浙江2020版高考数学第十章计数原理10.3二项式定理讲义(含解析)

§10.3二项式定理
最新考纲考情考向分析
1.了解二项式定理.
2.理解二项式系数的性质.
以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式
以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；
本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中档.
1.二项式定理
二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项
二项式系数二项展开式中各项的系数C k n(k∈{0，1，2，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)C0n＝1，C n n＝1.
C m n＋1＝C m－1
n＋C
m
n.
(2)C m n＝C n－m
n.
(3)当n是偶数时，
1
2
n
T
+
项的二项式系数最大；当n是奇数时，
1
2
n
T
+
与
1
1
2
n
T
+
+
项的二项式系数相等且最大.
(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.
概念方法微思考
1.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式形式上有什么特点？
提示二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第
一项起，次数由零逐项增1直到n .
(4)二项式的系数从C 0
n ，C 1
n ，一直到C n －1n ，C n
n .
3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a ，b 的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)C k n a
n －k b k
是二项展开式的第k 项.( × )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a ＋b )n
的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( √ ) (4)(a －b )n
的展开式第k ＋1项的系数为C k n a
n －k b k
.( × )
(5)(x －1)n
的展开式二项式系数和为－2n
.( × ) 题组二 教材改编
2.[P31例2(2)](1＋2x )5
的展开式中，x 2
的系数等于( ) A.80B.40C.20D.10 答案 B
解析 T k ＋1＝C k
5(2x )k
＝C k 52k x k
，当k ＝2时，x 2
的系数为C 2
5·22
＝40.
3.[P31例2(2)]若⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A.10
B.20
C.30
D.120 答案 B
解析 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x k ＝C k 6x 6－2k
，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 3
6＝20.
4.[P41B 组T5]若(x －1)4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B
解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8. 题组三 易错自纠
5.(x －y )n
的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m
n B.C m ＋1
n C.C m －1n
D.(－1)
m －1C m －1
n
解析 (x －y )n
二项展开式第m 项的通项公式为
T m ＝C m －1n (－y )
m －1x n －m ＋1
， 所以系数为C m －1n (－1)
m －1
.
6.已知(x ＋1)10
＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2
＋…＋a 11x 10
.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *
)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A.5B.6C.7D.8 答案 B
解析 由二项式定理知，a n ＝C n －1
10(n ＝1，2，3，…，11). 又(x ＋1)10
展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.
7.(x y －y x )4
的展开式中，x 3y 3
项的系数为________. 答案 6
解析 二项展开式的通项是T k ＋1＝C k
4(x y )
4－k
·(－y x )k ＝422
2
2
(1)C k k k
k
x
y
-
+
－，令4－k
2
＝2＋
k
2
＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3
的系数为(－1)2C 2
4＝6.
题型一 二项展开式
命题点1 求指定项(或系数)
例1 (1)⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x
2(1＋x )6的展开式中x 2
的系数为( )
A.15
B.20
C.30
D.35 答案 C
解析 因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x
2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x
2·C 4
6
x 4.
因为C 26＋C 46＝2C 2
6＝2×6×52×1
＝30，
所以⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x
2(1＋x )6的展开式中x 2
的系数为30.
(2)(2018·温州市高考适应性测试)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －2x 9
的展开式中，常数项是( )
A.C 3
9 B.－C 3
9 C.8C 39 D.－8C 39
答案 D
解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2x 9的展开式的通项公式为C k 9⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 9－k (－2x )k
＝39
29(2)C k k k x －－，
令3k －92＝0，得k ＝3，则二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －2x 9的展开式中的常数项为(－2)3C 39＝－8C 3
9，故选D.
(3)(x 2
＋x ＋y )4
的展开式中，x 3y 2
的系数是________. 答案 12
解析 方法一 (x 2
＋x ＋y )4
＝[(x 2
＋x )＋y ]4
， 其展开式的第k ＋1项的通项公式为T k ＋1＝C k 4(x 2＋x )4－k y k
，
因为要求x 3y 2
的系数，所以k ＝2， 所以T 3＝C 2
4(x 2
＋x )
4－2y 2
＝6(x 2＋x )2y 2.
因为(x 2
＋x )2的展开式中x 3
的系数为2， 所以x 3y 2
的系数是6×2＝12.
方法二 (x 2
＋x ＋y )4
表示4个因式x 2
＋x ＋y 的乘积，
在这4个因式中，有2个因式选y ，其余的2个因式中有一个选x ，剩下的一个选x 2
，即可得到含x 3y 2
的项，
故x 3y 2
的系数是C 2
4·C 1
2·C 1
1＝12. 命题点2 求参数
例2 (1)若(x 2－a )⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6
的系数为30，则a 等于( )
A.13
B.1
2C.1D.2 答案 D
解析 由题意得⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k
·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 2
10＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.
(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6
的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )
A.±2
B.12
C.－2
D.±1
2
解析 ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1ax k ＝C k 6⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
k x
12－3k ，令12－3k ＝0， 得k ＝4.
