七年级(上)培优讲义：第1讲 实数(一)

第1讲：实数（一）
一、建构新知
1.一般地,如果2x a
=,那么________ 叫a的平方根．
2.如果3x a
=,那么________叫a的立方根．
3.正数的_____平方根和_____的平方根，统称算术平方根．
4.求一个数的__________的运算叫开平方,开平方与___________互为逆运算．
5.求一个数的__________的运算叫开立方；开立方与___________互为逆运算．
6．一个有正、负两个平方根,它们互为相反数；的平方根是零; 没有平方根．
7.一个正数有个的立方根；一个负数有个的立方根；零立方根是．
8．(1)使用计算器计算，把下面两个有理数写成小数的形式：
39
,
511
-，你有什么发现？我
们发现上面有理数都可以写成___________小数或____________小数的形式．
(2) 叫做无理数.
9.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
10.立方根等于它本身的数有：．平方根等于它本身的数有：．
二、经典例题
例1．本章内容中有一个重要结论：“实数和数轴上的点一一对应”．阅读教材中的本节内容后填空：
如图，以一个单位长度为边画一个正
方形，以原点为圆心，正方形的对角线为
半径画弧，弧与数轴的交点表示两个无理
数：、．
上面的操作说明：数可以用数轴上的点表示出来．也就是说数轴上的点有的表示、有的表示．
例2．利用如图所示44
⨯方格，你能画哪些边长为无理数的正方形？要求所画正方形的顶点在格点上．
例3．(1)计算下面两组数
① 6400,64,
0.64.
② 3
3
3
64000,
64,0.064
(2)仔细观察计算结果及被开方数之间的关系，你发现了什么?
例4.任何实数a ,可用[]a 表示不超过a 的最大整数,如[][]13,
44==,现对72进行如下操作：[
][][]122887272321=→
=→=→次
第次
第次
第,这样对72只需进行3次操
作后变为1,类似地,①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是 .
例5. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S =1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S =2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S ﹣S =22014﹣1 即S =22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．
三、基础演练 1.判断题
（1）－4是16的平方根 （ ） （2）平方为4的数是2 （ ） （3）4的平方根是±2 （ ） （4）9的算术平方根是3（ ） 2.当x 时，2+x 有意义． 3.计算：2
2
)2()3(---= ．
4.（1）如果某正数的平方根是4-和1+a ，那么=a ．
（2）如果2-a 和－3是某正数的平方根，则=a ，这个正数是 ． 5.若a 是有理数，则2
2
3
2
,,1,1b a a a a ++-中一定有平方根的数有（ ） A . 1 个 B . 2个 C . 3 个 D . 4个 6．若2-x 与
3+y 互为相反数，求x y 的算术平方根．
7.11的整数部分是 ，小数部分是 ．
8.请写出两个正无理数，使得他们的和为有理数 ．
9.下列各组式子：①－3与3--；②（－3）2与－32；③－3与 －23；④－3与2
)3(-，
互为相反数的个数是（ ）
A. 1 个
B. 2个
C. 3 个
D. 4个 10．给出下列命题：①若y x >
，则y x >；②带根号的数是无理数；③数轴上的点都
可以表示成有理数；④两个无理数的积为无理数；⑤a a =2；其中正确的命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2 个 D. 3个 11．把下列各数填在相应的括号里：
2020020002
.0,25.2),3(,2
,2,14.3,722,
101.0%,200,22
-----∙
∙π
无理数{ …} 有理数{ …}
负数{ …} 分数{ …}
12.立方根等于本身的数是 ；平方根等于本身的数是 ；算术平方根等于本身的数是 ；相反数等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 ． 13.若643
=a ，则a = ． 14.若313=-x ，则x = ． 15.=-+---3
3
2
33
)5
3()5
2()5
2
( ． 16.一个正方体A 的体积是棱长为4cm 的正方体B 的体积的8
1，则正方体A 的棱长为多少？
四、直击中考
1. （2013山东）估计61+的值在（ ）
A ．2到3之间
B ． 3到4之间
C ．4到5之间
D ．5到6之间
2. （2013浙江）实数π，
1
5，0，－l 中，无理数是（ ） A ．π B ．1
5
C ．0
D ．－l
3. （2013内蒙古）大于2且小于5的整数是 .
4. （2013湖北）实数a ，b 在数轴上的位置如图7所示，以下说法正确的是（ ）
A ．a ＋b ＝0
B ．b ＜a
C ．ab ＞0
D ．｜b ｜＜｜a ｜ 5. （2013四川）2的相反数是（ ） A ．2 B ．
22 C ．2- D ．22
- 6. （2013贵州）下列各数中，3.14159，－38，0.131131113······， －π，25，1
7
-
，无理数的个数有：（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7.（2013广东）四个数－1，0，
1
2
，2中为无理数的是( ) A ．－1
B ．0
C ．1
2
D ．2
8. （2013沈阳）如果m =
7－1，那么m 的取值范围是( )
A ．0<m <1
B ．1<m <2
C ．2<m <3
D ．3<m <4 9.（2013江苏）若式子1
2
x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x >1
B ．x <1
C ．x ≥1
D ．x ≤1
10.（2013台湾）k 、m 、n 为三整数，若135 =k 15 ，450 =15m ，180 =6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，正确的是（ ）
A.k <m =n
B. m =n <k
C.m <n <k D).m <k <n 11.（2013四川）0.49的算术平方根的相反数是 （ ）
A.0.7
B. －0.7
C.7.0±
D. 0
12.（2013广东）若实数a 、b 满足04|2|=-++b a ，试求b
a 2
的值．
13.（2012广东）若x ，y 为实数，且满足x 3+y 3=0--，试求2012
x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值．
14.（2012四川）实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，试化简|n ﹣m |．
15.（2013沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132,42+52+202=212……请你观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为 ．
五、挑战竞赛
1.已知实数a 满足a a a =-+-20052004，那么2
2004-a 的值为( )
A.2003
B.2004
C.2005
D.2006
2.已知m ,n 互为相反数，a ,b 互为倒数，x 的绝对值是3，则x 3－(1+m +n －ab )x 2+(m +n )2009+(－ab )2010的值等于___________.
3.设x =1
21-,a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，试求a 3+b 3+3ab 的值.
六、每周一题
1.已知a ,b ,c 是非零实数，M =|
abc |abc
|bc |bc |ac |ac |ab |ab |c |c |b |b |a |a ++++++，求M 的值。