三元齐次线性方程组的几何解法

ｌ ３ ｘｌ — ２ ＋ ２ ｘ３— ０ ，
只含 有两 个方 程 ， 可 以看 作 是 第 三 个 方程 的 全部 系数 都 为零 ， 显 然 三 个 系数 向 量共 面 ， 并 且 ａ， 一 （ ２ ， １ ， 一１ ） 与 ａ ２ 一（ ３ ， 一１ ， ２ ） 对 应分 量不 成 比例 ， 从而 不 共线 ， 则 取
［ 中图分类号］ ０１ ５ １
［ 文献 标 志码 ］ Ａ
［ 文章编号］ １ ０ ０ ３ — ６ １ ８ ０ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ — ０ ０ ０ ８ — ０ ３
线性 方程 组 理论 中有 一 个很 重要 的结 论 ： 含 有 个 未知 数 的齐 次线 性方 程组仅 有 零解 的充要 条件 是其 系数行 列 式不 等于零 ； 其有 非零 解 （ 无 穷 多 解） 的充要 条件是 其 系数行 列式 等于零 ． 本 文对 三 元齐 次线性 方程 组解 的情 况判定 给 出其几何 解 释， 并从 几何 角度 给 出求 解 的一种 几何 解法 ， 省去 了化系数 矩 阵为行 阶梯 或行 最简 的过 程．
则 线性 方程 组 （ １ ） 等价 与 向量方 程组
ｆ ａ，・Ｘ 一 ０，
１ 几 何 中 的结论
引理 １ 在空 间中， 若 向量 ａ ｆ ， ａ ｓ ， ａ ３不 共 面， 则 仅有 零 向量 同时与 ａ， ， ａ ２ ， ａ ３垂直 ． 证 明 反证 法． 假 设存 在非零 向量 ａ， 使 得
证 明 （ １ ） 当 ａＩ ， ａ ２ ， ａ ３不 共 面时 ， 由引理 １ 知， 仅零 向量 满 足方程 组 （ ２ ） ， 故， 方程组 （ １ ） 仅 有 零 解． （ ２ ） 当向量 ａ， ， ａ ， ａ 。 共面时， 由空 间立体几 何 知道 ， 垂直 于 同一平 面 的非零 向量有 无穷 多个 ， 故 满 足方程 组 （ ２ ） 的非 零 向量 Ｘ 有 无 穷 多个 ， 即 方程 组 （ １ ） 具有 非零解 ．
则此 三元 线性 齐 次方 程组 的通 解为
Ｘ 一 始（ 忌∈ Ｒ）．
ｌ ｉ
ｋ Ｉ
ｃ Ⅱ， Ｘ ｌ ￣ｂ ＂ ｘ２
ｚ
。 一 。，
③ 当 系数 向 量 ａ， ， ａ ， ａ 共 面并 且 是 共 线 时， 与 ａ， （ ａ ２或者 ａ 。 ）垂 直 的全 部 向量 组成 一 个 平 面 丌， 任 取两 个 与 ａ， （ ａ ２或者 ａ ３ ） 垂 直 的 向量 且 与 不共 线 ， 平面 丌内 的任一 向量 均 可 表示 为 Ｘ 一 惫 ａ－ ４ － ｋ （ 忌 ， ｋ ∈ Ｒ）， 于是方 程 组（ １ ） 的全 部解 为
＝ａ Ｉ ×ａ ２一 Ｉ １ １ ４ Ｉ 一（ 一１ ５ ， 一５ ， ５ ） ｌ 一１ ４ １ ｌ
一 一
ｌ ｉ
ｋ １
５（ ３， １，一 １ ）一一 ５ １，
其中， ａ＝ （ ３ ， １ ， 一１ ）， 则 原 方程组 的通 解为
Ｘ 一 终 （ 志∈ Ｒ）．
记 方程 组 （ １ ） 的解 向量 为 Ｘ ＝ ＝ ＝（ ｚ ， 。 ， ｚ 。 ）， 引 入 系数 向量
ａ，： （ 口 ｌ １ ， ａ １ ２ ， ａ １ ３ ），
