计算机控制技术第2章 计算机控制系统数学描述与分析

~
f
m
范围
ax
内变化的采样信号 f *(t) 通过字长为 n 的A/D转换器，变换
成 0 ~ 2n 1 范围内的某个数字量。
量化单位定义为：
q
f max f min 2n 1
q是二进制数的最低有效位对应的整量单位 整量化方法：“只舍不入”和“有舍有入”
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2.1 信号的采样与恢复
解： f (t)wenku.baidu.com 1(t) 在所有采样时刻上的采样值均为1
即 f (kT) 1 k 0,1, 2,...,
对应的离散时间函数：

f * t f kT t kT k 0
t t T t 2T ... t kT ...
2.1.2 信号的恢复与采样保持器
信号的恢复是指将采样信号恢复到原连续信号，它是 采样过程的逆过程。将数字信号序列恢复成连续信号的装 置称为采样保持器。
信号的理想恢复需要具备3个条件：
① 原连续信号的频谱具有有限带宽，即 max
② 满足采样定理
③ 具有理想的低通滤波器
H(
j)

T , ０，




0
t t0 t t0
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化 采样定理
在计算机控制系统中对连续信号进行采样， 用抽取的离散信号序列代表相应的连续信号来参 与控制运算。所以，采集到的离散信号序列必须 能够表达相应连续信号的基本特征。这个问题和 采样周期的选取是密切相关的。
f (T ) f (2T ) f (3T )
f (0)
零阶保持器将采样 信号转变成阶梯信 号，解决各采样点
之间的插值问题
0 1T 2T 3T 4T 5T
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
t
应用零阶保持器恢复的信号
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零阶保持器
(t)
1 0t
ZOH
gh (t)
1
0T t
时域方程 fk (t) f (kT ), kT t (k 1)T
脉冲响应 gh0 (t) 1(t) 1(t T )
Gh0 (s)

1 s

1 eTs s

1 eTs s
H 0 ( j)
Gh0
(
j)

1

e jT
j
T
sin(T
2
T
)

e
j
T 2
2
从频率特性看，零阶保持器具有低通
滤波特性，但不是理想的低通滤波器，
0.637T
它除了允许采样信号的主频分量通过外，
为双边Z变换，在控制系统中，通常只研究单边Z变换；
3、Z变换是由采样信号函数决定的，它反应不出非采样时刻的信息。
如果存在两个不同的时间函数 f1(t) 和 f 2 (t)， f1(t) f2 (t) ,但其采样值完 全重复,即 f1 * (t) f2 * (t) ，则 F1 (z) F2 (z) 。这说明Z变换F(z) 与f (kT) 或离散函数 f * (t) 是一一对应的，但是与 f (t) 之间的对应关系不唯一。
第二章 计算机控制系统数学描述与分析
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本章的基本内容
首先从计算机控制系统的信号出发，介绍信 号的采样和恢复，然后讲述线性离散系统的基本 概念和分析方法，包括离散系统数学模型的建立 和离散系统稳定性、过渡过程特性和稳定精度分 析，为后续章节的学习奠定基础。
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本章的基本内容
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f (t)
T
f * (t )
(a) 采样开关
f (t)
f * T f T f *(t)
开关闭合时间 0 T

0 1T 2T 3T 4T 5T t
(b) 连续信号
0 1T 2T 3T 4T 5T t
(c) 采样信号
开关打开时间
模拟信号的采样过程
权脉冲序列：
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T )
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f (kT ) (t kT ) k 0 (t)
单位脉冲函数
t0





t t0 dt
1


t
解：对应的离散时间函数：

f * t f kT t kT k 0

eakT (t kT ) k 0
(t) eaT (t T ) e2aT (t 2T )

f * t f kT t kT k 0 f 0 t f T t T f 2T t 2T ... f kT t kT ...
取拉氏变换：
F* s f 0 f T eTs f 2T e2Ts ... f kT ekTs ...
计算机输入和输出的信息转换
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化 信号的采样过程
在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或 数字序列的方式传递的，按一定的时间间隔T（采 样周期），把时间和幅值上连续的模拟信号变成 在0、T、2T、……、KT时刻的一连串脉冲输出信 号的集合的过程叫做采样过程。实现采样动作的 装置叫采样开关或采样器。
s s
/2 /2
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.2 信号的恢复与采样保持器
理想的低通滤波器是物理上不可实现的，故工程上通
常采用接近理想滤波器特性的零阶保持器来代替。零阶保
持器以前一时刻的采样值为参考基值作外推，来近似原连
续信号。
f (kT ) f (t)
fh (t)
代入 f *(t)可得：
F * (s) f (kT ) (t kT )estdt k 0
f (kT )[ (t kT )estdt] k 0


