第五章：三角函数 章末测试(解析版)

第五章：三角函数章末测试
一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23
π
的终边一定相同的角是（ ）
A ．
53
π
B ．2360(3
k k π
+
∈Z ) C ．22(3
k k π
π+∈Z ) D ．2(21)(3
k k π
π++
∈Z ) 【答案】C
【解析】与角
23
π终边相同角可以表示为2{|2,3
k k π
ααπ=
+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=
+∈Z }找不到整数k 让53
πα=，所以A 错误 对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧
度制，B 错误，
对D 项，当0k =时，角为
53
π
，当1k =-时，角为3
π
-
，得不到角
23
π
，故
D 错误，
故选：C.
2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D
【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即2
1822
r =⨯⨯，得半径22r =
所以弧长42l r α==
故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D
3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二
C ．三
D ．四
【答案】D
【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，
所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故
选：D
4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）
A 47
-B 47
+C 47
+D 47
-【答案】A
【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，
故()2
22cos sin 14
a a αα-=
，故112sin c 4os αα-=， 即222
3
sin cos 3tan 3
sin cos 8sin cos 8tan 18
αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=， 解得47tan α-=
47
tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47
tan 3
α=
.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数
()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为
（ ）
A ．22sin 23y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 23
y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
C ．=2sin 2
3x y π-
⎛
⎫
⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛
⎫
⎪⎝
⎭
【答案】A
【解析】由函数图象可得2A =，
因为5212122T πππ
=+=，所以T π=，所以222T ππωπ
===， 由函数过点,212π
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，可得2sin 2+=212π-
ϕ⎡
⎤
⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
， 所以26
2
k ππ
ϕπ-+=+，Z k ∈，即223
k π
ϕπ=+
，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=
，所以22sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1
sin 63α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛
⎫
= ⎪⎝⎭（ ） A ．7
9
- B ．23
-
C ．2
3
D ．79
【答案】D
【解析】因为π1
sin 63α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，可以将函数
πsin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像（ ）
A ．向左平移π6
个单位 B ．向右平移π6
个单位 C ．向左平移π
12
个单位 D ．向右平移
π
12
个单位 【答案】D
【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ
61212
-=， 所以由πsin 23y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
需要向右平移
π
12
个单位.故选：D.
8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，
方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．7π3π,124⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．π5π,26⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．π5π,
26⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．7π3π,124⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，
等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．
当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+
⎥⎝⎦
， 结合函数()y f x =的图象可知，π
4π5π2,633
m ⎡
⎫+∈⎪⎢⎣
⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8
x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（ ）
A ．π
8
f x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭是偶函数
B ．3π
8
x =
是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
D ．当π
2
x =时，函数()f x 取得最小值
【答案】AC
【解析】因为直线π8
x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，
所以ππ2π82
k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，
又0πϕ<<，所以π
4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
．
ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛
⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，是偶函数，故A 正确；
令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ
()28
k x k =+∈Z ， 所以
()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =
+∈Z ，而3π8
x =不能满足上式，故B 错误；
当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，ππ5π2,424x ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；
显然函数()f x 的最小值为1-，当π
2x =时，π2f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ππ2
sin 2242⎛⎫
⨯+=- ⎪⎝⎭
，故
D 错误．
故选：AC ．
10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（ ） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C
【答案】AB
【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=
等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A
正确；
由tan tan tan()1tan tan ++=
=-A B
A B A B
tan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=
tan tan tan A B C tan C -，
所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确． 假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+
tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以
tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>
tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；
假设tan tan tan 1=A B C ，所以1
tan tan tan B C A
=
， 由选项A 得tan tan B C +=2
2
2(1tan tan )
tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得
22tan tan 2B C +=-
显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB
11．（2022·浙江·高一期中）函数π
()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
为该图像最高点，则（ ）
A ．()sin 26
π
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
B ．()f x 的一个对称中心为π,012
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．函数()f x 图像向右平移π6
个单位可得πsin 23y x ⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭图象
D ．7π
12
x =
是函数()f x 的一条对称轴 【答案】AB
【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
为该图像最高点，所以1A =，
又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，则()1
0sin 2
f ϕ==-，
又π2ϕ<
，所以π6ϕ=-，则()
π()sin 6f x x ω=-，πππsin 133
6f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则πππ2π,Z 3
62
k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈， 由图可知
ππ
23
T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=， 所以()sin 26πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，故A 正确； 对于B ，因为π
sin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π
,012⎛⎫
⎪⎝⎭
，故
B 正确；
对于C ，函数()f x 图像向右平移π
6
个单位可得
πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦图象，
故C 错误；
对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
不是最值，所以7π
12x =不是函数()f x 的一
条对称轴，
故D 错误.故选：AB.
