直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式
一：两条直线的交点坐标：
1、设两条直线分别为1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= 则1l 与2l 是否有交点，只需看方程组1112220
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨
++=⎩是否有唯一解
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合
例1、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程。

经过两直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=交点的直线系
方程为()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=，其中
λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，都得到2220A x B y C ++=，因此，它不能表示直线2l 。

2、对称问题
（1）点关于点的对称，点A(a ，b)关于()000,P x y 的对称点B （m ，n ），则由中点坐标公式002,2m x a n y b =-=-，即B （002,2x a y b --） 。

（2）点关于直线的对称，点()00,A x y 关于直线:0l Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的对称点()'
11,A
x y ，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。

（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任意不同于交点的已知点1P 关于对称轴对称的点2P ，那么经过交点及点
2P 的直线就是2l ；若直线1l 与对称轴l 平行，则在1l 上任取两不同点1P 、2P ，求
其关于对称轴l 的对称点'
1P 、'
2P ，过'1P 、'
2P 的直线就是2l 。

例题2、已知直线:10l x y +-=，试求①点P(4,5)关于l 的对称坐标；②直线
1:23l y x =+关于直线l 的对称的直线方程。

例题3、求函数228201y x x x =
-+++的最小值。

二、两点间的距离，点到直线间的距离 （
1
）
两
点
间
的
距
离
：
已
知
111222(,),(,)
P x y P x y 则
22122121()()P P x x y y =
-+-
（2）点到直线的距离:
已知点()000,P x y ，直线:0l Ax By C ++=（A 、B 不同时为0），求点0P 到直线l 的距离。

解法一：如图，作0P Q l ⊥于点Q ，设11(,)Q x y ， 若A,B ≠O,则由1A k B =-
,得001(1)P Q P Q B
k k k A
=
=-，
从而直线0P Q 的方程为00()B y y x x A -=-，解方程组000
()Ax By C B y y x x A
++=⎧⎪
⎨-=-⎪⎩得200122
2
00
122
B x ABy AC
x A B A y ABx BC y A B ⎧--=⎪⎪+⎨--⎪=⎪⎩+
容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。

解法二：如图，设A ≠0,B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点0P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线l 于R 和S ，则直线0P R 的方程为0y y =，R 的坐标为（-
00,By C
y A
+）； 直线0P S 的方程为0x x =，S 的坐标为（-00,Ax C
x B
+-
），
222
2
22
00000
010*******
()()()()B x ABy AC A y ABx BC d PQ x x y y x y A B A B ----∴==-+-=-+-++002200002222
22
()()[][]Ax By C A Ax By C B Ax By C A B A B A B ++++++=+=+++
于是有00000Ax By C By C
P R x A A
+++=-
-=
, 00000Ax By C Ax C
P S y B B
+++=-
-=,
22
2
2
0000A B RS P R P S Ax By C A B
+=
+=
++。

设
0PQ d =，由三角形面积公式可得00d RS P R P S
⋅=⋅.于是得00002
2
P R P S Ax By C d RS
A B
⋅++=
=
+
因此，点()000,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离002
2
Ax By C d A B
++=
+容易验
证，当A=0或B=0时，上式仍成立。

注意:
①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离； ②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；
③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时
000Ax By C ++=。

三、直线的位置关系（同一平面上的直线） 1、平行与垂直
（1）两条直线平行的判定 ①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定
设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 若12//l l ，则12,l l 的倾斜角相等，即由12αα=，可得12tan tan αα=，也即12k k =，此时12b b ≠；反之也成立。

所以有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠
②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为090，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为1l ：
1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= 可得
111
12222
//A B C l l A B C ⇔
=≠
（其中分母不为0） 或12122112211221//000l l A B A B B C B C AC A C ⇔-=-≠-≠且或（可用直线的方向向量
或法向量解释）
例4、已知点(2,2)A 和直线l ：34200x y +-=，求过点A 和直线l 平行的直线。

（引出平行直线系方程）
（2）两条直线垂直的判定
①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定
设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 则得直线1l 的方向向量为：
1(1,)
a k =
2
l 的方向向量为：
2(1,)
b k =，所以有
12120110l l a b a b k k ⊥⇔⊥⇔⋅=⇔⨯+⋅=
即12121l l k k ⊥⇔⋅=-
注意： 或用两条直线的倾斜角推倒：即0211
1
tan tan(90)tan ααα=+=-
，得到
121k k ⋅=-
②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。

由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。

注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为1l ：
1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= 可得
1212210l l A A B B ⊥⇔+=
例5、求与直线3410x y ++=垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程） 例6、已知两直线1l ：60x my ++=，2l ： (2)320m x y m -++=，当m 为何值时，直线1l 与2l ：①平行 ②重合 ③垂直
例7、已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标
例8、求证：不论m 为取什么实数，直线222(21)(1)5m x m y m -+-=-总通过某一定点 例9、已知直线210ax y a -++=，（1）若(1,1)x ∈-时，0y >恒成立，求a 的取值范围；（2）若1
(,1)6
a ∈-
时，恒有0y >，求x 的取值范围 四、到角、夹角 （1）到角公式
定义：两条直线1l 和2l 相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线
1l 绕交点按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角，叫做1l 到2l 的角，
如图，直线1l 到2l 的角是1θ， 2l 到1l 的角是2θ1212(0,0,)θθθθπ>>+=
推倒：设已知直线方程分别是1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+.1l 到2l 的角是θ ① 若1210k k +⋅=，即121k k ⋅=-，那么2
π
θ=
② 若1210k k +⋅≠，设1l 、2l 的倾斜角分别为12,αα，则1122tan ,tan k k αα== 由图1）的21θαα=-，所以21tan tan()θαα=- 由图2）的1221()()θπααπαα=--=+-， 所
以
2221tan tan()0tan()
tan tan[()]tan()1tan tan()10
πααααθπααααπαα+-+-=+-=
==----
于是2121212112
tan tan tan tan()1tan tan 1k k
k k ααθαααα--=-=
=++
即21
12
tan 1k k k k θ-=
+ 就是1l 到2l 的角θ的正切值，简称为到角公式
（2）夹角公式
定义：由（1）得，2l 到1l 的角是πθ-，所以当1l 与2l 相交但不垂直时，在θ和πθ-中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为α，则
21
12
tan 1k k k k α-=
+，即为夹角公式
当直线12l l ⊥时，直线1l 与2l 的夹角为
2
π
例10、等腰三角形一腰所在直线1l 的方程是220x y --=，底边所在直线2l 的方程是
10x y +-=，点(2,0)-在另一腰上，求这条腰所在直线3l 的方程
五：两平行线间的距离。

定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。

两条平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离公式
122
2
C C d A B
-=
+
推导过程：设()000,P x y 为直线11:0l Ax By C ++=上任意一点，则0P
到22:0l Ax By C ++=的距离为002
2
2
Ax By C d A B
++=
+，又因为0P 在
11:0l Ax By C ++=上，所以0010Ax By C ++=，即001A x B y C
+
=-,所以122
2
C C d A B
-=
+。

注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x 、y 的系数分别相等。

例题11、求经过点A(-1,2)与B(5,02
-)的直线上一点C （5，n ）到直线1x y +=的距离。

例题12、求经过点A （1，2）且到原点的距离等于1 的直线方程。

例题13、已知三角形ABC 中，点A （1，1），B （m ，m ）（1<m<4），C （4，2）,求m 为何值时三角形面积最大。

例题14、求过点P （1，2）且与A （2，3），B(4,-5)两点距离相等的直线方程。