相交 直角三角形 1条在内部， 2条是直角边 相交 相交 钝角三角形 1条在内部， 2条在外部 不相交 相交
三角形三条高 所在直线的交点叫做三角形 的垂心。
三角形的中线
在三角形中,连接 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
1、AD是△ ABC（边BC上）的 2、D是线段BC的中点； B 3、BD=CD=½ BC
●
A
●
D
C
利用刻度尺画任意一个三角形三条边的中 三角形三条中线都在三角形的内部。三 线,你发现了什么? 角形三条中线交与一点，这个交点在三角形
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高， B 简称三角形的高。
如图, 线段AD是△ABc中BC边上的高. A
5
2 2 2 3 3 3
4
3
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0
1
D
C
还可以表达为 ②AD是△ABC的高； ③AD⊥BC，垂足为D； ④∠ADB=∠ADC=90°
D、以上说法都不对
议一议：P76
n边形呢？
9.解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条； 要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条； 要使n边形木架不变形，至少要再钉上(n-3)根木条；
B
等分土地的面积
有一块三角形的草地， ①要把它分为2个三角形，并且要满足分得的 2个小三角形面积相等，应该这样分割？ 二要把它分为4个三角形，并且要满足分得的 4个小三角形面积相等，可以怎样分割 ？
A
C
B
5、如图，已知：AD是△ABC的中线， △ABC的面积为 50cm2 ,则△ABD的面积 80cm 是25cm2 40cm . A 三角形的一条中线把三角 形分成面积相等的两部分 B D C
D A
C
角平 分线
B
D
生活小常识
探索与思考
(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后 扭动它,它的形状会改变吗? (2)将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后 扭动它,它的形状会改变吗? (3)在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶 点连接起来,然后再扭动它,它的形状会改变吗?
结论
A
∵AD是△ABC的BC上的
C
三角形 的高线
B
D
高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
A
∵ AD是△ABC的BC上
C
B
D
的中线. 1 ∴ BD=CD= BC.
2
A
2 1
三角形的 角平分线
∵.AD是△ABC的
∠BAC的平分线 1 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC
2
B
D
C
名称 基本图形 高
三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状 会改变.
三角形具有稳定性，
四边形具有不稳定性，灵活
三角形的性质---三角形的稳定性
用三根木棒钉一个三角形，你会发现 再也无法改变这个三角形的形状和大小。 也就是说，如果一个三角形的三条边 固定了，那么三角形的形状和大小就完全 确定了. 在数学上把三角形的这个性质叫做三 角形的稳定性.
6、同上题图，若△ACD的面积为60cm2， 30cm 则△ABC的面积为 120cm2 . 60cm
归纳小结
三角形的 重要线段 概念 从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连结一 个顶点和它对边 中的线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段 图形 表示法
●
三角形的三条角平分线都在三角形内部，三 位置特征。 条角平分线交与一点，这个交点在三角形内部， 这个交点叫做三角形的内心。
现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC 于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是 正确的,哪些是错误的. ①BE是⊿ABC边AC上的中线 ( × ) ②BE是⊿ABD边AD上的中线 (× ) ③AD是⊿ABE的角平分线 ( × ) ④CH是⊿ACD边AD上的高 (√ ) F A 12 G E