高中数学 第二节 一元二次不等式及其解法

解得1＜x≤3．
答案：C
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一元二次不等式及其解法
结 束
2．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围 是________．
解析：①当m＝0时，1>0显然成立．
m>0， ②当m≠0时，由条件知 2 Δ ＝ 4 m －4m<0.
得0<m<1．
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答案：C
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2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．
答案：∅
3．不等式ax
2
1 1 ＋bx＋2>0的解集是－2，3，则a＋b的值是______．
1 解析：由题意知－ ， 2 1 是ax2＋bx＋2＝0的两根， 3 则a＝－12，b＝－2． 所以a＋b＝－14．
3x－4 解析：将原不等式移项通分得 ≥0， x－ 5
3x－4x－5≥0， 等价于 x－5≠0，
4 解得x＞5或x≤ ． 3
．
4 所以原不等式的解集为xx≤3或x>5 4 答案： x x≤3或x>5
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(2)0＜x2－x－2≤4．
解：原不等式等价于
2 x －x－2＞0， 2 x －x－2≤4 2 x －x－2＞0， ⇔ 2 x －x－6≤0
x－2x＋1＞0， ⇔ x－3x＋2≤0
由①②知0≤m<1． 答案：[0,1)
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考点一
一元二次不等式的解法
[题组练透]
2 2x ＋1，x≤0， 1．已知函数f(x)＝ －2x，x>0，
则不等式f(x)－x≤2的解集
是________．
1 解析：当 x≤0 时，原不等式等价于 2x ＋1－x≤2，∴－ ≤x 2
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判别式
Δ＝b2－4ac
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 一元二次方程 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 一元二次方程
Δ＞0 有两相异实根
Δ＝0
Δ＜0
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根 没有实 b 数根 x1＝x2＝－2a
[小题体验]
结 束
1．设集合 S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T ＝ A．(－2,1] C．(－∞，1] B．(－∞，－4] D．[1，＋∞) ( )
解析：由题意得T＝ {x|－4≤x≤1}， 根据补集定义， ∁RS＝{x|x≤－2}， 所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．
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答案：－14
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1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形． 2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
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[小题纠偏]
x－3 1．不等式 ≤0的解集为 x－1 A．{x|x＜1或x≥3} C．{x|1＜x≤3} B．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x＜3} ( )
x－3x－1≤0， x－3 解析：由 ≤0，得 x－1 x－1≠0，
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3．解下列不等式： (1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；
解：原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0． 4 解得－2≤x≤ ， 3
4 所以原不等式的解集为 x －2≤x≤3 ．
2
≤0； 当 x>0 时， 原不等式等价于－2x－x≤2， ∴x>0． 综上所述，
1 原不等式的解集为x|x≥－2 ． 1 答案：x|x≥－2
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2x＋1 2．不等式 ≥－1的解集为________． x－5
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考点二
含参数的一元二次不等式的解法 [典例引领]
结 束
1 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以ax－a (x－1)
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
＜0， 1 所以当a＞1时，解为a＜x＜1；当a＝1时，解集为∅； 1 当0＜a＜1时，解为1＜x＜a． 1 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为 x 1＜x＜a ． 当a＝1时，不等式的解集为∅． 1 当a＞1时，不等式的解集为 xa＜x＜1 ．
b xx≠－ 2a __________
{ x|x<x1 或 x>x2} _____________
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{___________ x|x1＜x＜x2}
∅
__ ∅
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课后·≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为 x|－2≤x＜－1或2＜x≤3 ．


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[谨记通法]
解一元二次不等式的4个步骤
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第二节
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“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图象