ａ２
ａ３
（ ｎ ２ ｌ ， ａ ２ ２ ， ａ ２ ３ ），
（ 口 ３ １ ， 口 ３ ２ ， ａ ３ ３ ），
定理说 明 ：
ｌ ａ ３ １ ｘ １ ＋ａ ３ ２ ２ ＋ａ ３ ３ ｘ ３
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ３ — ２ ５
・
０ ，
① 由引理 ２及 向量混 合 积 的计 算 知 ， ａ ， ａ 。 ， ａ 。 不共 面 ， 即为
８ ・
２ ０ １ ４年 第 ３期 （ 总第 ８ ８期 ）
， ，
同解 ， 求 口， ｂ ， Ｃ的值 ． （ ２ ０ ０ ５ 年硕士研究生入学考试题） 解 方程组（ １ １ ） 仅含 有 两 个方 程 ， 故 其 系 数 向量 是共 面 的 ， 则方 程组 （ Ｉ） 与（ Ｉ Ｉ ） 有非 零解 ， 从 而方 程组 （Ｉ） 的 系数 向量 组 成 的行 列式 的值 为
（ ２ ） 当 向量 ａ， ， ａ ２ ， ａ ３共 面 时 ， 有非零解（ 竞
穷 多解 ） ．
２ 三元 齐 次 线性 方 程 组 的几 何 解 法
设 有三 元线性 方程 组
ｆ ａ ｌ １ ｘ １ ＋口 １ ２ ｚ ２ ＋ａ １ ３ ３： ０ ， ａ ２ １ ｚ １ ＋ａ ２ ２ ｘ ２ ＋ａ ２ ３ ｚ ３— ０ ， （ １ ）
Ｃ ｓ ］吴 明 隆． 结构 方 程 模 型 一 ＡＭＯ Ｓ的 操作 与应 用 ［ Ｍ］ ． 重庆 ： 重庆大学出版社 ， ２ ０ １ ０
编辑 ： 文 心
三元齐次线性方程组的几何解法
杜 美华 ， 孙 卫 卫
（ 青 岛 理 工 大学 琴 岛学 院 ， 山东 青 岛 ２ ６ ６ １ ０ ６ ）
【 ａ ３・ Ｘ一 ０ ． 即方 程组 （ １ ） 与（ ２ ） 是 同解 的 ， 由数量 积 的知识 ， 易 知方 程组 （ １ ） 的解 即为 同 时 与 ａ， ， ａ ： ， ａ ，垂 直 的 向量 ． 定理 １ 对 于三元 线性 方 程组 （ １ ） ， 有 如下 结 论： （ １ ） 当 向量 ａ， ， ａ ２ ， ａ ３不共 面 时 ， 仅有 零解 ；
对 Ｓ Ｔ 类 上 市 公 司财 务 状 况 的 准 确研 判 ， 及 对Ｓ Ｔ股处 于破 产或被 借壳 或 经 营状 况好 转 的及 时识 别 ， 对 于上 司公 司 自身 、 投资者、 监 管部 门等
都 有重要 的意义． 本文 的结论 是 ， 结 构 方程模 型 能 够 较准 确地 对 Ｓ Ｔ类 上 司公 司 财 务 进 行 评 价 ， 所 得 结论 也有 一定 的参考 意义 ．
201403005组理论中有一个很重要的结论个未知数的齐次线性方程组仅有零解的充要充要条件是其系数行列式等于零并从几何角度给出求解的一种几何解法a1与a2a1与a3a1a2a3a1a2a3a1a2a3及向量混合积的计算知a1a2a11x1a12x2a13x3烅a21x1a22x2a23x3烆a31x1a32x2a33x388期牡丹江师范学院学报自journalofmudanjiangnormaluniversityno32014totalno88a11a21a31a12a22a32a13a23a33a1a2a3方程组的系数向