概率论期末考试复习题及答案

第一章
1.设P （A ）=
31，P （A ∪B ）=21
，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6
1_______.
2. 设P （A ）=
31，P （A ∪B ）=21
，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4
1_____.
3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ⋃）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独立
5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.
6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．
7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________．
8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连
取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____.
9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.
10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率.
35
18
第二章
1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413） 设随机变量X~N （2，22），则P{X ≤0}=（P{(X-2)/2≤-1} =Φ（-1）=1-Φ（1）=0.1587
2.设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-,0,
0;
0,1)(3x x e x F x
则当x >0时，X 的概率密度f (x )=___ x
e
33-_____.
3．设随机变量X 的分布函数为F （x ）=⎩
⎨⎧≤>--,0,0;
0,2x x e a x 则常数a =____1____.
4．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X<a}<0.8413，则常数
a<___3_________.
5．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，则P{X ≥1}=_____
32
31
_______. 6.X 表示4次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.5，则X~ _B(4, 0.5)____
7.设随机变量X 服从区间[0，5]
8.设随机变量X 的分布律为 =X 2，记随机
变量Y 的分布函数为F Y （y 9.设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，
试确定常数a . 1
10.已知随机变量X 的密度函数为
f (x )=A e ?|x |, ?∞<x <+∞,
求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ).
21 21(1-e ??
) ⎪⎩⎪⎨
⎧≤>-=-0
2
10
211)(x e x e x F x x
11.设随机变量X 分布函数为
F （x ）=e ,0,
(0),00.xt A B x ,
x λ-⎧+≥>⎨<⎩
（1） 求常数A ，B ；
（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）. A=1 B=-1 P {X ≤2}=λ
21--e P {X ＞3}=λ
3-e
⎩⎨
⎧≤>=-0
)(x x e x f x
λλ 12.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤.
,0,21,
2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ）.
求（1）X 的分布函数，（2）Y =X 的分布律.
14.设随机变量X ~U （0,1），试求： （1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =?2ln X 的分布函数及密度函数.
第三章
1．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨
⎧>>=+-,,0;0,0,),()(其他y x e
y x f y x （1）求边缘概率密度f X (x)和f Y (y )，（2）问X 与Y 是否相互独立，并说明理由.
因为 )()(),(y f x f y x f Y X = ，所以X 与Y 相互独立
2．设二维随机变量2
2
1212(,)~(,, ,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则ρ=____0______. 3.设X~N （-1，4），Y~N （1，9）且X 与Y 相互独立，则2X-Y~___ N （-3，25）____. 4.
，
5．设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成的三角形区域，
则(X,Y)的概率密度1
01()2
y x f x y others
⎧≤<≤⎪
=⎨⎪⎩，．
6
2）随机变量Z=XY 的分布律.
7求：（1）a 的值；（2）（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘分布列；（3）X 与Y 是否独立？为什么？（4）
X+Y 的分布列. a=0.3
因为{0,1}{0}{1}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不相互独立。

