杭州市二中2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}06,U x x x Z =≤≤∈，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(C U B )＝（ ） A ．{3,6} B ．{4,5} C ．{1} D ．{1,3,4,5,6}

2．设12

32,(2)()log (1),(2)

x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．已知向量a ,b 满足2a b ==,a 与b 的夹角为120,则a b -的值为 （ ） A ．1 B ．3 C ．23 D ．32 4．若α是第三象限的角, 则2

α

π-

是（ ）

A ．第一或第二象限的角

B ．第一或第三象限的角

C ．第二或第三象限的角

D ．第二或第四象限的角 5．要得到函数cos()3

y x π

=+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）

A ．向左平移6π

个长度单位 B ．向右平移

6π

个长度单位 C ．向左平移56

π

个长度单位

D ．向右平移56

π

个长度单位

6．一种波的波形为函数sin()2

y x π=-的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰（图

象的最高点），则正整数t 的最小值是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是

（ ）

8．已知α终边上一点的坐标为（2sin 3,2cos3),-则α可能是（ ） A ．32π

-

B ．3

C ．3π-

D ．

32

π

-

9．已知函数()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图象如图所示，则

不等式()cos 0f x x <的解集是（ ） A ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃ B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ

--⋃⋃

C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃

D ．(3,)(0,1)(1,3)2

π

--⋃⋃

10． 已知函数22

sin cos 2()2cos x x x x

f x x x

+++=+的最大值是M ， 最小值为N ，则（ ）

A ．4M N -=

B ．4M N +=

C ．2M N -=

D ．2M N += 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．cos 600的值为 ．

12．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数sin()

6

I A t π

ω=+（0A >，0ω≠）的图象如图所示，则当1

50

t =

秒时，电流强度是 安．

13．函数()sin f x x x =-的零点个数为 ． 14． 如图所示，在ABC ∆中，2,,1BC BD AD AB AD =⊥=， 则AC AD ⋅= ．

15．关于x 的方程1426(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在区间[0,1]上有解，则实数k 的取值范围是________．

16．设符号1

()(1)(2)(3)()n

i f i f f f f n ==+++⋅⋅⋅+∑，令函数1

()sin()2

4

n

i I n i π

π

==⨯

+

∑，

1

2()cos()36

n

i L n i ππ

==⨯

+∑，则(2013)(2014)I L += ． 17．关于x 的不等式1(sin 1)sin 2x x m m +-+≥对[0,]2

x π

∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共4小题．共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分9分） 已知函数()2sin(2)13f x x π

=++

，

（Ⅰ）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图； （Ⅱ）写出该函数的单调递减区间．

19．（本题满分10分）已知O 为坐标原点，点(2,0),(0,2),(cos ,sin )A B C αα，且0απ<<． （Ⅰ）若7

5

AC BC ⋅=

，求tan α的值； （Ⅱ）若||7OA OC +=OB 与OC 的夹角．

20．（本题满分11分) 已知α为第三象限角，()f α=（Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）设2

()()tan g f ααα

=-+，求函数()g α的最小值，并求取最小值时的α的值．

21．（本题满分12分) 已知a R ∈，设函数2()lg 2lg 4g x x a x =-+ 1

([,))10

x ∈+∞的最小值

为().h a

（Ⅰ）求()h a 的表达式；

（Ⅱ）是否存在区间[,]m n ，使得函数()h a 在区间[,]m n 上的值域为[2,2]m n ？若存在，求出

,m n 的值；若不存在，请说明理由．