量为a1111a2111a3a1与a3a11a21a31a12a22a32a13a23a33a1a2a3a1a2a3这样的向量有无穷多个a1a3a1与a2对应坐标不成比例基础解系只含有一个向量1555a1a22x3x2x33x1x22x3可以看作是第三个方程的全部211与a2312对x12x23x3烅2x13x25x3x2ax375a1a2x1bx2cx32x1a1a2者a3垂直的全部向量组k11k223x12x2x3可以将其余两个方程的系数看1垂直的两个不共线向a2235不a1a2x1x32x12x3x2x3烅x1x2x22x388期牡丹江师范学院学报自journalofmudanjiangnormaluniversityno32014totalno88ax1bx2cx3x12x23x3123
ａ上 ａ『 ＇ ａ上 ａ２ ， ａ上 ｔ ２ ３ ．
ａ２ ・Ｘ 一 ０ ，
（ ２ ）
由于 ａ， ， ａ ２ ， ａ ３ 不共面， 则 ａ， 与ａ ２可 确 定 平 面 丌， ， ａ， 与ａ ３可 确定平 面 丌２ ， 并且 １ ｒ ， 与 丌２ 是 相交 的 ， 这是显 然有 ａ 上 丌， ， ａ上 ７ ｒ ｚ ， 而垂 直 于 同一 向量 的两个平 面 平行 ， 故有 丌， ／ ／ 丌 ， 于是 就 有 向量 ａ， ， ａ ， ａ ３是共 面的 ， 得 出矛盾 ．所 以 ， 仅 有零 向量 同 时与 ａ， ， ａ ２ ， ａ ３垂直 ． 引理 ２ － 】 在空间中， 向量 ａｆ ， ａ ２ ， ａ ３共 面 的充 要条 件是 （ ａｆ ｘ ａ ２ ）・ａ ３ ＝０ ．
参 考 文 献
Ｅ １ ３杨华． 中小企业预算管理及 财务控制研究Ｅ Ｊ ］ ． 牡丹江师范学院学报 ： 哲学社 会科学 版， ２ ０ １ １ （ ３ ） ： ５ － ６ ． ７ ２ １郑贺娟 ， 李 国春 ， 岳文． 基于主成分分析法 的甘肃上市公司财务经营绩效评价Ｅ Ｊ Ｊ ． 西部经济管理论坛 ， ２ ０ １ ２ ， ２ ３ （ ２ ） ： ６ １ — ６ ６ ． Ｅ ｓ ］张格 亮 ， 李昕． 风 险 投 资 项 目评 估 中几 种 数 学 方 法 评 析 Ｅ Ｊ ３ ． 牡丹江师范学院学报： 自然 科 学 版 ， ２ ０ １ ２ （ １ ） ： 卜４ ． Ｉ － ４ ］陈嫒． 上市公司财务评价中结构方程模型应用研究［ Ｊ ］ ． 财会通讯 ， ２ ０ ０ ９ （ １ ０ ） ： １ ０ ４ — １ ０ ５ ．
ｆ ２ ３＋ Ｘ ２ 一 Ｘ３— ０，
２ ）， 显然 ａ，与 ａ 。对 应 坐标 不 成 比例 ， 从 而 不 共 线， 故 取
ｌ ｉ
ｋ Ｉ
—ａ Ｔ ｘ ａ ３ 一Ｉ Ｉ １ １ —１ ｌ 一（ １ ， 一 ３ ， ２ ） ， １ —１ ２ Ｉ
摘 要 ： 利 用 几何 上 空 间 向量 的 关 系 ， 给 出三 元 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 几 何 判 定 形 式 ， 并 讨 论 一 种 利 用 方 程 组 的 系数 向量 来 求 解 方程 组 的通 解 方 法 ， 结合例子说明这种方法的优越性．
关键词 ： 齐 次 线性 方程 组 ； 向量 ； 基础 解系； 通 解