故C 4
6·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116
，解得a ＝±2，故选A.
思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.
跟踪训练 1 (1)(2018·浙江七彩阳光联盟联考)⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1x
2(1＋x )6的展开式中x 3
的系数为
__________. 答案 14
解析 在(1＋x )6的展开式中x 3的系数为C 36＝20，1x
2·(1＋x )6的展开式中x 3的系数为C 5
6＝6，
所以⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1x 2(1＋x )6的展开式中x 3
的系数为20－6＝14.
(2)(2018·丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若⎝
⎛⎭
⎪⎫x －a x
26
的展开式中x 3
的系数为－12，则
a ＝______；常数项是________.
答案 2 60
解析 由于二项展开式的通项T k ＋1＝C k 6x
6－k
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a x 2k ＝(－a )k C k 6x 6－3k ，令6－3k ＝3，则k ＝1，所以(－a )C 1
6＝－6a ＝－12，a ＝2；令6－3k ＝0，则k ＝2，所以常数项是(－2)2C 2
6＝4×15＝60. 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题
例3 (1)(a ＋x )(1＋x )4
的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3
解析 设(a ＋x )(1＋x )4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
＋a 5x 5
， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，
即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.
(2)若(x ＋2＋m )9
＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2
＋…＋a 9(x ＋1)9
，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2
－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2
＝39
，则实数m 的值为________. 答案 1或－3
解析 令x ＝0，则(2＋m )9
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，
令x ＝－2，则m 9
＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2
－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2
＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39
， ∴(2＋m )9
·m 9
＝39
，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.
(3)若⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n
，则a 1＋
a 2＋…＋a n 的值为________.
答案 255
解析 ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n
展开式的第k ＋1项为
T k ＋1＝C k n (x 2)
n －k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1x k ＝C k n (－1)k x 2n －3k
， 当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 8x 8
， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28
＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m
(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝
f (1)＋f (－1)
2
，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝
f (1)－f (－1)
2
.
跟踪训练2 已知(1－2x )7
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 7x 7
. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.
解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ＝－1.①
令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37
.② (1)∵a 0＝C 0
7＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，
得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－37
2
＝－1094.
(3)(①＋②)÷2，
得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋3
7
2
＝1093.
(4)方法一 ∵(1－2x )7
展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1093－(－1094)＝2187.
方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋2x )7
展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37
＝2187.
题型三 二项式定理的应用
例4 (1)设a ∈Z 且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a 等于( )
A.0B.1C.11D.12 答案 D 解析 51
2012
＋a ＝(52－1)2012
＋a ＝C 02012·52
2012
－C 12012·52
2011
＋…＋C 20112012·52·(－1)
2011
＋
C 2012
2012·(－1)2012
＋a ，
∵C 0
2012·52
2012
－C 1
2012·52
2011
＋…＋C 20112012·52·(－1)
2011
能被13整除且51
2012
＋a 能被13整除，
∴C 20122012·(－1)2012
＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.
(2)设复数x ＝2i 1－i
(i 是虚数单位)，则C 12017x ＋C 22017x 2＋C 32017x 3＋…＋C 20172017x 2017
等于( ) A.i B.－i C.－1＋i D.－1－i
答案 C 解析 x ＝
2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )
＝－1＋i ， C 1
2017x ＋C 2
2017x 2
＋C 3
2017x 3
＋…＋C 20172017x 2017
＝(1＋x )
2017
－1＝i
2017
－1＝i －1.
思维升华 (1)逆用二项式定理的关键
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论.
跟踪训练 3 (1)1－90C 1
10＋902C 2
10－903C 3
10＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 10
10除以88的余数是( )
A.－1
B.1
C.－87
D.87 答案 B
解析 1－90C 1
10＋902C 2
10－903C 3
10＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10
＝8810
＋C 1
10889
＋…＋C 9
1088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)若(1－2x )2018
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x
2018
，则a 12＋a 222＋…＋a 2018
2
2018＝________.
答案 －1
解析 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2018
22018，
∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2018
22018， 即a 12＋a 222＋…＋a 2018
2
2018＝－1.
1.在⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－2x 6
的展开式中，常数项为( )
A.－240
B.－60
C.60
D.240 答案 D
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，通项公式为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 6x 12－3k
，令12－3k ＝0，
得k ＝4，故常数项为T 5＝(－2)4C 4
6＝240，故选D.
2.(2018·杭州质检)二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5的展开式中含x 3
项的系数是( )
A.80
B.48
C.－40
D.－80 答案 D
解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x k ＝(－1)k 25－k C k 5x 5－2k
，5－2k ＝3，则
k ＝1，∴含x 3的项为T 2＝(－1)124C 15x 3＝－80x 3
，其中系数为－80，故选D.
3.(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3
的系数为( ) A.－80B.－40C.40D.80 答案 D
解析 (2x －y )6
的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(2x )
6－k
(－y )k ，当k ＝2时，T 3＝240x 4y 2
，当k
＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3
的系数为240－160＝80，故选D. 4.(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4
的二项式系数为( ) A.21B.35C.45D.28 答案 B
解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4
的二项式系数为C 4
7＝35，故选B.
