平面向量的概念

平面向量的概念
平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。

平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。

平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。

平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。

即用平面上两个点A(x1,y1)和
B(x2,y2)来表示平面向量AB。

向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。

另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。

例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。

平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。

平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。

例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。

减法也是同样的方法。

数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。

平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。

例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。

向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。

另一个重要应用是平面向量的单位向量，即向量的长度为1的向量。

其计算方法为：将向量除以它的长度，即单位向量u=AB/|AB|=(x2-x1,y2-y1)/√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

单位向量在计算角度、方向等问题中都有着重要的应用。