12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数
()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--
在35,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
【答案】ABC
【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，2
1
sin cos 2
t x x -=， 则()2
112m t t =+--，即2
21922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭
， 亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3
【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒
()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2
α
的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四
【解析】因为α是第三象限角，所以
3
222
k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3
2
24
k k π
α
πππ+<
<+，Z k ∈， 当k 为偶数时，
2α
为第二象限角， 当k 为奇数时，2
α
为第四象限角.
15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数，
则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]0,1 【解析】因为
ππ
23
a a >-，所以0a >， 所以0π
π3
2ππ
22
a a a ⎧
⎪>⎪
⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．
16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数
()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；
【答案】3
π
-
【解析】()()()31
33sin 32[
)sin(3)]2
f x x x x x θθθθ---=--- 2[cos
cos(3)sin sin(3)]2cos(3)6
66
x x x π
π
π
θθθ=---=-+，它是奇函数，
则,Z 6
2
k k π
π
θπ-+
=+
∈，3
k π
θπ=--
，Z k ∈，
又[,0]θπ∈-，所以3
π
θ=-．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的集合为{}3090,M k k Z αα==︒+⋅︒∈，回答下列问题：
（1）集合M 中有几类终边不相同的角？
（2）集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ （3）求集合M 中的第二象限角β．
【答案】（1）四类；（2）－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°
（3）120360k β=︒+⋅︒，k ∈Z
【解析】（1）集合M 中的角可以分成四类，
即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角． （2）令3603090360k -︒<︒+⋅︒<︒，得1311
33
k -
<<， 又k ∈Z ，所以终边不相同的角，
所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°． （3）集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以120360k β=︒+⋅︒，k ∈Z .
18．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）（1）化简
()3sin()cos tan()
2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫
---- ⎪⎝⎭=⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
； （2）已知关于x 的方程2
1
204
x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，,42
ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.求实数b 以及sin cos θθ-的值.
【答案】（1）()sin f αα=-；（2）5b =3sin cos θθ-=
【解析】（1）
()3sin()cos tan()
2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫
---- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
()()sin sin tan sin sin tan αααααα⋅-⋅-==--⋅，
即()sin f αα=-.
（2）因为关于x 的方程2
1204
x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，
所以cos 2sin b
θθ+=，1sin cos 8
θθ=， 所以()
22
4
s 5
cos 12cos in sin 4b θθθθ=⋅=+=+，所以5b =±
因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以sin 0θ>，cos 0θ>且sin cos θθ>，所以5b = ()
2
13
sin cos sin cos 12sin cos 128θθθθθθ-=
-=-⋅=-⨯
= 19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()sin 26f x x π
ω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
图象的一个对称中
心为,012π
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，其中ω为常数，且()0,2ω∈. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）已知函数()cos()3
g x x m π
=+-，若对任意的[]12,0,x x ∈π，均有()()12f x g x ≥，求
实数m 的取值范围.
【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝
=⎪⎭
；（2）3
,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣
⎭
【解析】（1）因为函数()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
图象的一个对称中心为,012π
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，
可得,6
6
Z k k ππ
ωπ-+
=∈，解得Z 61,k k ω=-+∈，
又因为()0,2ω∈，解得1ω=，所以()sin 26f x x π⎛
⎫
+ ⎝
=⎪⎭.