8.设随机变量（X ，Y ）的分布密度
f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,
0,
0,0,)43(其他y x A y x e
求：（1） 常数A ； （2） P {0≤X <1，0≤Y <2}. A=12 P {0≤X <1，0≤Y <2}=3
8
(1)(1)e e ---- 9.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩
⎨
⎧<<<<--.,0,
42,20),6(其他y x y x k
（1） 确定常数k ；（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}；（3） 求P {X +Y ≤4}.
10.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,
0,0,e 55其他y y
求 X 与Y 的联合分布密度.
f （x, y ）=525e ,0,0,
0,.y x y -⎧>>⎨⎩
其他
11.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,
0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨
⎩
其他
求边缘概率密度.
12.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,
0,0,其他e y x y
求边缘概率密度.
13.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,
0,
1,22其他y x y cx
（1） 试确定常数c ； （2） 求边缘概率密度.
14.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<.
,
0,
10,,1其他x x y
求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.
（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；
（2） X 与Y 是否相互独立？
第四章
1.设X ~B （4，
2
1
），则E （X 2）=____5_______. 2.设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则Cov （X ，Y ）=____1_______.
3．随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3，E （X ）=1，则x =____10/7________. 4．设随机变量X
）=__5/3__, D （2X+1）=___4/9___.
5． X 的分布律为 {}=<)(X E X P __ 0.8 __.
6．设X 1，X 2，Y X 2,Y )=3,则Cov(X 1+2X 2, Y )=__7_____. 7．设X~N （0，1），Y~B （16，
2
），且两随机变量相互独立，则D(2X+Y)= ____8____． 8．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为⎩
⎨⎧<<<<=，y x xy y x f 其他,0;
20,10,),(试求：
（1）E （X ），E （Y ）；（2）D （X ），D （Y ）；（3）ρXY .
2/3 4/3 1/18 2/9 0 9．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
,
且已知E （Y ）=1，试求：
（1）常数α，β；（2）E （X ）；（3）E （XY ）.
0.2 0.2 0.6 0.6
10.求E （X ），E （X ），E （2X +3）.
11.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x
求E （X ），D （X ）.
12.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ ??4X .
13.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X ??2Y ），D （2X ??3Y ）. 14.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<<.,
0,
0,10,其他x y x k
试确定常数k ，并求XY ρ.
15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )=??1,
计算：Cov （3X ??2Y +1，X +4Y ??3）
16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=22
1,1,
π0,
.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他
试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 17.设随机变量（X ，
验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.
第六章
1.设总体~(0, 1)X N ，X 1, X 2,…,X n 为样本，则统计量
2
1
n
i
i X
=∑的抽样分布为___)(2
n χ___.
2. 设X 1，X 2…，X n 是来自总体2
~(, )X N μσ的样本，则
∑=σ
μ-n
1
i i )X (
2 ～__)(2
n χ__（需标出参数）． 3. 设X 1，X 2，…，X n （n>5） 是来自总体~(0, 1)X N 的样本，
则∑∑==-=n
i i
i i
X
X n Y 6
251
2
)55(
～__)5,5(-n F __
（需标出参数）．
4.设总体2
~(1, )X N σ，X 1, X 2,…,X n 为来自该总体的样本，则1
1n
i i X X n ==∑，则()E X =____1____，
()D X =__
n
2
σ___。

5．设总体2
~(, )X N μσ，X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，令U=
σ
μ)
(-X n ，则D （U ）
=____1_______.
6.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值
大于3的概率.（用标准正态分布函数()Φ⋅表示） ))2(1(2Φ-
7．设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本
方差，则统计量___
2
16
9S ___～2(9)χ.
第七章
1. 设总体X 的概率密度为(1),01;
(;)0,,x x f x θθθ-+⎧<<=⎨⎩
其他
其中θ是未知参数，x 1,x 2,…,x n 是来自该总体的样本，试求θ的矩估计和极大似然估计.
2. 设总体X 服从（0，θ）上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.2, 0.3, 0.5, 0.1, 0.6, 0.3, 0.2, 0.2，求求θ的矩估计值和极大似然估计值. 0.6 0.6
3. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中λ为未知参数，X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，
求参数λ的矩估计量和极大似然估计量.
4. 设总体~(, 1)X N μ，123,,X X X 为其样本，若估计量12311
ˆ23
X X kX μ
=
++为μ的无偏估计量，则k = ___1/6_____.
5. 设总体是~(, 2)X N μ，123,,X X X 是总体的简单随机样本，1ˆμ, 2ˆμ是总体参数μ的两个估计量，且1ˆμ
=123111244X X X ++，2ˆμ
=123111
333
X X X ++，其中较有效的估计量是__2ˆμ____. 6. 设某种砖头的抗压强度2
~(, )X N μσ，今随机抽取20块砖头，测得抗压强度数据（单位：kg ·cm -2）的均值76.6x
=，和标准差18.14s =：
（1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. （其中0.0250.025(19) 2.093, (20) 2.086,t t ==
22
0.0250.975(19)32.852, (19)8.907, χχ==
22
0.0250.975(20)34.170, (20)9.591χχ==）
(68.11, 85.09) (190.33, 702.01)。