三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第六章数列3理

第三节等比数列及其前n
项和
A 组 三年高考真题（2016〜2014年） -新课标全国n,
4）已知等比
数列
6. （2015 •湖南，14）设S 为等比数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1= 1,且3S ,2S , 83成等差数列， 贝H an= ____ .
7. （2014 •安徽，12）数列｛a n ｝是等差数列，若a 1+ 1, a 3+ 3, a 5 + 5构成公比为q 的等比数列， 贝 H q = _____________ .
8. （2015 •安徽，14）已知数列｛a n ｝是递增的等比数列，a 1+ a 4= 9, a 2a 3= 8,则数列｛a n ｝的前n 项和等于 ________ .
9. （2015 •湖北，18）设等差数列｛◎｝的公差为d ,前n 项和为S,等比数列｛b n ｝的公比为q , 已知
b= a 1, b 2= 2, q = d , 80= 100.
（1） 求数列｛a n ｝ , ｛ b n ｝的通项公式；
（2）
当d >1时，记C n = a ，求数列｛C n ｝的前n 项和T n .
D n
84成等比数列，则a 1的值为 __________ .
11. （2014 •广东,13）若等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 a 1°an + a 9&2= 2e 5，则ln a+ In a 2
1.(2015
{a n }满足 a i = 3, a i + a s + a 5 = 21,贝U a s + a §+ a ?=
A.21
B.42
C.63
D.84
2.(2014 •重庆，2）对任意等比数列｛a n ｝, F 列说法一定正确的是 （
A. a 1, a s ，
a 9成等比数列 B. a 2, a 3, a 6成等比数列 C. a 2. a 4， a 8成等比数列 D. a 3, a 6, a 9成等比数列
3.(2014 -大纲全国, 10）等比数列｛a n ｝中,a 4= 2,a 5= 5,则数列｛lg a n ｝的前8项和等于（ ）
A.6
B.5
C.4
D.3
4. (2016 -全国I,
15）设等比数列满足 a + a 3= 10, a 2+ a 4= 5,贝U aa 2…a n 的最大值为 5.
(2016 17）已知数列｛◎｝的前n 项和$= 1 +入a n ,其中 入工0.
（1）证明｛a n ｝是等比数列，并求其通项公式; (2)若 85= 31,
求入.
10.(2014 •天津, 11）设｛a n ｝是首项为a 1,公差为一1的等差数列,
S 为其前n 项和.若8, 82,
+ …+ In a20= __________
12. （2014 •江苏,7）在各项均为正数的等比数列 ｛刘中，若a 2 = 1, a 8= a 6+ 2a&则a 6的值是
13. (2014 •新课标全国n, 17)已知数列｛a n ｝满足a i = 1, &+1= 3a n +1. （1）证明 何+11：是等比数列，并求｛a n ｝的通项公式; 1 1
1 3
⑵证明計£ + T 豢.
B 组 两年模拟精选（2016〜2015年）
1. （2016 •安徽安庆第二次模拟 ）数列｛a n ｝满足a n + 1=入a n — 1（n €N 入
｛a n — 1｝是等比数列，则 入的值等于（ ）
=1
, S 3 = 7,贝V S B =( + an 的最小值为（ ）
）已知正项数列｛a n ｝满足a 2+1 — 6a n = a n +o,若a= 2,则数列｛a n ｝的前
n 项和为
）若数列｛a n ｝满足a 1 = 3, a n +1= 2a n + 1，则该数列的通项公式为
_ _ n *
€ R 且入工0），若数列 A.1 B.
C.
D.2
2. (2016 •河北衡水中学模拟）已知等比数列｛a n ｝中，a 3= 2, a 4a 6= 16, 则壮的值为（ A.2
B.4
C.8
D.16
3. (2016 • 2 015 / A.2 — 1
-浙江
金华二 B.2 )已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a n +1 • a n = 2n , 1 009 — 3 C.3 X 2 1 007 — 3 则 S 2 015 =( ) 1 008 一 3
D.2 4（2016 •北京东城模拟 ）已知｛ a n ｝为各项都是正数的等比数列，若
a 4 • a 8 = 4,贝U a s • a 6 -a?= A.4
B.8
C.16
D.64
5. （2015 •山东日照模拟 ）设数列｛刘是由正数组成的等比数列, S 为其前n 项和，已知 a 2 •
a
15 代7
B.