（2）由[]10,x π∈，可得
11326
6
6x π
π
π≤+
≤
，所以11sin 216x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
，即()111f x -≤≤，
由[]20,x π∈，可得
243
3
3x π
π
π≤+
≤
，所以211cos 32x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
， 所以()2112
m g x m --≤≤-，
因为对任意的[]12,0,x x ∈π，均有()()12f x g x ≥，所以112
m -≤-，解得
3
2
m ≥
， 所以实数m 的取值范围为3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
20．（2022·山东·费县实验中学高一期末）已知函数23
()sin cos 3f x x x x = （1）若存在[3
x π
∈-，]6π
，使得()
f x a 成立，则求a 的取值范围；
（2）将函数()f x 的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1
2，得到函数()g x 的图象，求函数()12y g x =+在区间[2
π-，]2π
内的所有零点之和．
【答案】（1）1a ≤；（2）
6
π
【解析】（1）1
3()sin 22sin(2)2
3
f x x x x π
==+， 若存在[,]36
x ππ
∈-，使得()
f x a 成立，则只需()max f x a 即可，
3
6
x
π
π
-
，∴223
33
x π
π
π
-+
， ∴当232
x ππ+
=，即12x π
=时，()f x 有最大值1，1a ∴，
（2）∵将函数()f x 的图象上每个点纵坐标不变，
横坐标缩短到原来的1
2，
得到函数()g x 的图象，
∴()sin(4)3
g x x π
=+，
1()02g x +
=，∴1sin(4)32
x π+=-， 1sin(4)32x π+=-在[,]22
ππ
-上有4个零点1234,,,x x x x ，
574[,]3
33
x π
ππ
+
∈-
， 根据对称性有
12443
32
2
x x π
π
π+
++=-，
344433
32
2
x x π
π
π+
++=，
∴12346
x x x x π
+++=
21．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数
()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2
π
ϕ<
）在某一个周期内的图象时，列表并填
入了部分数据，见下表：
x ωϕ+
0 2π
π
32
π
2π
x
12π
712π
()
sin A x ωϕ+
2-
（1）根据上表数据，直接写出函数()的解析式，并求函数的最小正周期和()f x 在[]0,2π上的单调递减区间.
（2）求()f x 在区间2,03π
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】（1）答案见解析；（232-
【解析】（1）根据五点法的表格，所以()2sin 3
2f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
所以()f x 的最小正周期22T π
π== 令32222
3
2k x k ππ
πππ+≤+
≤
+，Z k ∈解之得7,1212
k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 又[]0,2x π∈，所以
712
12x π
π≤≤
或
13191212
x ππ
≤≤
即()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1319,1212ππ
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
（2）由于 203x π-
≤≤，所以 233
x ππ
π-+≤≤ 所以31sin 23x π⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭
，所以22sin 233x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当23
2
x π
π
+=-
即512
x π
=-
时，函数()f x 的最小值为2-; 当23
3
x ππ+
=
即0x =3
22．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）如图，摩天轮上一点P 距离地面的高度y 关于时间t 的函数表达式为()sin y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知摩天轮的半径为50m ，其中心点O 距地面60m ，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P 的起始位置在摩天轮的最低点处.
（1）根据条件具体写出()m y 关于()min t 的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点P 有多长时间距离地面超过85m ？ 【答案】（1）50sin(
)60152
y t ππ
=-+；（2）10分钟．
【解析】（1）中心点O 距地面60m ，则60b =，摩天轮的半径为50m ，即50A =，
30T =，215
T ππ
ω=
=， 最低点到地面距离为10 m ，
所以50sin 6010ϕ+=，sin 1ϕ=-，又[,]ϕππ∈-，则2
π
ϕ=-，
所以所求表达式为50sin()60152
y t ππ
=-+； （2）50sin(
)6085152
y t π
π
=-+>，1
sin()1522t π
π
->， 取一个周期内，有561526
t π
π
π
π<-<
，1020t ，201010-=．
所以在摩天轮转动一圈内，点P 有10分钟的时间距离地面超过85m ．。