平衡问题(动态平衡问题)

优质讲义
年 级： 高一 辅导科目：物理 课时数：2 学生姓名： 教师姓名： 上课日期： 课 题
教学内容
（一）平衡问题
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。

根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。

方法一：三角形图解法。

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。

然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例1 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
例2如图所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？
例3用等长的细绳0A 和0B 悬挂一个重为G 的物体，如图3所示，在保持O 点位置不变的前提下，使绳的B 端沿半径等于绳长的圆弧轨道向C 点移动，在移动的过程中绳OB 上张力大小的变化情况是（ ）
A ．先减小后增大
B ．逐渐减小
β
α
图1
θ
F
C ．逐渐增大
D ．OB 与OA 夹角等于90o
时，OB 绳上张力最大 方法二：相似三角形法。

特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例4一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示。

现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )
A ．F N 先减小，后增大
B .F N 始终不变
C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变
例5如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( )
(A)N 变大，T 变小， (B)N 变小，T 变大 (C)N 变小，T 先变小后变大 (D)N 不变，T 变小 方法三：作辅助圆法
特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。

②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

例6如图所示，物体G 用两根绳子悬挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变)90(0
>α，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA 的拉力为F 1，绳OB 的拉力为F 2，则（ ）。

(A)F 1先减小后增大 (B)F 1先增大后减小 (C)F 2逐渐减小 (D)F 2最终变为零
A
F
B
O θ A
B
α O A
C
B O 图2-3
例7如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M 、N 两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O 点，此时α+β= 90°．然后保持M 的读数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ ）
(A)减小N 的读数同时减小β角 (B)减小N 的读数同时增大β角 (C)增大N 的读数同时增大β角 (D)增大N 的读数同时减小β角 方法四：解析法
特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。

当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。

例8如图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N ，绳长
L =2.5m ，OA =1.5m ，求绳中张力的大小，并讨论：
（1）当B 点位置固定，A 端缓慢左移时，绳中张力如何变化？ （2）当A 点位置固定，B 端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？
例9如图所示，长度为5cm 的细绳的两端分别系于竖立地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B ，绳子上挂有一个光滑的轻质钩，其下端连着一个重12N 的物体，平衡时绳中的张力多大？
例10 如图所示，保持θ不变，将B 点向上移，则BO 绳的拉力将（ ） A.逐渐减小
B.逐渐增大
C.先减小后增大
D.先增大后减小
A
B
C G
O
M
N
O
α β
课堂总结
课堂练习
1．如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将：
A ．逐渐变大
B ．逐渐变小
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
2、如图所示，长为5m 的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B ，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N 的物体，平衡时，问：
①绳中的张力T 为多少?
②A 点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?
3、 如图38所示，水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有小滑轮B ，一轻绳一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg 的重物，∠=︒C B A 30，则滑轮受到绳子作用力为： A. 50N B. 503N C. 100N D. 1003N
O A
B C
D θ
A
B α
α
30o
A
B C
m
图38
4. 如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换绳OA ，使连接点A 向上移，但保持O 点位置不变，则A 点向上移时，绳OA 的拉力(答案：D )
A ．逐渐增大
B ．逐渐减小
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
5.轻绳一端系在质量为m 的物体A 上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN 的圆环上。

现用水平力F 拉住绳子上一点
O ，使物体A 从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动。

则在这一过程中，环对杆的摩擦
力F 1和环对杆的压力F 2的变化情况是（D ）
A ．F 1保持不变，F 2逐渐增大
B ．F 1逐渐增大，F 2保持不变
C ．F 1逐渐减小，F 2保持不变
D ．F 1保持不变，F 2逐渐减小
6.A 、B 为带有等量同种电荷的金属小球，现用等长的绝缘细线把二球悬吊于绝缘墙面上的O 点，稳定后B 球摆起，A 球压紧墙面，如图所示。

现把二球的带电量加倍，则下列关于OB 绳中拉力及二绳间夹角的变化的说法中正确的是：
A.二绳间的夹角增大，OB 绳中拉力增大
B.二绳间的夹角增大，OB 绳中拉力减小
C.二绳间的夹角增大，OB 绳中拉力不变
D.二绳间的夹角不变，OB 绳中拉力不变 答案：C
7.如图所示，绳子的两端分别固定在天花板上的A 、B 两点，开始在绳的中点O 挂一重物G ，绳子OA 、OB 的拉力分别为F 1、F 2。

