线性代数初步-行列式(1)
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第4章 线性代数初步
第3讲
行列式(1)主讲教师 |
本节内容01 行列式的起源
02 排列
03 行列式的定义
04 行列式的性质
求解二元一次方程组引入记号称为
二阶行列式
ᵆ
1
记
因此方程组的唯一解中的两个分子也可以写成则方程组的唯一解可以表示成
=ᵄ1ᵄ22−ᵄ12ᵄ2
,=ᵄ11ᵄ2−ᵄ1ᵄ
21
本节内容01 行列式的起源
02 排列
03 行列式的定义
04 行列式的性质
Ὅ定义4.9
ᵈ!
Ὅ定义4.10
在一个排列中，如果一个较大的数排在一个较小的数之前，则称这两个数构成一个逆序。
Ὅ定义4.11
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为一个对换。
Ὅ定理4.3
对换改变排列的奇偶性。
即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。
Ὅ
定理4.3
本节内容01 行列式的起源
02 排列
03 行列式的定义
04 行列式的性质
Ὅ定义4.12
因此
=det
ᵃ
Ὅ例1
利用行列式的定义，计算下列三阶行列式的值
解
形式不同：方阵用圆括号,行列式用两竖线
结果不同：方阵是一个数表,行列式是一个数值
Ὅ例2
计算下三角形行列式
解
因此，
主对角元的乘积同样的，
上三角形行列式也等于主对角元的乘积。
ᵃ=ᵄ11ᵄ22⋯ᵄᵅᵅ
本节内容01 行列式的起源
02 排列
03 行列式的定义
04 行列式的性质
Ὅ定义4.13
Ὅ性质4.1
Ὅ例3
=ᵄ11ᵄ22⋯ᵄᵅᵅ.
Ὅ性质4.2
Ὅ推论
若行列式的某一行的元素全为零，则行列式的值是零。
Ὅ性质4.3
若行列式的某一行元素均是两数之和，则该行列式可拆成两个行列式之和。
Ὅ性质4.4
交换行列式的两行，行列式变号，即
Ἲ推论1
若行列式中有两行相同,则行列式的值为零。
证明：
但是，从性质4.4可知，对换行列式的两行会变号故
ᵃ=−ᵃᵃ=0
Ἲ推论2
若行列式中有两行对应元素成比例，则行列式的值为零。
证明：
Ὅ性质4.5
利用行列式性质计算行列式
Ὅ例4
计算
解
=48.
Ὅ 例5解
计算行列式的第1行乘以-1加到下面各行，得
ᵃ
学海无涯，祝你成功！。