2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)

河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．把
5
π
化成角度制是( ) A ．36︒
B ．30︒
C ．24︒
D ．12︒
〖解 析〗根据180π=︒，可得1
1803655
π
=︒⨯=︒． 〖答 案〗A 2．55sin()(6
π
-
= )
A ．1
2
-
B ．
12
C ． D
〖解 析〗因为55551
sin()sin(10)sin sin 66662πππππ-=--===．
〖答 案〗B
3．(AB AD BC -+= ) A ．CD
B ．DC
C ．DB
D ．BD
〖解 析〗AB AD BC DB BC DC -+=+=． 〖答 案〗B
4．已知向量(1,1)a =-，(3,2)b =，则sin a <，(b >= )
A ．
B ．
C
D 〖解 析〗根据题意，向量(1,1)a =-，(3,2)b =，
则||11a =+=||94b =+，则321a b ⋅=-=，
则有cos a <，1||||26a b b a b ⋅>=
==，
则sin a <，1126b >=-=
． 〖答 案〗C
5．如图，圆1O 内切于圆心角为
3
π
，半径为3的扇形OAB ，则图中阴影部分面积为( )
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 〖解 析〗设圆1O 的半径为r ，圆1O 与OA 切于E ，与弧AB 切于F ，如图：
依题意可得16
AOO π
∠=
，1122OO O E r ==，
根据对称性可知，O ，1O ，F 三点共线，所以23r r +=，所以1r =， 所以图中阴影部分面积为22131232
ππ
π⨯⨯-⨯=．
〖答 案〗D
6．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
〖解 析〗在ABC ∆中，“sin sin A B >”，由正弦定理可得a b >，A B ⇔>， 又A ，(0,)B π∈，cos cos A B ∴<．
∴在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的充要条件．
〖答 案〗C
7．已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-，若AP xAB y AC =+，则2(x y +=
) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
〖解 析〗由点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-， 则22()2AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， 又AP xAB y AC =+，则1x =-，2y =，则21223x y +=-+⨯=． 〖答 案〗C
8．函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
〖解 析〗()cos sin y f x x x x ==+，则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-， ()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，
当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ． 〖答 案〗A
9．将函数4cos(2)5y x π=+
的图象上各点向右平行移动2
π
个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数〖解 析〗式是( ) A ．4cos(4)5y x π
=- B ．4sin(4)5y x π
=+
C ．44cos(4)5
y x π=-
D ．44sin(4)5
y x π=+
〖解 析〗由题意函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平移2
π
个单位长度， 得到4cos(2)cos(2)55
y x x ππ
π=-+
=-，再把横坐标缩短为原来的一半， 得到cos(4)5y x π=-，再把纵坐标伸长为原来的4倍，得到4cos(4)5y x π
=-， 考察四个选项知，A 是正确的． 〖答 案〗A
10．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，02)ϕπ<<的部分图象如图所示，则( )
A ．3()4sin(2)4
f x x π
=+
B ．13()4sin()24
f x x π
=+
C ．15()4sin()24
f x x π
=+
D ．5()4sin(2)4
f x x π
=+
〖解 析〗由函数()f x 图象可得4A =， 又函数的周期72()422T ππππω=
--==
，可得1
2
ω=， 可得1
()4sin()2
f x x ϕ=+，
又函数图象经过点3(
2π，0)，即：134sin()022
πϕ⨯+=， ∴解得：
13222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，可得：324
k π
ϕπ=-
，k Z ∈， 02ϕπ<<，∴取1k =，得54
π
ϕ=
． 〖答 案〗C
11．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的( ) A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
〖解 析〗设OA a =，OB b =，OC c =，则BC c b =-，CA a c =-，AB b a =-． 由题可知，222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，
2222||||||||a c b b a c ∴+-=+-， 化简可得c b a c ⋅=⋅，即()0b a c -⋅=，
∴0OC AB ⋅=，∴AB OC ⊥，即OC AB ⊥．
同理可得OB AC ⊥，OA BC ⊥． O ∴是ABC ∆的垂心．
〖答 案〗C
12．已知()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，若当[0x ∈，1]时，()sin
2
f x x π
=，则函数
||()()x g x f x e -=-在区间[2021-，2022]上零点的个数为( ) A ．2021
B ．2020
C ．4043 D
．4044
〖解 析〗当[1x ∈-，0]时，()()sin()2
f x f x x π
=-=-
，
函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象如图：
由图可知，函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象有2个交点， 又因为()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数， 因为2022(2021)4043220221--==⨯+，
所以函数()y f x =的图象与函数||x y e -=的图象在[2021-，2022]上的交点个数为4043． 〖答 案〗C
二、填空题（本大题共4小题、每小题5分，共20分）
13．已知向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，则实数λ= ． 〖解 析〗向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，
222()()5(1)0a b a b a b λ∴+⋅-=-=-+=， 则实数2λ=±． 〖答 案〗2±
14
．函数(1tan )y lg x π=++ ．
〖解
析〗对于函数(1tan )y lg x π=++2
1tan 0
140x x π+>⎧⎨-⎩
， 即2tan 114x x π>-⎧⎪⎨⎪⎩，即,42
1122k x k k Z x πππππ⎧
