2019年八年级数学上册 暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质讲义 新人教版

第六讲角平分线的性质

教学目标：

1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线

2.能利用角平分线的性质解决简单问题

3.角平分线的性质及判定定理的运用

重点难点：

1.角平分线的性质的运用与逆用。

2.利用角平分线构造全等三角形。

3.继续学习证明及综合法证明的格式。

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1.角平分线的画法

（1）已知∠AOB，求作∠AOB 的角平分线：

①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M，交OB 于N。

②分别以M，N 为圆心，以大于

1

2

MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交

于点C。

③过O、C 两点作射线OC，射线OC 就是所求角的角平分线。

2．角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。

3．三角形的角平分线的性质

（1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。

（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。

（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有4 个。

考点/易错点1

角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；

3．OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。

典型例题：

【例1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的3

2倍．（要求：写出已知、求作，保留作图

痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论) 已知：

求作：

【答案】已知：∠AOB ．求作：∠AOC ，使∠AOC =3

2∠

AOB ．作图如右上所示：

【解析】首先画出∠AOB 的角平分线，再以OB 为边，画∠BOC=∠BOF．

【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，DE

⊥AB 于E，若AC=3cm，则AD+DE 为（）

A． 3cm B．4cm

C．2cm D．无法确定

【答案】A．

【解析】∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∴AD+DE=AD+DC=AC，∵AC=3cm，∴AD+DE=3cm．

【例3】如图，已知四边形ABCD 中，AD∥BC，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E，连接BE，且BE 恰好平分∠ABC，则AB 的长与AD+BC 的大小关系是（）

A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB=AD+BC D．无法确定

【答案】C．

【解析】解法1：在AB 上截取AF=AD，连接EF，易证AE⊥BE，△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1=∠2，又

∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，所以∠3=∠4，所以可证△BCE≌△BFE，

所以BC=BF，所以AB=AF+BF=AD+BC；

解法2：如图，延长AE 交BC 延长线于F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD=180°，∵BE 平分∠CBA，AE 平分

∠BAD，∴∠EBA+∠BAE=90°，∴∠BEA=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AF，由△ABE≌△FBE（ASA），可得BA=BF，AE=FE，于是可证△ADE≌△FCE（ASA），所以AD=CF，所以AB=BC+CF=BC+AD．

【例4】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=14，BD 平分∠ABC，交AC 于D，AD=10，则点D 到AB 的距离为（）

A．10 B．4 C．7 D．6

【答案】B．

【解析】解：如图，过点D 作DE⊥AB 于E，∵AC=14，AD=10，∴CD=AC﹣AD=14﹣10=4，

∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=CD=4．

【例5】如图，在△ABC 中，AC=CB，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠E=90°，那么AD 与BE 的长度关系为。

⎨ ⎩

⎨ ⎩

【答案】AD =2BE

【解析】理由是：延长 AC ，BE 交于 O ，∵∠C =∠AEB =90°，∠CDA =∠EDB ，∴由三角形内角和定理得：

∠1=∠3，∵∠ACD =∠BCO =90°，

⎧∠1 = ∠3

在△ACD 和△BCO 中， ⎪ AC = BC

⎪∠ACD = ∠BCO ，∴△ACD ≌△BCO （ASA ），∴AD =BO ，

∵AD 平分∠CAB ，∴∠1=∠2，∵∠AEB =∠AEO =90°，

⎧∠1 = ∠2

在△AEO 和△AEB 中， ⎪ AE = AE

⎪∠AEO = ∠AEB ，∴△AEO ≌△AEB （ASA ），∴OE =BE ，∴BO =2BE ，

∴AD =2BE ，

【例 6】为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂 石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）

A ． 仅有一处

B ． 有四处

C ． 有七处

D ． 有无数处

【答案】 A ．

【解析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．满足条件的点有一 个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．