31 ~4
C.
33 ~4
D.
17 ~2
6. （2015 •北大附中模拟 ）已知各项为正的等比数列 ｛a n ｝中，a 4与a 14的等比中项为 2 . 2,则2a ?
A.16
B.8
C.6
D.4
7. （2016 •陕西质检二模
8. （2015 •云南大理二模
9. （2016 •四川雅安模拟）数列｛a n｝的前n项和为S n,且首项a& 3, a+1= S+ 3（n€ N）. （1）求证：｛S n—3n｝是等比数列；
（2）若｛a n｝为递增数列，求a1的取值范围.
J+ 1
2 a n *
10. (2015 •马鞍山模拟)已知数列｛a n ｝满足a i = 1, a n +1 = 一—n (n € N).
a
n
+ 2
(1)
⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式;
(3) 设b n = n ( n + 1) a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S .
11. (2015 •陕西宝鸡 4 月)已知数列｛a n ｝满足 a 1= 5, a 2= 5, a n +1 = a n + 6a n — 1(n 》2). (1) 求证：｛a n +1 + 2a n ｝是等比数列. (2) 求数列｛a n ｝的通项公式； (3) 设 3n b n = n (3n — a n )，求 |
+1
+…+ | b n |.
合案精析
1.B
2.D
3.C
A 组 三年高考真题(2016〜2014年)
[设等比数列｛a n ｝的公比为q ,则由a = 3, a 1+ a 3+ a 5= 21得3(1 + q 2+ q 4) = 21,解 3(舍去)或 q 2= 2，于是 a 3+ a 5+ a ?= q 2(a + a 3 + aj = 2x 21= 42,故选 B.] [由等比数列的性质得，a 3 • a 9= a !^ 0，因此a 3, a 6, a 9一定成等比数列，选
D.]
[lg a + lg a 2+・・・+ lg a s = lg( a 1 • a 2 ........................ a s ) = lg( a 4 • a 5)= Ig (2 x 5) = 4，故
选 C.]
证明数列
4.64
a 1 + a 3= 10, 设等比数列｛a n ｝的公比为q ,・「
a 2 + a 4= 5
a 1 + a 1q 2= 10, Lq + aq 3= 5,
a 1= 8,
解得 1 q
=2
1
们—3) + ( — 2) +…+ ( n —4)
1 yi (n — 7) a©…a n =厅 j
= o 2
1 7
2 49 10 — 2 一匸
n-7 2
一49取到最小值一 6，
—|2—49
2
4
取到最大值26,所以a 1a 2…a n 的最大值为64.]
5.(1) 证明 由题意得 1
a 1= S = 1+入 a 1，故 入工 1, a 1=
, a&0.
1 — a
由S n = 1 +入 a n
, S n +1= 1 + 入 a n + 1,得 a n +1 =入 a n +1—入 a n ,即卩 a n +1 (入一1)=入 a n ,
由a&0,入
工
所以 a 1
a n 入二.因此｛a n ｝是首项为L ，
a n +
1 公比为士
的等比数列，于是 此时
an =
n — 1
I
由3S , 2S 2, S 3成等差数列知，4S z = 3S + S 3,可得a 3= 3a 2,「.公比
q = 3，故 等比数列通项a n = ag n —1 = 3n — 1.］
7.1
［法一 因为数列｛a n ｝是等差数列，所以 a 1+ 1,a 3+ 3, a 5 + 5也成等差数列，又
a +
1, a s + 3, a 5 + 5构成公比为q 的等比数列，所以a+ 1, a s + 3公+ 5是常数列,故q = 1. 法二 因为数列｛a n ｝是等差数列，所以可设 a 1 = t — d , a 3= t , a 5= t + d,故由已知得(t + 3)2
=(t — d + 1)( t + d + 5),得 d 2+ 4d + 4= 0,即 d = — 2，所以 a 3+
3 = a 1+ 1，即 q = 1.]