-<<+∈⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，
求得11
22
x
-
，故该函数的定义域为1[2-，1]2． 〖答 案〗1[2-，1
]2
15．如图，O 为ABC
∆
的外心，||2,||4AB BC ==，则()BA BC BO +⋅= ．
〖解 析〗22221111
()||||24102222
BA BC BO BA BO BC BO BA BC +⋅=⋅+⋅=+=⨯+⨯=． 〖答 案〗10
16．下列6个函数：①|sin |y x =，②sin ||y x =，③|cos |y x =，④cos ||y x =，⑤|tan |y x =，⑥tan ||y x =，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 ．
〖解 析〗①|sin |y x =是偶函数，且周期为1221
π
π⨯=，故满足条件；
②sin ||y x =是偶函数，但它不是周期函数，故不满足条件； ③|cos |y x =是偶函数，最小正周期是π，故满足条件； ④cos ||y x =不是周期函数，故不满足条件； ⑤|tan |y x =是偶函数，周期为π，故满足条件； ⑥函数tan ||y x =是偶函数，没有周期，故不满足条件． 〖答 案〗①③⑤
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边
上一点，且sin α= （1）求m 的值；
（2）求sin()cos()tan(2022)
23sin(2023)sin()
2
π
απαπαπ
παα-++--++的值．
解：（1）因为角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边上一
点，且sin α=
=，所以解得1m =；
（2）由（1）可得11tan 22
α=
=--， 所以1
sin()cos()tan(2022)1cos (cos )(tan )cos sin 1tan 12231sin cos sin cos tan 13sin(2023)sin()122
παπαπαααααααπαααααπαα-++--
+--++====
=-----++--． 18．（12分）已知(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ． （1）若AB CD =，求D 点的坐标；
（2）设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值． 解：（1）
(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ，设(,)D x y ，
则由AB CD =，可得(1，5)(4x -=-，1)y -，
41x ∴-=，15y -=-，求得5x =，4y =-，可得(5,4)D -．
（2）向量(1,5)a AB ==-，(2,3)b BC ==，故a 、b 不共线， 若ka b -与3a b +平行，则
113k -=，∴实数13
k =-． 19．（12分）已知O 是坐标原点，(1,3)OA =-，(4,0)OB =，点P 满足0PA PB PO ++=． （1）求||OP ；
（2）设t R ∈，求||OA tOP +的最小值． 解：（1）
0PA PB PO ++=，∴0OA OP OB OP OP -+--=，
故3(3,3)OP OA OB =+=，故(1,1)OP =，故||2OP =
（2）|||(1OA tOP t +=-，3)|t +=1022=； 当且仅当1t =-时，等号成立；
故||OA tOP +的最小值为
20．（12分）“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m ，直径153m ．匀速旋转一圈需时30min ．以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，画示意图，如图1．
设座舱A 为起始位置如图2，经过xmin 后，OA 逆时针旋转到OP ，此时点P 距离地面的高度()()h x m 满足()sin()h x M x K ωϕ=++，其中0M >，0ω>，[ϕπ∈-，]π． （1）根据条件求出()()h x m 关于()x min 的〖解 析〗式；
（2）在摩天轮转动的第一圈内，有多长时间P 点距离地面不低于45.25m ？ 解：（1）由题意得160160153M K M K +=⎧⎨-+=-⎩，可得76.5
83.5
M K =⎧⎨=⎩，
又23015
ππ
ω=
=， 由于(0,7)A 在函数图象上，可得776.5sin 83.5ϕ=+，
可得sin 1ϕ=-，
又[ϕπ∈-，]π，所以2
π
ϕ=-
，
所以()76.5sin()83.5152
h x x ππ
=-+，0x ．
（2）由76.5sin()83.545.25152x ππ-+，可得1
sin()1522
x ππ--，
又030x 时，可得3215
22x ππ
π
π--
，所以761526
x πππ
π
--， 解得525x ，
故在摩天轮转动的第一圈内，有20分钟P 点距离地面不低于45.25m ． 21．（12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c b c a
c b a b
++=
+-． （1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆外接圆半径1R =，求ABC ∆面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状． 解：（1）由于
c b c a
c b a b
++=
+-，整理可得222a b c ab +-=， 可得2221
cos 222a b c ab C ab ab +-===，又(0,)C π∈，可得3
C π=．
（2）由题意3
C π
=，ABC ∆外接圆半径1R =，
根据正弦定理
2sin c
R C
=，可得2sin c R C = 由余弦定理，基本不等式可得2232a b ab ab ab ab =+--=，当且仅当a b =时等号成立，
可得11sin 3222ABC S ab C ∆=⨯⨯=
，
可得ABC ∆，此时三角形为等边三角形． 22．（12分）已知向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6
n x π
=+，
1)-，函数()f x m n =⋅，
当3[,]44
x ππ
∈时，函数()f x 的值域为[1]-．
（1）求实数a ，b 的值；
（2）设函数()()g x f x λ=-在[0,]2π
上有两个零点，求实数λ的取值范围；
（3）若对x R ∀∈，都有2()(8)()40f x k f x k +--恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）由向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6
n x π
=+，1)-，
则函数()2sin(2)26
f x m n a x a b π
=⋅=+--，
由3[,]44x ππ∈，则252[,]633
x πππ+∈，
又0a >，则函数()f x 的值域为[4a b --2]a b --，
又函数()f x 的值域为[1]-，即43
21a b a b --=-⎧⎪--=，
则1a =，1b =-；
（2）由（1）得()2sin(2)16
g x x π
=+-，
又[0,]2x π∈，易得()g x 在[0，]6π为增函数，在[,]62ππ
为减函数，
又(0)0g =，()16g π=，()22
g π
=-，
又函数()()g x f x λ=-在[0,]2π
上有两个零点，
则实数λ的取值范围为[0，1)； （3）设()t f x =，则[3t ∈-，1]，
则原不等式可转化为对[3t ∀∈-，1]，都有2(8)40t k t k +--恒成立， 设2()(8)4h t t k t k =+--，([3,1])t ∈-，
则(3)0(1)0
h h -⎧⎨⎩，即95k ，即实数k 的取值范围为9[,)5+∞．。