高考新题型——数学多选题专项练习附答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．已知函数()2,0

21,0

x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）

A ．()f x 的值域为()1,-+∞

B ．当0a ≤时，()()

2

1f x f x >+

C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=

D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】

A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；

B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；

C ．作出

222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；

D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出

a 是否有解，并判断结论是否正确.

【详解】

A ．当0x >时，21011x

y -=->-=-，当0x ≤时，2

22

24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝

⎭，取2a =，此时()2

111y x =+-≥-，

所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；

B ．当0a ≤时，2

22

24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝

⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在

(],0-∞上单调递减，

又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，

又因为2

2

131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝

⎭，所以21x x +>，所以()()

21f x f x >+，故B 正

确；

C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：

由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2

y x ax =-+与21x y -=-相

交于()00,x y ，

因为点()00,x y 在函数2

y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2

y x ax =+的图

象上，

所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，

所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；

D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()2

11,0x

y -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，

且22

,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭

，若方程有三个根，则有2

4a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，

所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】

思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.

2．设函数2,0()1

2,0

2x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩

，对关于x 的方程2

()()20f x bf x b -+-=，下

列说法正确的有（ ）．

A ．当223b =-+

时，方程有1个实根 B ．当3

2

b =

时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则

17

210

b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232

b -+<< 【答案】BD 【分析】

先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】

函数()2

2,0,0()132,01,0

22x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪

==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩

，作图如下：

由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝

⎦，令()f x t =，则3,2

t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝

⎦

，则方程转化为2

20b bt t +-=-，即2

22()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭

选项A 中，223b =-+时方程为(2

2234230t t -+-=+，即(2

310t +=，

故31t =，即131,12()f x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A

错误； 选项B 中，32b =

，方程即2

31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12

t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1

()2

f x t ==

时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；