2022年中考数学专题复习：几何变换压轴题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)【问题发现】如图①，当α＝60°时，线段BF与EF的数量关系是______，∠BFE＝______；
(2)【类比探究】当△ABC旋转到如图②所示的位置时，请判断线段BF与EF的数量关系及∠BFE的度数，并说明理由；
(3)【问题解决】当AE∥BC时，请直接写出线段BF的长．
8．阅读下面材料．
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，∠ADC＝120°，连接BD．用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明．
16．如图1，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．
（1）求证：△ABH≌△HEF；
（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；
（3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．
(3)当AC＝5时，在 绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．
6．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．
(1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE=（用含a的代数式表示）；
3．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图 ，在 中， ， ， 分别为 、 边上一点，连接 ，且 ，将 绕点 在平面内旋转．
(1)观察猜想
绕点 旋转到如图 所示的位置，若 ，则 的值为______．
(2)类比探究
若 ，将 绕点 旋转到如图 所示的位置，求 的值．
小明经过思考，发现解决问题的方法：如图2，延长CD至E，使ED＝AD，连接AE．证△ADE是等边三角形，△ACE≌△ABD，问题得到解决．
(1)填空：线段AD，BD，CD之间的数量关系为；
(2)用学过的知识或参考小明的方法解决下面的问题：
①如图3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，∠ADC＝135°，连接BD．用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)如图3，当∠AND＝45°，点P为正方形内一任意点，连接BP，CP，DP，NP，当BP+CP+DP取最小值时，直接写出 的值．
11．如图①，在 ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为 ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
(1)求证： ；
(2)联结 ，如果 ，求 的正切值；
(3)联结 ，如果 ，求 的值．
13．如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CD BE．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR⊥BC交射线BA于点R，连接DR，RF．
②如图4，△ABC是等边三角形，点D在△ABC内，∠DAB＝∠DBA＝15°，将线段BD绕着点D顺时针旋转30°，得到线段B'D，连接B'D．直接写出 的值．
9．在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC边上一点，连结DB．
(1)如图1，若∠ABD＝பைடு நூலகம்5°，BD＝2，求线段AD的长度；
(2)如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连结BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结BF，线段CE、BF交于点G，连结AG，猜想线段AG、BG、CG的数量关系并证明你的结论；
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BDE≌△RDF；
（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，并证明．
14．如图1，在 中， 平分 ，且 于点D．
（1）判断 的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若 ，求 的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将 绕着点D顺时针旋转 得到 ，连接 ，作 交 于点F．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
5．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．
(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．
(2)当 绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．
【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为；线段CE，BD之间的数量关系为．
（4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为；线段AM，BD，CD之间的数量关系为．
(1)求证： BDA≌ BFE；
(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD BF．
(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
12．如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转 到AP的位置，分别过点 作 ，垂足分别为点 、 ．
18．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．
【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DBEC．（填＞、＜或＝）
（2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC．
(3)拓展应用
若 ， 为 的中点， ，当 时，请直接写出 的值．
4．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】
(1)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC=60°，AC= ，求AE+BE+CE=___________．
(2)探究证明：在（1）的条件下，将Rt△BDE绕点B顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围，
2022年中考数学专题复习：几何变换压轴题
1．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．
②在旋转过程中，直接写出 面积的最小值为，并写出此时的旋转角 =．
20．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．
（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，线段BE和DG有何关系？请说明理由；
（2）在图1中，连接BD，BF，DF，请直接写出在旋转过程中△BDF的面积最大值；
(2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)图3中，若CA＝2 ，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当时，△CAD的面积最大，最大面积是．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转a得到△ADE，连接BD，EC，BD的延长线交EC的延长线于点F．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(3)
如图4中，过点P作PH⊥AB于H，取BC的中点J，连接PJ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵∠BCD＝150°，
∴∠PCB＝90°，
∵ 是 的“旋补三角形”，
∴ ，
∵PH⊥AB，
∴ ，
∴ ，
19．在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线AC、BD的交点．
（1）如图1，延长OC，使CE=OC，作正方形OEFG，使点G落在OD的延长线上，连接DE、AG．求证：DE=AG；
（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转 °（0< <180），得到正方形 ，连接 ．
①当 =30时，求点A到 的距离；
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
2．(1)观察猜想：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝BC，BE＝BD，连接AE，点F是AE的中点，连接CD、BF，当点D、B、C三点共线时，线段CD与线段BF的数量关系是_____，位置关系是_____
17．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．
（1）如图1，正方形 中， ，且 ，求证： ；
（2）如图2，正方形 中， ，延长 交 的延长线于点 ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）如图3在（2）的条件下，作 ，垂足为点 ，交 于点 ，连结 ，求证： ．
（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段BE的长．
参考答案：
1．
(1)
解：①如图2中，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
②如图3中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
(2)
结论：AD＝ BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M
15．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．
（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝2，且∠BAD＝30°，AD＝；
（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADC＝45°，求证：BD＝ AD；
（3）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°）直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接出△PAB面积的最大值．
(3)如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结AE，直接写出 的最小值．
10．在边长为 的正方形ABCD中，点N为BA延长线上一点，连接DN．
(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；
(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明： ；
【尝试应用】
(2)如图2，等边三角形ABC边长为 ，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究等边三角形ABC的“近点”P与D的距离，并求出等边三角形ABC的“最近值”．
