山东省济宁市微山县第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版)
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故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，且满足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（）
A. 为递减数列B.
C. 是数列 中的最大项D.
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：
15.若△ 的边长 成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差中项的性质，求得 以及 关系，利用诱导公式和余弦定理化简目标式为关于 的函数关系，结合 的取值范围，求函数值域即可.
【详解】 ，
由余弦定理可得：
2022—2023学年第一学期期中质量检测
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得集合 对应函数的定义域和值域，根据集合之间的包含关系和集合运算即可求得结果.
详解】 ， ，
故 ， ， 不包含于 ， ，则ACD错误，B正确.
故选：B.
2.给出的下列条件中能成为 的充要条件的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合对数函数和指数函数的单调性，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：当 时，无法由 推出 ，不符合；
因为 ，所以 ；
所以 ，又 ， ，
故 ，所以函数 的图象关于点 对称，B错，
因为 ，所以 ，所以 ， 为常数，
因为 ，所以 ，
所以 ，取 可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故函数 为周期为4的函数，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由已知无法确定 的值，故 的值不一定为0，D错；
最大值为 ，
则 的最大值为 ，D正确.
故选：BCD
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
12.设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）
A. B.函数 的图象关于 对称
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由 为奇函数可得 ，由 取导数可得 ，结合条件 ，判断B，再由条件判断函数 ， 的周期，由此计算 ， ，判断C，D．
【详解】因为 为奇函数，所以 ，取 可得 ，A对，
所以 是 上的增函数；
则 ，即 ，
整理得： ，解得： 或 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：B.
8.设 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】同时取自然对数可得 ， ， ，根据 ，考虑构造函数 ，利用函数单调性比较大小.
【详解】因为 ，同时取自然对数可得 ， ， ，因为 ，故考虑设 ，则 ， ， ，且 ，因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，又 ，所以当 时， ，所以函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
选择条件①：
由正弦定理，可得：
可得： ，
又由余弦定理，可得：
因为 ，所以 .
选择条件②：由 ，得： ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
， ， ，
所以 ，则 .
选择条件③：
因为 ，可得： ，
由正弦定理可得：
可得： ，整理可得： ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
即 ，
【详解】连接AF，
因为 ，故 ，
因为 ，故 ，
故 ，
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则
故 ，
故 ，
所以 与 平行，不能构成一组基底，A错误；
， ， ，
，
故 ，B正确；
， ， ，
故 在 向量上的投影向量的模长为 ，C正确；
取 的中点 ，则 ， ，
则 ， ，
两式相减得： ，
当点 与点 或 重合时， 最大，
A. 与 能构成一组基底B.
C. 在 向量上的投影向量的模为 D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，证明出 ，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到 与 平行，故A错误；
B选项，求出 得到B正确；
C选项，求出 ， ，利用投影向量的计算公式求出答案；
D选项，取 的中点 ，得到 ，求出 的最大值，从而得到 的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】对函数 求导两次得到 ，再由 得到 ，构造函数 ，利用导数证明 在 上单调递增，
从而得到 ，变式得： ，再次构造函数 ，求 即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
则 ，即 ，
由题意得， 在 上恒成立；
所以
则 所以 ，
令 （ ），则 ，
时， ，所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
则
，所以 ，
故线段BD的取值范围为 .
19.已知 ，抛物线 与x轴正半轴相交于点A，在点A处的切线在y轴上的截距为
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数运算以及已知条件，结合三角函数有界性，即可判断和选择.
【详解】对A：由
可得 ，
又 ，
，
故可得 ，A正确；
对B： ，
，
又
显然 ，B错误；
对C：由 可得 ，故 ，C正确；
对D：由 可得 ，则 ，
又 ，故 ，D正确.
故选：ACD.
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（）
若选条件②，先去分母后，用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；
若选条件③，先用三角形的内角之和为 结合诱导公式得到 ，再利用正弦定理和两角差的余弦公式化简，即可求解；
（2）由向量的加法可得： ，平方后结合已知条件得到 （ ），再由二次函数的图像与性质，即可求解.
【小问1详解】
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值再求解即可.
【详解】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
对B：若 ，由 ，无法得到 ，不符合；
对C：根据 是 上的单调增函数，故 ，等价于 ，不是 的充要条件，不符合；
对D：根据 是 上的单调增函数，故 等价于 ，即 是 的充要条件，D符合.
故选：D.
3.已知数列 成等差数列，其前n项和 ，若 ，则 （）
A.7B.6C.5D.4
【答案】C
【解析】
【分析】设出公差，根据前 项和基本量计算出公差，从而求出 .
