任意五边形均匀带电线框的空间电势和空间电场

任意五边形均匀带电线框的空间电势和空间电场
邝向军;贾连宝
【摘要】The electric potential distribution expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is derived from the expression of electric potential distribution for uniformly charged wire.Then,the electric field intensity coordinate component expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is deduced from the relation between electric potential gradient and electric field.Taken these expressions as examples,the electric potential and electric field intensity for the arbitrarily pentagon charged coil are calculated,and the special cases for uniformly equilateral pentagon charged coil are discussed.By introducing each vertex coordinates into the above expression accordingly,the electric potential and electric field for any arbitrary polygon charge wire can be calculated in principle.Therefore,the method presented in this paper has good universality.In addition,the results of electric potential and electric field distribution obtained are the functions of spatial coordinates,which can be conveniently applied in engineering technology.%从均匀带电直线的电势表达式出发,给出了其在xy平面内任意空间位置时的电势表达式.利用电场强度与电势梯度的关系,进而导出了其在xy平面内任意位置时场强的坐标分量表达式.利用上述表达式,作为实例,我们对均匀带电任意五边形线框的空间电势和空间电场进行了计算,并讨论了正五边形的特殊情况.只需将顶点坐标代入相应的表达式,原则上可以计算任意多边形均匀带电线框的电势和电场,因此,所采用的方法具有普适性.同时,所得到的电势分布和电场分布都是空间坐标的函数,便于在工程技术中应用.
【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(038)003
【总页数】4页(P319-322)
【关键词】均匀带电任意五边形线框;分段计算;空间电势分布;空间电场分布
【作者】邝向军;贾连宝
【作者单位】西南科技大学理学院,四川绵阳 621010;西南科技大学理学院,四川绵阳 621010
【正文语种】中文
【中图分类】O441
一定电荷分布的电势和电场计算是电磁学中的一个重要问题，在各种不同的电荷分布中，对具有轴对称性的圆电荷分布的电势和电场强度的计算研究得比较多[1-9]。

对于对称性不高的任意多边形电荷分布，由于其电势和电场的计算非常复杂，则研究得比较少[10-11]。

虽然我已经对任意三角形带电线的电势和电场进行了计算[10]，但该方法不具有普适性。

本文仍然从位于坐标轴上的均匀带电线的电势表达式出发[12]，进一步给出了其在xy平面内任意位置时的电势表达式，导出了它的
电场强度的坐标分量表达式。

只需将各个顶点的坐标相应地代入上述表达式，采取分段计算然后叠加的方法，原则上可以计算任意多边形均匀带电线框的空间电势和空间电场，具有良好的普适性。

作为实例，本文对任意五边形均匀带电线框的空间电势和空间电场进行了计算，并讨论正五边形的特殊情况。

一均匀带电直线，电荷线密度为，长为2l。

取带电直线的中点为坐标原点，建立
如图1所示的平面坐标系oxy，取无穷远处为电势零点位置，则该带电直线上的
dx′在任意场点P(x,y)产生的电势为：
dU=。

可得该均匀带电直线在P(x,y)产生的电势为[12]：
在计算由均匀带电直线组成的带电体的电场时，均匀带电直线未必正好在坐标轴上，因此，我们需要得到均匀带电直线在空间任意位置时的电势表达式和电场表达式。

如图2所示，不失一般性，设均匀带电直线AB位于oxy平面内，两端点的坐标
分别为A(x1,y1,0)和B(x2,y2,0)，场点P的坐标为P(x,y,z)，显然有2l=，r1=，
r2=。

根据余弦定理，不难得到：cosα=，同时注意(2)式中x的绝对值表示场点P 与带电直线中垂线之间的距离、y的绝对值表示场点P到带电直线的垂直距离，可得：
x=l-r1cosα=l-=，
y=r1sinα=。

代入(2)式后，有：
UP=ln[] 。

根据电场强度与电势梯度的关系，可得到在空间任意位置时的均匀带电直线的电场强度坐标分量表达式分别为：
EPx=-=-[-]，
EPy=-=-[-]，
EPz=-=-[-]。

任意多边形均匀带电线框是由若干条均匀带电线组成的，只需利用前面的(3)、(4)、(5)、(6)式计算出每条带电线产生的电势和电场，即可得到任意多边形均匀带电线
框的电势和电场。

如图3所示，不失一般性，以均匀带电任意五边形线框所在的
平面为oxy平面，五个顶点的坐标分别为A(l1,0,0)、B(l2,l3,0)、C(l4,l5,0)、
D(l6,l7,0)和E(l8,0,0)，场点坐标为P(x,y,z)，电荷线密度为。

对AB、BC、CD、
DE和EA五条边，分别有：
2lAB =，r1AB=，
r2AB=；
2lBC=，r1BC=，r2BC=；
2lCD=，r1CD=，r2CD=；
2lDE=，r1DE=，r2DE=；
2lEA=|l8-l1|，r1EA=，r2EA=。

将(7)式中的各个表达式相应地代入(3)式即可得均匀带电任意五边形线框的电势为：UP=UAB+UBC+UCD+UDE+UEA=ln[]+ln[]+ln[]+ln[]+ln[]。

再将(7)式中的各个表达式相应地代入(4)、(5)、(6)式，即可得均匀带电任意五边
形线框的电场为：
EPx=EPxAB+EPxBC+EPxCD+EPxDE+EPxEA=-[-]-[-]- [-]-[-]-[-]，
EPy=EPyAB+EPyBC+EPyCD+EPyDE+EPyEA =-[-]-[-]-[-]-[-]-[-]，
EPz=EPzAB+EPzBC+EPzCD+EPzDE+EPzEA=-[-]-[-]-[-]-[-]-[-]。

对于处于xy平面内的正五边形均匀带电线框，不失一般性，各顶点的坐标关系如图4所示。

只需将各个顶点的坐标代入前面l,r1,r2的表达式中，得到各条边的
l,r1,r2，再代入(3)、(4)、(5)和(6)式就可得到均匀带电正五边形线框的空间电势和空间电场表达式。

本文从位于坐标轴上的一段均匀带电线的电势表达式出发，给出了其在xy平面内任意位置时的电势表达式，进而利用电场强度与电势梯度的关系，导出了均匀带电线在xy平面内任意位置时电场强度的坐标分量表达式。

只需将各个顶点的坐标相应地代入上述表达式，采取分段计算然后叠加的方法，原则上可以计算任意多边形均匀带电线框的空间电势和空间电场，具有良好的普适性。

作为实例，我们对均匀带电任意五边形均匀带电线框的空间电势和空间电场进行了计算，并讨论了正五边
形的特殊情况。

Keywords：arbitrarily pentagon uniformly charged coil;subsection calculation;electric potential distribution;electric field distribution
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Abstract :The electric potential distribution expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is derived from the expression of electric potential distribution for uniformly charged wire.Then,the electric field intensity coordinate component expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is deduced from the relation between electric potential gradient and electric field.Taken these expressions as examples,the electric potential and electric field intensity for the arbitrarily pentagon charged coil are calculated,and the special cases for uniformly equilateral pentagon charged coil are discussed.By introducing each vertex coordinates into the above expression accordingly,the electric potential and electric field for any arbitrary polygon charge wire can be calculated in principle.Therefore, the method presented in this paper has good universality.In addition,the results of electric potential and electric field distribution obtained are the functions of spatial coordinates,which can be conveniently applied in engineering technology.。