a 2a s = a 1a 4,又
a 2a 3= 8 , a 1 + a 4= 9，所以联立方程
•数列｛a n ｝的前n 项和为
T n = 1 + 3+ 苏|4+…+
，①
①—②可得
1T n = 2+ 2+ £+•••+ ” 号=3—警，故 T n = 6 —驴 1 1
10. — 2 [由已知得 S • S 4= S 2,即 a 1 • (4a 1 — 6) = (2 a — 1)2，解得 a = — ?•]
11.50
[由等比数列的性质可知
a 10an + a 9&2= 2e ? aa ao = e ，于是 a 1a 2…比。

=(e )=
50
50
e , In a 1 + In a 2 + …+ In a 2o = ln( aa 2…a 2o ) = In e = 50.] 12.4
[设等比数列｛a n ｝的公比为q , q >0.则a $= a 6+ 2a 4即为a 4q 4= &q 2+ 2a 4，解得q 2
8.2 n — 1 ［由等比数列性质
知
aa 4= 8,
解得
a 1
+ a 4
= 9,
a1
= 1,
a 4= 8
a 1= 8, a 4= 1,
又数列｛a n ｝为递增数列，••• a = 1, a 4= 8,从而aq 3= 8, 9. 解 （1）由题意有,
10a + 45d
= 100,即 a 1d = 2,
2a + 9d = 20,
a 1d = 2,
a 1
= 1, 解得d = 2
®= 9, 或 2 故 d
= 9.
a n = 2n — 1,
b n = 2n —1
『 1
a n = 9( 2n + 79), 或
4 2屮—1 bn =
⑵由d>1,
知 a^= 2n — 1, b n = 2 1
,故 2n — 1
2n — 1 ,
尹=尹尹尹尹尹…+
2n — 1
2n ⑵解由⑴得$= 1 —
n
.由 31得 1— 31
32，
解得入=—1.
=2(负值舍去)，又a2= 1，所以a6= a2q4= 4.]
(1)由 a n + 1 = 3a n + 1 得 a n + 1 + = 3 a n +
又
2 I 2丿
a n +1 = 2，因此｛a n ｝的通项公式为
1 2
⑵由(1)知a n =k
所以£n + 2 j 是首项为I ，公比为3的等比数列.
1 3 a + 2= 2,
13. 证明
因为当n 》l 时, 3n
—1>2
是 1 + 1 +••• +
a a
3^ = 2 1 -
1 3
卞<2.
1 1 所以一+—+••• + a 1 ~
a 2 1 3 <一 & 2
B 组 两年模拟精选（2016〜2015年）
1.D
由a n + 1 =入a n — 1 ,得a n + 1 — 1 =入a n — 2 =入a n — .由｛a n — 1｝是等比数列，所以 入=2.
2. B [ a 10— a 则
a 6—
因为 a 3= 2, a 4a 6= 16, 所以 a 4a 6= a 2q 4= 16,
q (a 6 — a 8) 4
=q = 4，故选 B.] 即 q 4= 4,
3.B [ 当n 》2时,
6— a 8
• a 1= 1, a n +1 • n — 1
a n • a n — 1= 2
a n = 2，…a n 工 0, a 2= 2,
n
a n +1
2
a~ o n -1= 2( n 》2), a 2
•数列｛a n ｝中奇数项，偶数项分别成等比数列,
1 008
1 007
1 —
2 2 （1 —
2 1—2 +
1—2
• • S 2 015 = )=21 009 — 3,故选 B.]
4.B [
2 .
-a 4 • a 8= a 6= 4, 又｛a n ｝的各项都是正数，
•••
a 6= 2, • • a s • a 6 -a 7= a 3 = 8,故选 B.]
5.B [ 设此数列的公比为 q (q > 0)
由已
得a 2 = 1,所以 a 3= 1，由 S 3= 7,知
a 3
a 3 a 3 2 1 a3+
q + q 2 = 7,即 6q -q - 1 = °,解得 q = 2，进而 a = 4.
4
所以s=—
1
1 —
2
31
才，选B.]