f (kT )ekTs
k 0

(t kT ) f
t dt
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
信号的采样过程
采样开关输入的原信号 f (t)为连续信号。当采样开关
的闭合时间很短时，采样信号f *(t) 就可以认为是原信号在
开关闭合瞬时的值f (kT ) ，可以看作是一个权重为f (kT) 的
脉冲函数f (kT) t kT 。整个采样信号就可看作是一个加
f1 (t )
f2 (t)
0 1T 2T 3T 4T 5T
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
t
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2.2 Z变换
2.2.2 Z变换的求法
求取离散时间函数 f *(t) 的Z变换有多种方法，这里介绍 常用的三种：级数求和法、部分分式展开法和留数法。
(1) 级数求和法 — 按照Z变换的定义来求解
依据Z变换定义 z eTs 可得：
F z Z F* s f 0 f T z1 f 2T z2 ... f kT zk ...
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(1) 级数求和法 — 按照Z变换的定义来求解
例2.1 求单位阶跃函数的Z变换。

f
kT
为便于计算，将采样信号 f * (t) 的拉氏变换中包含的超越函数eTs 定义 为一个新的复变量Z，即 z eTs，则 s 1 ln z。其中，T为采样周期，并 将F * (s) 记为 F(z)，得到离散函数 f *(t) 的TZ变换：

F (z) Z[ f * (t)] f (kT )z k k 0
2.1 信号的采样与恢复 2.2 Z变换 2.3 离散控制系统的数学描述 2.4 离散控制系统稳定性分析 2.5 计算机控制系统的过渡过程分析 2.6 离散控制系统的稳态误差分析
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2.1 信号的采样与恢复
计算机只能接收、处理和输出数字信号。对 于计算机控制系统这种模拟器件和数字器件共存 的混合系统，信号变换装置A/D和D/A是必不可少。
离散 模拟
连续 模拟
时间上不连续 幅值上连续取值
脉冲序列信号 采样信号
计算机输入和输出的信息转换
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2.1 信号的采样与恢复
信息输入
模拟 信号
采样器
A/D
信息处理
计算机
信息输出
D/A
保持器
模拟 信号
连续 模拟
离散 模拟
离散 数字
离散 数字
离散 模拟
连续 模拟
时间上不连续 幅值上不连续取值 用二进制代码形式表示 计算机处理的信号
采样频率与采样周期的关系为：
s

2f s

2
T
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
采样定理
在实际中，采样频率通常取
fs

(5
~
10
)
f
m
a
，或者更高。
x
对于工业过程，人们在实践中总结如下经验数据可供参考：
变化速度快，信号频率相对较高
温度 10~20s
依据Z变换的定义，可得： F (z) 1 z1 z2 zk zk k 0
如 z1 1，利用等比级数求和公式，可得：
F(z)

1 1 z1

z
z 1
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(1) 级数求和法 — 按照Z变换的定义来求解
例2.2 求指数函数f (t) eat 的Z变换。
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采样周期对采样效果的影响
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
采样定理 香农（Shannon）采样定理指出：
对于一个具有有限频谱 max的连续信号进行采样 时，采样信号 f *(t) 唯一地复现原信号 f (t)所需的最低采样 角频率s 必须满足s 2max T或 2 /max 的条件。其中，max 是原信号频率的最高角频率：
从现场检测的连续信号必须经过采样、A/D转 换等量化处理变换为数字信号，才能由计算机进 行计算处理；同理，计算机输出的离散的数字量 也必须经过D/A转换器和保持器形成连续信号，才 能作用于被控对象。
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2.1 信号的采样与恢复
信息输入
模拟 信号
采样器
A/D
信息处理
计算机
信息输出
D/A
保持器
模拟 信号
连续 模拟
离散 模拟
离散 数字
离散 数字
离散 模拟
连续 模拟
时间上连续 幅值上连续取值 一般用十进制数表示
计算机输入和输出的信息转换
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2.1 信号的采样与恢复
信息输入
模拟 信号
采样器
A/D
信息处理
计算机
信息输出
D/A
保持器
模拟 信号
连续 模拟
离散 模拟
离散 数字
离散 数字
变化速度慢
流量 1~5s
压力 3~10s
液面 6~8s
成分 15~20s
变化速度慢，信号频率相对较低
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
信号的量化
将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号 f *(t)
用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。
执行量化动作的装置是A/D转换器，把在 fmin
F(z) 称为离散函数 f *(t) 的Z变换，也叫离散拉氏变换或采样拉氏变换。
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需要注意以下几点：
1、任意项 f (kT)z k具有明确的物理意义：f (kT) 表示幅值，Z的幂次表
示该采样脉冲出现的时刻；
2、上述求取Z变换方法称为单边Z变换（当 t 0时，f * (t) 0 ），而称 F (z) Z[ f *(t)] f (kT )zk k
还允许部分高频分量通过，不过它的幅
值是逐渐衰减的;
0
0.5s s
2s
3s 从相位特性看，零阶保持器是一个相
180o
位滞后环节，相位滞后的大小与信号频
H0 ( j )
率ω及采样周期T成正比，不利于闭环系
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统的稳定。
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2.2 Z变换
Z变换则是处理离散系统分析和设计问题的重 要数学工具。Z变换和拉氏变换有着密切联系，可 以认为是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法。
2.2.1 Z变换的定义
设离散系统的采样信号为：

f * (t) f (kT) (t kT) k 0
对上式进行拉氏变换，即得采样信号的拉氏变换：
F *(s) L[ f *(t)] f *(t)estdt
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2.2 Z变换
2.2.1 Z变换的定义