【拓展提高】
(3)如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．
(2)【类比探究】当△ABC旋转到如图②所示的位置时，请判断线段BF与EF的数量关系及∠BFE的度数，并说明理由；
(3)【问题解决】当AE∥BC时，请直接写出线段BF的长．
8．阅读下面材料．
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，∠ADC＝120°，连接BD．用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明．
16．如图1，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．
（1）求证：△ABH≌△HEF；
（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；
（3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．
(3)当AC＝5时，在 绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．
6．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．
(1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE=（用含a的代数式表示）；
3．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图 ，在 中， ， ， 分别为 、 边上一点，连接 ，且 ，将 绕点 在平面内旋转．
(1)观察猜想
绕点 旋转到如图 所示的位置，若 ，则 的值为______．
(2)类比探究
若 ，将 绕点 旋转到如图 所示的位置，求 的值．
小明经过思考，发现解决问题的方法：如图2，延长CD至E，使ED＝AD，连接AE．证△ADE是等边三角形，△ACE≌△ABD，问题得到解决．
(1)填空：线段AD，BD，CD之间的数量关系为；
(2)用学过的知识或参考小明的方法解决下面的问题：
①如图3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，∠ADC＝135°，连接BD．用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)如图3，当∠AND＝45°，点P为正方形内一任意点，连接BP，CP，DP，NP，当BP+CP+DP取最小值时，直接写出 的值．
11．如图①，在 ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为 ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
(1)求证： ；
(2)联结 ，如果 ，求 的正切值；
(3)联结 ，如果 ，求 的值．
13．如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CD BE．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR⊥BC交射线BA于点R，连接DR，RF．
②如图4，△ABC是等边三角形，点D在△ABC内，∠DAB＝∠DBA＝15°，将线段BD绕着点D顺时针旋转30°，得到线段B'D，连接B'D．直接写出 的值．
9．在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC边上一点，连结DB．
(1)如图1，若∠ABD＝பைடு நூலகம்5°，BD＝2，求线段AD的长度；
(2)如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连结BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结BF，线段CE、BF交于点G，连结AG，猜想线段AG、BG、CG的数量关系并证明你的结论；
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BDE≌△RDF；
（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，并证明．
14．如图1，在 中， 平分 ，且 于点D．
（1）判断 的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若 ，求 的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将 绕着点D顺时针旋转 得到 ，连接 ，作 交 于点F．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
5．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．
(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．
(2)当 绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．
【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为；线段CE，BD之间的数量关系为．
（4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为；线段AM，BD，CD之间的数量关系为．
(1)求证： BDA≌ BFE；
(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD BF．
(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
12．如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转 到AP的位置，分别过点 作 ，垂足分别为点 、 ．
18．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．
【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DBEC．（填＞、＜或＝）
（2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC．
(3)拓展应用
若 ， 为 的中点， ，当 时，请直接写出 的值．
4．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】
(1)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC=60°，AC= ，求AE+BE+CE=___________．
(2)探究证明：在（1）的条件下，将Rt△BDE绕点B顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围，
2022年中考数学专题复习：几何变换压轴题
1．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．
②在旋转过程中，直接写出 面积的最小值为，并写出此时的旋转角 =．
20．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．
（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，线段BE和DG有何关系？请说明理由；
（2）在图1中，连接BD，BF，DF，请直接写出在旋转过程中△BDF的面积最大值；
(2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)图3中，若CA＝2 ，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当时，△CAD的面积最大，最大面积是．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转a得到△ADE，连接BD，EC，BD的延长线交EC的延长线于点F．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(3)
如图4中，过点P作PH⊥AB于H，取BC的中点J，连接PJ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵∠BCD＝150°，
∴∠PCB＝90°，
∵ 是 的“旋补三角形”，
∴ ，
∵PH⊥AB，
∴ ，
∴ ，
19．在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线AC、BD的交点．
（1）如图1，延长OC，使CE=OC，作正方形OEFG，使点G落在OD的延长线上，连接DE、AG．求证：DE=AG；
（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转 °（0< <180），得到正方形 ，连接 ．
①当 =30时，求点A到 的距离；
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
2．(1)观察猜想：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝BC，BE＝BD，连接AE，点F是AE的中点，连接CD、BF，当点D、B、C三点共线时，线段CD与线段BF的数量关系是_____，位置关系是_____
17．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．
（1）如图1，正方形 中， ，且 ，求证： ；
（2）如图2，正方形 中， ，延长 交 的延长线于点 ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）如图3在（2）的条件下，作 ，垂足为点 ，交 于点 ，连结 ，求证： ．
（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段BE的长．
参考答案：
1．
(1)
解：①如图2中，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
②如图3中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
(2)
结论：AD＝ BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M
15．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．
（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝2，且∠BAD＝30°，AD＝；
（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADC＝45°，求证：BD＝ AD；
（3）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°）直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接出△PAB面积的最大值．
(3)如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结AE，直接写出 的最小值．
10．在边长为 的正方形ABCD中，点N为BA延长线上一点，连接DN．
(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；
(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明： ；
【尝试应用】
(2)如图2，等边三角形ABC边长为 ，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究等边三角形ABC的“近点”P与D的距离，并求出等边三角形ABC的“最近值”．
【拓展提高】
(3)如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．