若把重物右移到O '点悬挂（B O A O '<'），绳A O '和B O '中的拉力分别为'1F 和'
2F ，则力的大小关系正确的是： 答案：D
A.'>11F F ，'>22F F
B. '<11F F ,'
<22F F C. '>11F F ，'<22F F D. '
<11F F ，'
>22F F
8. 如图所示，硬杆BC 一端固定在墙上的B 点，另一端装有滑轮C ，重物D 用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A 点。

若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从A 点稍向下移，则在移动过程中
A 绳的拉力、滑轮对绳的作用力都增大
B 绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大
C 绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力增大
D 绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变 答案 C
A
B
O
A
B
O
O '
A
C
B
A
B
O
9.重力为G的重物D处于静止状态。

如图所示，AC和BC 两段绳子与竖直方向的夹角分别为α和β。

α＋β＜90°。

现保持α角不变，改变β角，使β角缓慢增大到90°，在β角增大过程中，AC的张力T1，BC的张力T2的变化情况为：
A．T1逐渐增大，T2也逐渐增大
B．T1逐渐增大，T2逐渐减小
C．T1逐渐增大，T2先增大后减小
D．T1逐渐增大，T2先减小后增大答案：D
10.如图所示，均匀小球放在光滑竖直墙和光滑斜木板之间，木板上端用水平细绳固定，下端可以绕O点转动，
在放长细绳使板转至水平的过程中(包括水平)：
A．小球对板的压力逐渐增大且恒小于球的重力
B．小球对板的压力逐渐减小且恒大于球的重力
C．小球对墙的压力逐渐增大
D．小球对墙的压力逐渐减小答案：D
11．（有一个直角支架AOB，AO是水平放置，表面粗糙．OB竖直向下，表面光滑．OA上套有小环P，OB套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可以忽略．不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P的支持力F N和细绳上的拉力F的变化情况是：
A．F N不变，F变大 B．F N不变，F变小
C．F N变大，F变大 D．F N变大，F变小
12．如图所示，小船用绳牵引．设水平阻力不变，在小船匀速靠岸的过程中
F
A、绳子的拉力不断增大
B、绳子的拉力保持不变
C、船受的浮力减小
D、船受的浮力不变
13. 如图所示，OA为一遵守胡克定律的弹性轻绳，其一端固定在天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定
的水平地面上的滑块A相连．当绳处于竖直位置时，滑块A与地面有压力作用。

B为一紧挨绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。

现用水平力F作用于A，使之向右作直线运动，在运动过程中，作用A的摩擦力：
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．保持不变
D．条件不足，无法判断答案：C
14.如图所示，当人向左跨了一步后人与物体保持静止，跨后与垮前相比较，下列说法错误的是: 答案：B
A ．地面对人的摩擦力减小
B ．地面对人的摩擦力增加
C ．人对地面压力增大
D ．绳对人的拉力变小
15.如图所示，两个质量都是m 的小球A 、B 用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态。