13.设 ，则使得命题“若 ，则 ”为假命题的一组 的值是________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，求得 满足的条件，即可选取 的值.
【详解】根据题意，满足题意 满足 ，且 ，
即 ，解得 ，
则答案不唯一，不妨取 ，满足题意.
故答案为： .（答案不唯一）
14.设函数 若 存在最小值，a的取值范围___________.
因为 ，所以 ， ，
所以 ，故函数 为周期为4的函数，
所以函数 为周期为4的函数，
又 ， ， ， ，
所以 ，
所以
，C对，
故选：AC.
【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若 ，则函数 关于 对称；
若 ，则函数 关于 中心对称；
若 ，则 是 的一个周期
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
故选：D
5.已知向量 ，若 ，且 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标公式求得 满足的等量关系，结合基本不等式，即可求得结果.
【详解】根据题意， ，即 ，则 ，又 ，
故
，
当且仅当 ，且 ，即 时取得等号.
故选：A.
6.已知函数 ，函数 的图象可以由函数 的图象先向左平移 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到，若 是函数 的一个极大值点， 是与其相邻的一个零点，则 的值为（）
由题可知 ，即 ，且 ，
故 ，
由 ，即 可得 ，
又 在 单调递增，在 单调递减，且 ，
故当 时， ，令 ，又 单调递增，
当 时， ，当 时， ，故 ，即 .
故答案为： .
16.定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上也存在导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 ．若在区间 上 ，则称函数 在区间 上为“凹函数”．已知 在区间 上为“凹函数”，则实数a的取值范围为___________．
（1）若命题P为真命题，求集合A；
（2）在（1）的条件下，若 是 的充分不必要条件．求实数t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由幂函数在 上单调递增，求得 的值，代入 求导可得单调递增区间，则 为单调递增区间的子集，可求得 的取值范围.
(2) 是 的充分不必要条件，则AB，列不等式组即可解决.
【详解】设 的公差为 ，由 得：
，解得： ，
故 .
故选：C
4.函数 是偶函数，则a，b的值可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意， 时， ，代入分段函数，又函数为偶函数，可得 ，利用诱导公式化简为同名函数，就可得到自变量之间的关系.
【详解】当 时， ， ，因为函数 是偶函数， ，即 ，即 ，则有 ，分析选项，只有D选项满足 .
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得 的范围，再根据等比数列的性质，对每个选项进行分析，即可判断和选择.
【详解】因为数列 为等比数列，且 ， ，故 ，该数列为正项等比数列；
若 ，显然不满足题意，舍去；若 ，则 ，不满足 ，舍去；
若 ，则该数列为单调减数列，由 ，
故可得 ， 或 ， ，
显然 ， 不满足题意，故舍去，则 ，
A. B.0C.1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换，以及 的极大值点和零点求得解析式，再求函数值即可.
【详解】函数 的图象先向左平移 个单位长度，得到 的图象，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到 的图象；
由题可知， ，解得 ，则 ，又 ，
故可得 ，解得 ，
故 .
【小问1详解】
由幂函数的定义得： ，解得 或 ，
当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当 时， 在 上单调递增，符合题意；
综上可知： .所以 ，由 上单调递增，
得 ，解得 ，则 ，
解得
【小问2详解】
由 得：x＝ 或x＝ ，
综上， 的解集为B＝ ，
若 是 的充分不必要条件，则AB，即 ，
得： ，所以实数m的取值范围是 ．
18.在① ，② ，③ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
（1）求角B；
（2）若 ，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；
故选：C.
7.已知函数 ，且 ，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 （ ），即 ，结合条件得到： ，
再由 的奇偶性和单调性得到： ，即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，
设 （ ），则 ，
由 ，得 ，
又因为 ，
所以 是 上的奇函数，即 ，
又有Leabharlann Baidu，
因为 是 上的增函数， 是 上的增函数，
即 时， 恒成立，
设 （ ），则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，则 ；
故实数a的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.命题 已知幂函数 在 上单调递增，且函数 在 上单调递增时，实数a的范围为集合A﹔命题 关于x的不等式 的解集为B．
对A：因为 ，故数列 为单调减数列，A正确；
对B： ，即 ，即 ，故B错误；
对C：因为 单调递减，且 ，故 的最大值为 ，C正确；
对D： ，故D正确；
故选：ACD.