6.B
[-a 4a 14 =
=(2
2)2 = 8,即 a 4a 14 = a 2 = 8,
•- a 9 = 2 2. 则 2a 7 + an =脊 +
q
2
2 a 9
2
—
2 a 9 2 4
a 9q 》2 , q 2 x a 9q = 2 2 x a 9= 8,当且仅当 百=a 9q ，即q = 2时取等号.]
n
2
2
7.3 — 1 [(2) - a n +1 — 6a n = a n +1 • a n ,• (a n +1 — 3a n )( a n +1 + 2a n ) = 0,
a n >0, • a n +1= 3a n ,又 a i = 2, ••• ｛a n ｝是首项为2，公比为3的等比数列,
• S= 2(1-；)= 3n — 1.]
1— 3
8. a n = 2n +1— 1 [ •/a n +1= 2a n + 1, • a n +1+ 1 = 2(a n + 1)，•数列｛a. +1｝是首项为 4，公 比为2的等比数列，• a n + 1 = 4・2 n 1
,• a n = 2^ — 1.
9.(1) 证明
a n +1 = S n + 3 , (n € N) • S+1= 2S + 3 , • S+1 — 3
= 2(S — 3 ),°.° a 1 丰3.
S+1
— 3n +1
S — 3n = 2，
•数列｛S — 3n ｝是公比为2，首项为a 1 — 3的等比数列. (2)解 由(1)得 Si — 3 = (a 1 — 3) X2 1 ,• Si = (a 1 — 3) X2 1+ 3 , •当 n 》2 时，ch = Si — Si — 1 = (a 1 — 3) x2 2
+ 2X3 1
• n 》2 时，(a 1 — 3) X2 + 2x3 >( ai — 3) X2
+ 2x3
•- a i 的取值范围是（一 9,+m ）.
n
2
•数列｛[｝是公差为1的等差数列.
"
a
2 2
⑵ 解 由(1)可得一= — + (n — 1) x 1= n + 1,
a n a 1
⑶解由⑵知，b n = n ・2n ,
• S= 1 • 2+ 2 ・2 2+ 3 .2 3+..・+ n • 2n ,
2
3
4
n +1
2S = 1 ・2 + 2・2 + 3・2 +•••+ n ・2+,
两式相减得一S = 2 + 22 + 23 + •+ 2n — n ・2n +1 = 2n +1— 2— n ・2n +1, • $= (n — 1)・2 + + 2. 11.(1) 证明 ■/ a n +1 = a n + 6a n —1( n 》2), • a n +1 + 2a n = 3a n + 6a n —1= 3( a n + 2a n —1)( n 》2).
，:｛a n ｝为递增数列,
n — 1
• n 》2时，2
n —
2 12X 广2 + a — 3>0,
可得n 》2时,
a>3 — 12x |n
— 2
,
又当n = 2时, 3—
12X
2有最大值为一
9,
--a i > — 9,又 a 2= a i + 3 满足 a 2>a ,
a n +1 a n
10.(1) 证明 由已知可得 尹1= a + 2n , n + 1 J
n + 1 n
2 2
=1,
a ，
a n + 1 2n
• an = n +.
a n+1 + 2a n
又a i = 5, a2= 5，二a2 + 2a i = 15,「・a n+ 2&—1 工0( n>2)，二
a n+ 2a n-1
•••数列｛a n+1+ 2a n｝是以15为首项，3为公比的等比数列•
(2)解由(1)得a n + 1 + 2a n= 15X3 = 5X3，贝V a n + 1 =—2a n+ 5x3 ,
--a n+1 — 3 = —2( a n—3 ).又・a1 —3= 2,・・a n— 3 工0,
•｛a n —3n｝是以2为首项，—2为公比的等比数列.
•a n—3n= 2x ( —2)n—1,即卩a n= 2x ( —2)n—1+ 3n( n€ N).
厶"一n. n ___ ，一n. n n— 1 n
⑶解由⑵及 3 b n= n(3 —a n)可得 3 b n=—n(a n—3) =—n[2 x ( —2) ] = n( —2),
•- T n= | b1 | + | b2| +…+
2 2 2 2 2 3
①X3,得3Tn= 3 + 2X3 +…+
1 2 2卡
①—②，得3Tn= 3+ 3 +•••+
• - T n= 6 —2( n + 3)
3( n》2),
2
I b n| = 3+ 2X
(n—1)
l n
11。