已知竖直墙面光滑，水平地面粗糙，现将A 向上移动一小段距离，两球再次平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B 球的支持力N 和轻杆上的压力F 的变化情况是：
A.N 不变，F 变大
B.N 不变，F 变小
C.N 变大，F 变大
D.N 变大，F 变小 答案：B
16．如图，轻杆A 端用光滑水平铰链装在竖直墙面上，B 端用水平绳结在墙C 处并吊一重物P ，在水平向右力F 缓缓拉起重物P 有过程中，杆AB 所受压力（D ） A ．变大 B.变小 C.先变小再变大 D.不变
课后练习
1. 如图1-21所示长木板L 的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始木板成水平位置．当木板向下转动，θ角逐渐增大的过程中，摩擦力f F 的大小随θ角变化最有可能的是图1-22中 （ ）
2.如图1-23所示，轻绳的一端系在质量为m 物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套子在粗糙水平杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F 的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动，则在这一过程中，水平拉力F 、环与杆的摩擦力F f 和环对杆的压力F N 的变化情况是：（ ）
A ．F 逐渐增大，F f 保持不变, F N 逐渐增大
B ．F 逐渐增大，F f 逐渐增大, F N 保持不变
C ．F 逐渐减小，F f 逐渐增大, F N 逐渐减小
D ．F 逐渐减小，F f 逐渐减小, F N 保持不变
A
B
C
B
F
P
A
F
图1-23
θ
m M
F
N
3．完全相同的直角三角形滑块A 、B 如图1-25所示叠放，设A 、B 接触的斜面光滑，A 与桌面的动摩擦因数为μ，现在B 上施加一水平推力F ，恰好使A 、B 保持相对静止且一起匀速运动，则A 对桌面的动摩擦因数μ跟斜面倾角θ的关系为 （ ）
A. tan μθ=
B. 2tan μθ=
C. 1
tan 2
μθ=
D. μ与θ无关
4．如图1-26所示，绳子AO 的最大承受力为150N ，绳子BO 的最大承受力为100N ，绳子OC 强度足够大.要使绳子不断，悬挂重物的重力最多为（ ）
A ．100N B.150N
C. 1003N
D.200N
5．如图1-27所示，用两根细线把A 、B 两小球悬挂在天花板上的同一点O ，并用第三根细线连接A 、B 两小球，然后用某个力F 作用在小球A 上，使三根细线均处于直线状态，且OB 细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态。

则该力可能为图中的（ ）
A ．F 1
B ．F 2
C ．F 3
D ．F 4
6．如图1-28所示，一辆汽车沿水平面向右运动，通过定滑轮将重物A 缓慢吊起，在吊起重物的过程中，关于绳子的拉力F T 、汽车对地面的压力F N 和汽车受到的摩擦力F f 的说法中正确的是（ ）
A ．F T 不变，F N 不变，F f 逐渐增大
B ．F T 不变，F N 逐渐增大，F f 逐渐增大
C ．F T 逐渐增大，F N 不变，F f 逐渐增大
D ．F T 逐渐减小，F N 逐渐增大，F f 逐渐增大
7. 图1-29中为一“滤速器”装置示意图。

a 、b 为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O 进入a 、b 两板之间。

为了选取具有某种特定速率的电子，可在a 、b 间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能够沿水平直线OO'运动，由O'射出。

不计重力作用。

可能达到上述目的的办法是（ ）
A ．使a 板电势高于b 板，磁场方向垂直纸面向里
B ．使a 板电势低于b 板，磁场方向垂直纸面向里
C ．使a 板电势高于b 板，磁场方向垂直纸面向外
D ．使a 板电势低于b 板，磁场方向垂直纸面向外
力F，使球缓慢偏移，在移动中的每个时刻，都可以认为钢球处于平衡状态。

若外力F的方向始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角θ＜90。

且弹簧的伸长量不超过其弹性限度，则图中给出的弹簧伸长量x与cosθ的函数关系图像2中，最接近的是（）
9. 如图6所示，在两块相同的竖直木板之间，夹有质量均为ｍ的４块相同的砖，用两大小均为Ｆ的水平力压紧木板，使砖静止，则第２与第１块砖间的摩擦力为。

10．为了测量两张纸之间的动摩擦因数，某同学设计了一个实验：如图1-34所示，
在木块A和木板B上贴上待测的纸，B木板水平固定，砂桶通过细线与木块A相连，调节砂桶中砂的多少，使A匀速向左运动。

测出砂桶和砂的总质量m，以及贴纸木块A的质量M，则两纸间的动摩擦因数μ=m/M。

（1）该同学为什么要把纸贴在木块A和木板B上，而不直接测量两张纸间的滑动摩擦力？
（2）在实际操作中，发现要保证木块A做匀速运动较困难，请你对这个实验作一改进来克服这一困难。

①你设计的改进方案是：
；
②根据你的方案做实验，结果动摩擦因数μ的表达式是：
；
③根据你的方案要添加的器材有。

方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状态.如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试分析：
(1)轻绳张力T的大小取值范围.
(2)在图1-36中画出轻绳张力(T)与cosθ的关系图象.。