2020-2021学年四川省南充市阆中中学高一(仁智班)上学期期中考试数学试题

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阆中中学校2020年秋高2020级期中教学质量检测(仁智)
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷卷面分计5分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则
A ．{|0}A
B x x ⋂=>
B ．{|1}A
B x x =>
C ．{|1}A B x x =>
D ．A B R =
2．已知集合1|
02A x x ⎧⎫
=>⎨-⎩⎭
∈⎬N ，则集合U C A 的子集的个数为 A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
3．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图，则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知331f
x x x -=-，则函数()y f x =的值域为
A ．[)0,+∞
B ．[
)4,+∞ C ．15,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．15,44⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
5．已知0
a >且1a ≠，函数(1)34,(0)
(){,(0)
x a x a x f x a x -+-≤=>满足对任意实数12x x ≠，
都有
2121
()()
0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是
A ．0,1
B ．1,
C ．51,3
⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．5,23
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
6．若函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25,44⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
,则实数m 的取值范围是 A ．(0,3]
B ．3,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
7．如果函数()f x 对任意,a b 满足()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则
(2)(4)(6)
(2016)
(1)(3)(5)
(2015)
f f f f f f f f ++++
=
A ．4032
B ．2016
C ．1008
D ．504
8．已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =++-，则 A ．()f x 在()2,4-单调递增
B ．()f x 在()2,4-单调递减
C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称
D ．()y f x =的图象关于点()1,0对称
9．已知3log 2a =，lg 4b =，9log 5c =，则有 A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
10．用},,{min c b a 表示c b a ,,三个数中的最小值．),0}(10,2,2{m in (≥-+=x x x x f x
）
则()f x 的最大值为 A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
11.设函数()1
31
(2),,2
x
x f x x m n =-其中为实数，则下列结论正确的是
A ．3,()()m n f m f n ≤<<若-则
B ．0,()()m n f m f n <≤<若则
C ．33
()(),f m f n m n <<若则
D ．22
()(),f m f n m n <<若则
12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-. 若对
任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-
，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ D ．8,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（20分，每小题5分）
13.已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝___________．
14.已知函数1
22,2()(12),2x x f x log x x -⎧<-⎪
=⎨-+-⎪⎩
，且()4f a =，则()f a -=___________．
15.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =， 则()()()()1232020f f f f +++
+=___________．
16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()21,01
1,1x x f x x x
⎧-≤<⎪
=⎨≥⎪⎩，偶函数()g x
的定义域为{}|0x x ≠，且当0x >时，()2log g x x =，若存在实数a ，使得 ()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是___________．
三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17．(本小题10分)
（Ⅰ）计算
()
(
)4
113
2
0.0080.25--
-⨯；
（Ⅱ）化简
391
3
log 0.16log 252
++．
18.(本小题12分)（已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x <时，2
()41f x x x =+-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 单调区间．
19.(本小题12分)设函数()211f x x x =-+-，2
()1681g x x x =-+，记()1f x ≤
的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；
（2）当x M N ∈⋂时，证明：2
2
1()[()]4
x f x x f x +≤．
20.(本小题12分)（已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意 12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+且当1x >时，()0,(2)1f x f >=. （1）求证：()f x 是偶函数；
（2）求证：()f x 在()0,∞+上是增函数；
（3）试比较5()2f -与7()4
f 的大小．
21.(本小题12分)（已知函数()12x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，函数()2log g x x =.
（1）若(
)
2
2g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；
（2）当[]1,1x ∈-时，函数()()2
23y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1，求实数a 的值．
22.(本小题12分)（已知函数()2
1
x f x a e =-
+（ 2.71828e =⋅⋅⋅）. （1）判断()f x 的单调性并用定义法证明；
（2）若函数)(x f 为奇函数，当0x >时，x
e x m
f ≤)(恒成立，求实数m 的取值范围．
阆中中学校2020年秋高2020级期中教学质量检测(仁智)
数学参考答案
1．B 、2．D 、3．A 、4．B 、5．C 、6．C 、7．B 、8．C 、9．B 、10．C 、11．D 、12．B 13．0或2或－1 14．16 15．0.