5.(2018·浙江省考前热身联考)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋4x 2＋43
展开式的常数项为( )
A.120
B.160
C.200
D.240 答案 B
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4x 2＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 6，展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 6－k ·(2x )k ＝C k 62k x 2k －6
，令2k －
6＝0，可得k ＝3，故展开式的常数项为160.
6.若在(x ＋1)4
(ax －1)的展开式中，x 4
项的系数为15，则a 的值为( ) A.－4B.52C.4D.72
答案 C
解析 ∵(x ＋1)4
(ax －1)＝(x 4
＋4x 3
＋6x 2
＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4
项的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.
7.(2018·浙江省重点中学高三调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为
( )
A.－671
B.671
C.672
D.673 答案 B
解析 令x ＝1，可得该二项展开式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T k ＋1
＝C k 9⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
9－k ·(－2x 2)k ＝C k 9(－2)k ·x 3k －9
，令3k －9＝0，得k ＝3，所以该二项展开式中的常数
项为C 3
9(－2)3
＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671，故选B. 8.若(1－3x )2018
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2018x 2018
，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2018·3
2018
的值为( )
A.2
2018
－1B.8
2018
－1C.2
2018
D.8
2018
答案 B
解析 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32
＋…＋a 2018·32018
＝(1－9)
2018
＝8
2018
，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2018·3
2018
＝8
2018
－a 0＝8
2018
－1，故选B.
9.(2018·绍兴诸暨期末)已知(2x ＋1)6
＝a 6(x ＋1)6
＋a 5(x ＋1)5
＋a 4(x ＋1)4
＋…＋a 1(x ＋1)＋
a 0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝________，a 2＝________.
答案 1 60
解析 令x ＝0，即得16
＝a 6＋a 5＋…＋a 1＋a 0，
又(2x ＋1)6
＝[2(x ＋1)－1]6
的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6[2(x ＋1)]6－k
(－1)k
，
则a 2＝C 4622
·(－1)4
＝60.
10.(2018·杭州四校联考)已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
ax ＋13x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n ＝________；若含x 8
项的系数为55128，则常数项为________.
答案 12
552
解析 因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以展开式共有13项，n ＝12，则二项展开式的通项T k ＋1＝14121212123
3
12
12
C C k k
k k k
k k a x
x
a
x
-－－－－＝，令12－4
3
k ＝8，得k ＝3，所以C 312a
9
＝
55128，得12×11×106×a 9＝55128，得a 9
＝1512，即a ＝12
. 令12－4
3
k ＝0，得k ＝9，
故常数项为T 10＝C 912a 3
＝12×11×106×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝552.
11.9192
除以100的余数是________. 答案 81
解析 9192
＝(90＋1)92
＝C 0
929092
＋C 1
929091
＋…＋C 90
92902
＋(C 91
9290＋C 92
92)＝k ×100＋92×90＋1＝
k ×100＋82×100＋81(k 为正整数)，所以9192除以100的余数是81.
12.若(1＋x ＋x 2)6
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 12x 12
，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝__________.(用数字作答) 答案 364
解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36
， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36
＋1
2.
令x ＝0，得a 0＝1，
∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36
＋1
2
－1＝364.
13.(2014·浙江)在(1＋x )6
(1＋y )4
的展开式中，记x m y n
项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋
f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)等于( )
A.45
B.60
C.120
D.210
答案 C
解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，
所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)
＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.
14.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x n (n ∈N *)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则p ＋64q 的最小值为______.
答案 16
解析 显然p ＝2n .令x ＝1，得q ＝12
n . 所以p ＋64q ＝2n ＋642
n ≥22n ·642
n ＝16， 当且仅当2n ＝642
n ， 即n ＝3时取等号，此时p ＋64q 的最小值为16.
15.(2018·金华模拟)若(3－2x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋10a 10＝________.
答案 －20
解析 对原等式两边求导，得－20(3－2x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋10a 10＝－20. 16.若⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋24x n 展开式中前三项的系数和为163，求： (1)展开式中所有x 的有理项；
(2)展开式中系数最大的项.
解 易求得展开式前三项的系数为1，2C 1n ，4C 2
n .
由题意得1＋2C 1n ＋4C 2n ＝163，可得n ＝9.
(1)设展开式中的有理项为T k ＋1，
由T k ＋1＝C k 9(x )9－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24x k ＝183492C k k k x -， 又∵0≤k ≤9，∴k ＝2，6.
故有理项为T 3＝183222
492C x -⨯⋅＝144x 3
，
1836
66
4792C 5 376.T x -⨯⋅⋅＝＝
(2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2k C k 9≥2k ＋1C k ＋19，2k C k 9≥2k －1C k －19，
∴173≤k ≤203
， 又∵k ∈N ，∴k ＝6，
故展开式中系数最大的项为T 7＝5376.。