圆周运动绳杆模型

圆周运动绳杆模型
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圆周运动中的临界问题
一.两种模型:
(1)轻绳模型:一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。

小球能到达最高点（刚好做圆周运动)的条件是小
球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r
v 2
，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉
力不能提供支持力).
类此模型:竖直平面内的内轨道
(2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 。

（杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力。

） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0〈
v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v ＝gr
时,杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时,杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道。

1、圆周运动中绳模型的应用
【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2)在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？
【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑,到半径为r 的圆形轨道最高点
B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：
(1）最高点水不流出的最小速率。

（2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．
2、圆周运动中的杆模型的应用 【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆,一端拴一质量m=0。

4 kg 的小球,使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动,求：
（1)小球通过最高点时的最小速度；
（2）若小球以速度v 1=3。

0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何?
【训练3】如图所示,长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力,则（ )
2
v
R A 。

小球到达最高点的速度必须大于gL B.小球到达最高点的速度可能为0
C 。

小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力
D 。

小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力
【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ,有一质量为m 的小球,直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动.若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时
受到轨道给它的作用力为___________。

若小球通过圆环轨道 最高点时速度恰为gL ，则小球在通过最高点时受到轨道给 它的作用力为___________.
【训练5】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点,则以下说法正确的是（ ) A 。

若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零 B 。

若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零
C.若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零 D 。

若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力， 在Q 点受到细杆的作用力为推力
二、水平面内的圆周运动临界问题
【例题3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°,一条长为L 的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看作质点)，物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

⑴当v ＝错误!时,求绳对物体的拉力;
⑵当v ＝错误!时，求绳对物体的拉力.
基础巩固、
1．如图6-11—5所示，细线的一端有一个小球,现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ）
A ．是拉力
B ．是支持力
C ．等于零
D ．可能是拉力，可能是支持力,也可能等于零
O L m
L m
O
θ O 图6-11-5
3
2．(1999年 全国）如图6-11—6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动,现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最
高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A ．a 处为拉力，b 处为拉力
B ．a 处为拉力，b 处为推力
C ．a 处为推力，b 处为拉力
D ．a 处为推力,b 处为推力
3．长为L 的轻杆,一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。

现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v ，则下列叙述正确的是 （ ）
A ．v
B ．v 由零逐渐增大,向心力也逐渐增大
C ．v 由零逐渐增大,杆对小球的弹力也逐渐增大
D ．v
4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时,对轨道的压力是 （ )
A ．0
B ．mg
C ．3mg
D ．5mg
5．长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v 和2v ，细线所受拉力分别为1F 、2F ,则 ( )
A ．1v
．2v = 0 C ． 1F = 5mg D ．2F = 0
6．质量可忽略,长为L 的轻棒，末端固定一质量为m 的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动,那么小球在最低点时的速度v 必须满足的条件为 （ )
A ．v
．v
C ．v ≥
．v
7．如图6-11—7所示，一个高为h 的斜面，与半径为R 的圆形轨道平滑地连接在一起。

现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B 而不落下，则斜面的高度h 应为多大？
8．如图6-11-8所示，杆长为L ,杆的一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计,整个系统绕杆的另一端O 在竖直平面内作圆周运动,求:
（1）小球在最高点A 时速度A v 为多大时，才能使杆对小球m 的
作用力为零?
图6-11-6
图6-11-8
4
(2）小球在最高点A 时,杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度是多少？
（3）如m = 0。

5kg ， L = 0。

5m ， A v = 0.4m/s, 则在最高点A 和最低点B 时， 杆对小球m 的作用力各是多大？ 是推力还是拉力？
【拓展提高】
9．如图6-11-9所示,固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD ，其A 点与圆心等高，D 点为轨道最高点，DB 为竖直线，AC 为水平线，AE 为水平面，今使小球自A 点正上方某处由静止释放，且从A 点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D ，则小球在通过D 点后 （ ）
A ．会落到水平面AE 上
B ．一定会再次落到圆轨道上
C ．可能会落到水平面AE 上
D ．可能会再次落到圆轨道上
10．如图6—9—10所示,半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB 段平直，质量
为m 的小球以水平初速度0v 射入圆管。

（1)若要小球能从C 端出来，初速度0v 多大？
（2）在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件？
B
E 图6-11-9
B
A
图6-11-10。