材料力学 第四章 扭转
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W = Me 2 n
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
明德行远 交通天下
材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
P2 n
9.55
103
150 300
N
m=4.78kN
m
M4 =9.55103
P2 n
9.55
103
200 300
N
m=6.37kN
m
明德行远 交通天下
n
C
D
材料力学
明德行远 交通天下
材料力学
例题4-2 一个空心圆直杆和一个实心圆直杆，两端受相同的外力偶作用。若两轴
的最大切应力相等，实心圆杆的直径d1，空心杆的外径为D，内径为d2，且
=
d2 D
=0.6
试求两杆的外径之比 d1 以及两杆的面积之比。
D
解：因两杆的扭矩和最大切应力相等，则实心杆和空心杆的抗扭截面系数相同。
材料力学
第四章 扭转
明德行远 交通天下
材料力学 明德行远 交通天下
主要内容
• §4-1 扭转的概念 • §4-2 扭矩及扭矩图 • §4-3 材料扭转时的力学性能 • §4-4 圆轴扭转时的应力及强度计算 • §4-5 圆轴扭转时的变形及刚度计算
材料力学
§4-1 扭转的概念
1.扭转 外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直 杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。 2.轴
以扭转为主要变形的构件。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。
明德行远 交通天下
A
B
汽车的转向（轴）操纵杆
材料力学
3、扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
4、切应变（）：直角的改变量。
工程实例
A
O B
m
m
明德行远 交通天下
材料力学
§4-2 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 假设一传动轴的转速为n（r/min），功率 为P（kW）。外力偶每秒所做的功为
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
Me
Me
Me
3 扭矩的符号规定
x T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
明德行远 交通天下
材料力学
扭矩T的符号规定：
n
明德行远 交通天下
n T Me
T Me
材料力学
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
知：当
R
d 2
,
max
max
Td 2
Ip
T Ip
d 2
T Wp
( Wp I p
d) 2
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位：mm3或m3。
对实心圆截面： Wp I p R D3 16 0.2D3 对空心圆截面： Wp I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4)
1. 几何关系：
tg
G1G dx
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
明德行远 交通天下
材料力学
2. 物理关系
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
明德行远 交通天下
材料力学
3. 静力学关系
T A dA
A
G 2
d
dx
dA
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
明德行远 交通天下
材料力学
例题4-1 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
M2
M3Leabharlann M1M4解：①计算外力偶矩
T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
m2
m3
m1
m4
明德行远 交通天下
n
A
B
C
D
T
6.37
x
–
4.78 9.56
材料力学
§4-3 材料扭转时的力学性能
圆轴扭转时的应力-应变曲线
s 屈服强度 b 强度极限
试验测定：
明德行远 交通天下
低碳钢
铸铁
材料力学 明德行远 交通天下
低碳钢试件： 沿横截面断开。
G
d
dx
A
2dA
T
GI p
d
dx
代入物理关系式
明德行远 交通天下
dA O
令 Ip A 2dA
得：
材料力学
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 塑性：抗拉=抗压 ﹥ 抗剪 脆性：抗压﹥抗剪﹥ 抗拉
材料力学
§4-4 圆轴扭转时的应力及强度计算
一、等直圆杆扭转实验 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
明德行远 交通天下
材料力学
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Wp1 =Wp2
d13
D3
14
16
16
则
d1 3 1 4 3 1 0.64 =0.95
D
d12
实心圆杆与空心圆杆的面积之比为 A1
4
d12
0.952 1.41
A2 D2 1 2 D2 1 2 1 0.62
②求扭矩（扭矩按正方向设）
Mx 0，T1+4.78 0
T1= 4.78kN m
同理 T2 +4.78+4.78 0
T2 = 9.56kN m T3 6.37 0 T3=6.37kN m
明德行远 交通天下
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B2 C 3D
材料力学
③绘制扭矩图
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
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材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
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材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
P2 n
9.55
103
150 300
N
m=4.78kN
m
M4 =9.55103
P2 n
9.55
103
200 300
N
m=6.37kN
m
明德行远 交通天下
n
C
D
材料力学
明德行远 交通天下
材料力学
例题4-2 一个空心圆直杆和一个实心圆直杆，两端受相同的外力偶作用。若两轴
的最大切应力相等，实心圆杆的直径d1，空心杆的外径为D，内径为d2，且
=
d2 D
=0.6
试求两杆的外径之比 d1 以及两杆的面积之比。
D
解：因两杆的扭矩和最大切应力相等，则实心杆和空心杆的抗扭截面系数相同。
材料力学
第四章 扭转
明德行远 交通天下
材料力学 明德行远 交通天下
主要内容
• §4-1 扭转的概念 • §4-2 扭矩及扭矩图 • §4-3 材料扭转时的力学性能 • §4-4 圆轴扭转时的应力及强度计算 • §4-5 圆轴扭转时的变形及刚度计算
材料力学
§4-1 扭转的概念
1.扭转 外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直 杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。 2.轴
以扭转为主要变形的构件。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。
明德行远 交通天下
A
B
汽车的转向（轴）操纵杆
材料力学
3、扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
4、切应变（）：直角的改变量。
工程实例
A
O B
m
m
明德行远 交通天下
材料力学
§4-2 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 假设一传动轴的转速为n（r/min），功率 为P（kW）。外力偶每秒所做的功为
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
Me
Me
Me
3 扭矩的符号规定
x T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
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材料力学
扭矩T的符号规定：
n
明德行远 交通天下
n T Me
T Me
材料力学
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
知：当
R
d 2
,
max
max
Td 2
Ip
T Ip
d 2
T Wp
( Wp I p
d) 2
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位：mm3或m3。
对实心圆截面： Wp I p R D3 16 0.2D3 对空心圆截面： Wp I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4)
1. 几何关系：
tg
G1G dx
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
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材料力学
2. 物理关系
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
明德行远 交通天下
材料力学
3. 静力学关系
T A dA
A
G 2
d
dx
dA
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
明德行远 交通天下
材料力学
例题4-1 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
M2
M3Leabharlann M1M4解：①计算外力偶矩
T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
m2
m3
m1
m4
明德行远 交通天下
n
A
B
C
D
T
6.37
x
–
4.78 9.56
材料力学
§4-3 材料扭转时的力学性能
圆轴扭转时的应力-应变曲线
s 屈服强度 b 强度极限
试验测定：
明德行远 交通天下
低碳钢
铸铁
材料力学 明德行远 交通天下
低碳钢试件： 沿横截面断开。
G
d
dx
A
2dA
T
GI p
d
dx
代入物理关系式
明德行远 交通天下
dA O
令 Ip A 2dA
得：
材料力学
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 塑性：抗拉=抗压 ﹥ 抗剪 脆性：抗压﹥抗剪﹥ 抗拉
材料力学
§4-4 圆轴扭转时的应力及强度计算
一、等直圆杆扭转实验 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
明德行远 交通天下
材料力学
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Wp1 =Wp2
d13
D3
14
16
16
则
d1 3 1 4 3 1 0.64 =0.95
D
d12
实心圆杆与空心圆杆的面积之比为 A1
4
d12
0.952 1.41
A2 D2 1 2 D2 1 2 1 0.62
②求扭矩（扭矩按正方向设）
Mx 0，T1+4.78 0
T1= 4.78kN m
同理 T2 +4.78+4.78 0
T2 = 9.56kN m T3 6.37 0 T3=6.37kN m
明德行远 交通天下
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B2 C 3D
材料力学
③绘制扭矩图