16．112,,222
⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
17．(1)原式=()1
30.20.54352πππ--+-⨯=-+-=. (2)原式=3332
log 214log log 555
-+++=. 18．【解析】
（1）设0x >，则0x -<，
∴2
2
()()4()141f x x x x x -=-+--=--， 又()y f x =是R 上的奇函数， ∴2
()()41f x f x x x =--=-++， 又(0)0f =，
∴2241,0()0,041,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪
==⎨⎪-++>⎩
（2）先画出()(0)y f x x =<的图象，
利用奇函数的对称性可得到相应()(0)y f x x =>的图象， 其图象如图所示
（3）由图可知，()y f x =的单调递增区间为(2,0)-和(0,2]， 单调递减区间为(,2]-∞-和(2,)+∞ 19．【解析】
（1）
33,[1,)
(){1,(,1)
x x f x x x -∈+∞=-∈-∞ 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43
x ≤
，故413x ≤≤；
当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<； 所以()1f x ≤的解集为4
{|0}3
M x x =≤≤.
（2）由2
()16814g x x x =-+≤得2
116()4,4
x -≤解得1344x -
≤≤，因此13{|}44
N x x =-≤≤，故3
{|0}4
M N x x ⋂=≤≤.
当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是
22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+
2111
()(1)()424
xf x x x x ==-=
--≤. 20．【解析】
（1）由题意知，对定义域内的任意x 1，x 2都有f （x 1•x 2）＝f （x 1）+f （x 2）， 令x 1＝x 2＝1，代入上式解得f （1）＝0， 令x 1＝x 2＝﹣1，代入上式解得f （﹣1）＝0，
令x 1＝﹣1，x 2＝x 代入上式，∴f （﹣x ）＝f （﹣1•x ）＝f （﹣1）+f （x ）＝f （x ），
∴f （x ）是偶函数；
（2）设x 2＞x 1＞0，则()()()()()222211111111x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∵x 2＞x 1＞0，∴
2
1
1x x ＞，∴21x f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＞0， 即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1） ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f （x ）是偶函数，∴55()()22
f f -=，
又f （x ）在（0，+∞）上是增函数，且
5724
>， ∴57()()24
f f >，
即5
7()()24
f f ->. 21．【解析】
（1）(
)(
)
2
2
22log 2g mx x m mx x m ++=++， ∵(
)
2
2g mx x m ++的定义域为R ，
∴220mx x m ++>恒成立，
当0m =时，不符合，
当0m ≠时，满足2
440m m >⎧⎨∆=-<⎩
，解得1m ， ∴实数m 的取值范围为()1,+∞；
（2）令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，当[]1,1x ∈-时，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222
233y t at t a a =-+=-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时，可得当2t =时y 取最小值，且min 741y a =-=，解得32a =（舍去）；
②当122
a ≤≤时，可得当t a =时y 取最小值，且2min 31y a =-=，解得a =或a = ③12
a <时，可得当12t =时y 取最小值，且min 1314y a =-=，解得94a =（舍去），
综上，a =
22．【解析】
（1）()f x 是R 上的单调递增函数．
证明：因()f x 的定义域为R ，任取1x ，2x R ∈且12x x <． 则12121221222()()()11(1)(1)
x x x x x x e e f x f x e e e e --=-=++++． x y e =为增函数，∴120x x e e >>，∴110x e +>，210x e +>． 21()()0f x f x ∴->，21()()f x f x ∴>，
故()f x 是R 上的递增函数．
（2）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，
2211x x a a e e -∴-=-+++，22a ∴=，1a ，
21()1=011
x x x e f x e e -∴=->++，
因为()x
mf x e ≤， 所以22()(1)3(1)2213111
x x x x x x x x e e e e m e e e e +-+-+≤==-++---， 因为x>0,所以10x e ->，
所以213331x x e e -++≥=+-，
当且仅当211
x x e e -=-即ln(1x =+时取最小值.
所以3m ≤+。