10.数学家们在探寻自然对数底 与圆周率 之间的联系时，发现了如下的公式：
（1）
（2）
（3）
据此判断以下命题正确的是（）（已知i为虚数单位）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，且满足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（）
A. 为递减数列B.
C. 是数列 中的最大项D.
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：
15.若△ 的边长 成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差中项的性质，求得 以及 关系，利用诱导公式和余弦定理化简目标式为关于 的函数关系，结合 的取值范围，求函数值域即可.
【详解】 ，
由余弦定理可得：
2022—2023学年第一学期期中质量检测
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得集合 对应函数的定义域和值域，根据集合之间的包含关系和集合运算即可求得结果.
详解】 ， ，
故 ， ， 不包含于 ， ，则ACD错误，B正确.
故选：B.
2.给出的下列条件中能成为 的充要条件的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合对数函数和指数函数的单调性，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：当 时，无法由 推出 ，不符合；
因为 ，所以 ；
所以 ，又 ， ，
故 ，所以函数 的图象关于点 对称，B错，
因为 ，所以 ，所以 ， 为常数，
因为 ，所以 ，
所以 ，取 可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故函数 为周期为4的函数，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由已知无法确定 的值，故 的值不一定为0，D错；
最大值为 ，
则 的最大值为 ，D正确.
故选：BCD
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
12.设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）
A. B.函数 的图象关于 对称
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由 为奇函数可得 ，由 取导数可得 ，结合条件 ，判断B，再由条件判断函数 ， 的周期，由此计算 ， ，判断C，D．
【详解】因为 为奇函数，所以 ，取 可得 ，A对，
所以 是 上的增函数；
则 ，即 ，
整理得： ，解得： 或 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：B.
8.设 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】同时取自然对数可得 ， ， ，根据 ，考虑构造函数 ，利用函数单调性比较大小.
【详解】因为 ，同时取自然对数可得 ， ， ，因为 ，故考虑设 ，则 ， ， ，且 ，因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，又 ，所以当 时， ，所以函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
选择条件①：
由正弦定理，可得：
可得： ，
又由余弦定理，可得：
因为 ，所以 .
选择条件②：由 ，得： ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
， ， ，
所以 ，则 .
选择条件③：
因为 ，可得： ，
由正弦定理可得：
可得： ，整理可得： ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
即 ，
【详解】连接AF，
因为 ，故 ，
因为 ，故 ，
故 ，
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则
故 ，
故 ，
所以 与 平行，不能构成一组基底，A错误；
， ， ，
，
故 ，B正确；
， ， ，
故 在 向量上的投影向量的模长为 ，C正确；
取 的中点 ，则 ， ，
则 ， ，
两式相减得： ，
当点 与点 或 重合时， 最大，
A. 与 能构成一组基底B.
C. 在 向量上的投影向量的模为 D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，证明出 ，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到 与 平行，故A错误；
B选项，求出 得到B正确；
C选项，求出 ， ，利用投影向量的计算公式求出答案；
D选项，取 的中点 ，得到 ，求出 的最大值，从而得到 的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】对函数 求导两次得到 ，再由 得到 ，构造函数 ，利用导数证明 在 上单调递增，
从而得到 ，变式得： ，再次构造函数 ，求 即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
则 ，即 ，
由题意得， 在 上恒成立；
所以
则 所以 ，
令 （ ），则 ，
时， ，所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
则
，所以 ，
故线段BD的取值范围为 .
19.已知 ，抛物线 与x轴正半轴相交于点A，在点A处的切线在y轴上的截距为
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数运算以及已知条件，结合三角函数有界性，即可判断和选择.
【详解】对A：由
可得 ，
又 ，
，
故可得 ，A正确；
对B： ，
，
又
显然 ，B错误；
对C：由 可得 ，故 ，C正确；
对D：由 可得 ，则 ，
又 ，故 ，D正确.
故选：ACD.
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（）
若选条件②，先去分母后，用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；
若选条件③，先用三角形的内角之和为 结合诱导公式得到 ，再利用正弦定理和两角差的余弦公式化简，即可求解；
（2）由向量的加法可得： ，平方后结合已知条件得到 （ ），再由二次函数的图像与性质，即可求解.
【小问1详解】
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值再求解即可.
【详解】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
对B：若 ，由 ，无法得到 ，不符合；
对C：根据 是 上的单调增函数，故 ，等价于 ，不是 的充要条件，不符合；
对D：根据 是 上的单调增函数，故 等价于 ，即 是 的充要条件，D符合.
故选：D.
3.已知数列 成等差数列，其前n项和 ，若 ，则 （）
A.7B.6C.5D.4
【答案】C
【解析】
【分析】设出公差，根据前 项和基本量计算出公差，从而求出 .