｝ ａ ｌ ｌ ａ １ ２ ａ １ ３ Ｉ
故 当 一一 １与 一 ４时 ， 原方 程组有 非零 解． 当 一一 １时 ， 方 程 组 的 系 数 向 量 为 ａ，一
（ １ ， １ ， 一 １ ） ，ａ２一 （ 一 １ ， 一 １ ， １ ），ａ ３一 （ １ ， 一 １，
２ ０ １ ４年 第 ３期 （ 总第 ８ ８期 ）
牡 丹 江 师 范 学 院 学报 （自然 科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍｕ ｄ ａ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ＮＯ ． ３， ２ ０１ ４
Ｔｏ ｔ ａ ｌ ＮＯ ． ８ ８
（ ａ，ｘ ａ２ ）・ａ ３一
０ ． ２ ２ ａ ２ ３ Ｉ ≠ ０，
ａ ３ ２ １ ２ ３ ３ ｉ
１ ｌ １ ｌ １ Ｉ １ Ｉ ＝ ＝ ＝ （ － ４ － １ ） （ ４ 一 ） 一０ ， １ ２ Ｉ
一
—
ａ ｆ ， ａ ２ ， ａ ３共 面 ， 即为
则原 方程 组 的通 解 为 Ｘ 一 （ 忌∈ Ｒ）． 当 一 ４时 ， 方程 组 的系数 向量 为 ａ， 一 （ １ ， １ ， ４ ）， ａ ｓ一 （ 一１ ， ４ ， １ ）， ａ ３一 （ １ ， 一１ ， ２ ）， 显 然
ａ， 与ａ 对应 坐标 不成 比例 ， 从而 不共 线 ， 故 取
（ ａ ， ｘ ａ ２ ） ・ ａ ３ ： ＝ ＝ Ｉ ｆ ａ ２ １ ａ ２ ２ ａ而定 理 １的结 论 与线性 代 数 中的结 论本 质上 是 等 价 的． ② 当 系 数 向量 ａ， ， ａ ２ ， ａ ３共 面 但 是 不 共 线 时， 方 程组 （ ２ ） 的解 即为 垂直 于 ａ， ， ａ ２ ， ａ ３ 所在 平 面的全 体 向量 ， 这样 的 向量有 无穷 多个 ， 并 且 这无 穷 多个 向量共 线 ， 取 为 ａ， ， ａ ２ ， ａ 。这 三 个 向量 中任 意两个 不 共 线 的两 个 向量 的数 量 积 ， 则 方 程 组（ １ ） 的全部 解 为 Ｘ ＝ 砖（ ∈ Ｒ） ．实 际上 ， 这种 情 况 就是 线性 方程 组 理论 中 系数 矩 阵 的 秩 Ｒ（ Ａ） 一 ２＜ ３的情 况 ， 基础解 系只含 有一 个 向量 ， 这里 所 求 的 就 是 方 程 组 （ １ ） 的基 础 解 系 ．例 如 下 面 方 程 组
例 ２ 已知方程 组
ｆ Ｘ １ － ４ － ２ ｘ ２ ４ ３ － ｘ３— ０，
（Ｉ） ２ １ ＋ ３ ２ ＋ ５ ｘ３— ０， ｌ ｚ １－ ４ － ｚ ２ ４ ３— ０ － ，
和
ｆ ＝ａ ， Ｘ ａ ２ 一Ｉ ｌ ２ １ —１ Ｉ 一（ １ ， 一７ ， 一５ ） ， ３ —１ ２ Ｉ
牡丹江师范学院学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍｕ ｄ ａ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ＮＯ ． ３ ． ２ ０１ ４
Ｔｏ ｒ ａ ｌ Ｎｏ ． ８ ８
口１ ２ ａ１ ３ ｌ