专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题(原卷版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x bx c =-++与直线1y x =-+相交于点()0,1A 和点()3,2B -，交x 轴于点C ，顶点为点F ，点D 是该抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若点D 在直线AB 上方的抛物线上，求DAB ∆的面积的最大值以及此时点D 的坐标； （3）如图2，若点D 在对称轴左侧的抛物线上，点()1,E t 是射线CF 上一点，当以C 、B 、D 为顶点的三角形与CAE ∆相似时，直接写出所有满足条件的t 的值．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过点A （4，0），B （－1，0），交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）点D 是直线AC 上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标；

（3）在AC 上方的抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．

3．如图，直线y ＝﹣x ＋n 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）E （m ，0）为x 轴上一动点，过点E 作ED ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若△BPD 直角三角形，求点E 的坐标；

②点E 在x 轴的正半轴上运动，若∠PBD ＋∠CBO ＝45°．请直接写出m 的值．

4．在平面直角坐标系中，抛物线22y x kx k =--（k 为常数）的顶点为N ．

（1）如图，若此抛物线过点()3,1A -，求抛物线的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，抛物线与y 轴交于点B ，

①求ABO ∠的度数；

①连接AB ，点P 为线段AB 上不与点A ，B 重合的一个动点，过点P 作//CD x 轴交抛物线在第四象限部分于点C ，交y 轴于点D ，连接PN ，当BPN BNA △△时，线段CD 的长为___．

（3）无论k 取何值，抛物线都过定点H ，点M 的坐标为()2,0，当90MHN ∠=︒时，请直接写出k 的值．

5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y ＝x+m 的图象与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（3，4），B 点在y 轴上．

（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；

（2）若P 是线段AB 下方抛物线上一动点，当△ABP 面积最大时，求P 点坐标以及△ABP 面积最大值；

（3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC．

（1）试写出四边形DFCE的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm2？

（3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由．

（4）四边形DFCE的面积S（cm2）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．

7．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点A为顶点的抛物线经过点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB'C'O'，使点C'落在x轴上，抛物线是否经过点C'？请说明理由．

8．如图，抛物线243y ax ax a =-+（0a >），与y 轴交于点A ，在x 轴的正半轴上取一点B ，使2OB OA =，抛物线的对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ，连接BC ．

（1）求点B ，C 的坐标（用含a 的代数式表示）；

（2）若BCD △与BDE 相似，求a 的值；

（3）连接OE ，记OBE △的外心为M ，点M 到直线AB 的距离记为h ，请探究h 的值是否会随着a 的值变化而变化？如果变化，请写出h 的取值范围：如果不变，请求出h 的值．

9．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ．

（1）求A B 、两点的坐标；

（2）若抛物线2

y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动． ①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；

②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．

10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA ＝OB，B（8，6），过点B作y轴的垂线，垂足为D，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．

（1）求AB的长；

（2）求点C的坐标；

（3）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿折线CB﹣BA运动；同时点Q从A出发，以每秒1个单位的速度沿AO向终点O运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△BPQ的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式．

11．如图，抛物线y=﹣1

2

x2+

3

2

x+2，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于

点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点E①线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；