13.设 ，则使得命题“若 ，则 ”为假命题的一组 的值是________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，求得 满足的条件，即可选取 的值.
【详解】根据题意，满足题意 满足 ，且 ，
即 ，解得 ，
则答案不唯一，不妨取 ，满足题意.
故答案为： .（答案不唯一）
14.设函数 若 存在最小值，a的取值范围___________.
因为 ，所以 ， ，
所以 ，故函数 为周期为4的函数，
所以函数 为周期为4的函数，
又 ， ， ， ，
所以 ，
所以
，C对，
故选：AC.
【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若 ，则函数 关于 对称；
若 ，则函数 关于 中心对称；
若 ，则 是 的一个周期
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
故选：D
5.已知向量 ，若 ，且 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标公式求得 满足的等量关系，结合基本不等式，即可求得结果.
【详解】根据题意， ，即 ，则 ，又 ，
故
，
当且仅当 ，且 ，即 时取得等号.
故选：A.
6.已知函数 ，函数 的图象可以由函数 的图象先向左平移 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到，若 是函数 的一个极大值点， 是与其相邻的一个零点，则 的值为（）
由题可知 ，即 ，且 ，
故 ，
由 ，即 可得 ，
又 在 单调递增，在 单调递减，且 ，
故当 时， ，令 ，又 单调递增，
当 时， ，当 时， ，故 ，即 .
故答案为： .
16.定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上也存在导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 ．若在区间 上 ，则称函数 在区间 上为“凹函数”．已知 在区间 上为“凹函数”，则实数a的取值范围为___________．
（1）若命题P为真命题，求集合A；
（2）在（1）的条件下，若 是 的充分不必要条件．求实数t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由幂函数在 上单调递增，求得 的值，代入 求导可得单调递增区间，则 为单调递增区间的子集，可求得 的取值范围.
(2) 是 的充分不必要条件，则AB，列不等式组即可解决.
【详解】设 的公差为 ，由 得：
，解得： ，
故 .
故选：C
4.函数 是偶函数，则a，b的值可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意， 时， ，代入分段函数，又函数为偶函数，可得 ，利用诱导公式化简为同名函数，就可得到自变量之间的关系.
【详解】当 时， ， ，因为函数 是偶函数， ，即 ，即 ，则有 ，分析选项，只有D选项满足 .
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得 的范围，再根据等比数列的性质，对每个选项进行分析，即可判断和选择.
【详解】因为数列 为等比数列，且 ， ，故 ，该数列为正项等比数列；
若 ，显然不满足题意，舍去；若 ，则 ，不满足 ，舍去；
若 ，则该数列为单调减数列，由 ，
故可得 ， 或 ， ，
显然 ， 不满足题意，故舍去，则 ，
A. B.0C.1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换，以及 的极大值点和零点求得解析式，再求函数值即可.
【详解】函数 的图象先向左平移 个单位长度，得到 的图象，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到 的图象；
由题可知， ，解得 ，则 ，又 ，
故可得 ，解得 ，
故 .
【小问1详解】
由幂函数的定义得： ，解得 或 ，
当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当 时， 在 上单调递增，符合题意；
综上可知： .所以 ，由 上单调递增，
得 ，解得 ，则 ，
解得
【小问2详解】
由 得：x＝ 或x＝ ，
综上， 的解集为B＝ ，
若 是 的充分不必要条件，则AB，即 ，
得： ，所以实数m的取值范围是 ．
18.在① ，② ，③ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
（1）求角B；
（2）若 ，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；
故选：C.
7.已知函数 ，且 ，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 （ ），即 ，结合条件得到： ，
再由 的奇偶性和单调性得到： ，即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，
设 （ ），则 ，
由 ，得 ，
又因为 ，
所以 是 上的奇函数，即 ，
又有Leabharlann Baidu，
因为 是 上的增函数， 是 上的增函数，
即 时， 恒成立，
设 （ ），则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，则 ；
故实数a的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.命题 已知幂函数 在 上单调递增，且函数 在 上单调递增时，实数a的范围为集合A﹔命题 关于x的不等式 的解集为B．
对A：因为 ，故数列 为单调减数列，A正确；
对B： ，即 ，即 ，故B错误；
对C：因为 单调递减，且 ，故 的最大值为 ，C正确；
对D： ，故D正确；
故选：ACD.
10.数学家们在探寻自然对数底 与圆周率 之间的联系时，发现了如下的公式：
（1）
（2）
（3）
据此判断以下命题正确的是（）（已知i为虚数单位）