高三数学第十二章 圆锥曲线—双曲线2 复习教案

第五节 双曲
线
————热点考点题型探析
一、复习目标：1、了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质；2、 双曲线的几何元素与参数c b a ,,之间的转换
二、重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
(一）、热点考点题型探析
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
[例 1 ] (2006·广东) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则
A （－1020，0），
B （1020，0），
C （0，1020）
设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线
122
22
=-b y
a x 上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.
【反思归纳】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 题型2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线C 与双曲线16
2
x －
4
2y =1有公共焦点，且过点
（3
2，2）.求双曲线
C 的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组
[解析] 解法一：设双曲线方程为2
2a
x －2
2
b
y =1.由题意易求c=2
5.
又双曲线过点（32，2），∴2
2
)23(a
－2
4b
=1.又∵a2+b2=（2
5）2，
∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为12
2
x －
8
2y =1.
解法二：设双曲线方程为k x -162
－k
y +42
＝1，将点（3
2，2）代入得
k=4，所以双曲线方程为12
2
x －
8
2y ＝1.
【反思归纳】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围 [例
3] 已知双曲线22
2
21,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，
点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决 [解析]由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得
183PF a
=，
22
3
PF a =
，在
12
PF F ∆中，由余弦定理，得
2
2
2
2218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求2
1cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得
53e =
．即e 的最大值为5
3．
【反思归纳】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化； （2）点P 在变化过程中，
|
||
|21PF PF 的范围变化值得探究；
（3）运用不等式知识转化为c b a ,,的齐次式是关键
题型2 与渐近线有关的问题 [例
4] (07·宁夏海南)若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的焦点到渐近
线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
A.2
B.3
C.5
D.2
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系 [解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，
5
122
222
=+==a b a c e ,所以5=e
【反思归纳】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 （二）、强化巩固训练
1、焦点为（0，6），且与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方
程是 （ ） A ．
124
122
2=-y x B ．124
122
2=-x y C ．112
242
2=-x y D ．
112242
2=-y x
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
2、（08江苏6）设P
为双曲线1
122
2
=-y x 上的一点
F1、F2是该双曲
线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A ．36
B ．12
C ．312
D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121===
=PF PF c b a 由 ①又,
22||||21==-a PF PF
②
由①、②解得
.4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2
212221==+F F PF PF 为21F PF ∴直角三角形，
.124621
||||212121=⨯⨯=⋅=
∴∆PF PF S F PF 故选
B 。

3、P
是双曲线)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x 左支上的一点，F1、F2分别是左、
右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+
［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，
由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||
4、(08年上海)以抛物线x y 382
=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线
是03=±y x 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线
x
y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为
λ=-223y x ，9
)32(342
=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x
5、已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过
M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
A ．22
1(1)8y x x -=<- B ．22
1(1)
8y x x -=>
C ．1822
=+y x （x > 0） D ．22
1(1)
10y x x -=>
[解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B
6、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，
P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则
2
212
221)(e e e e +的值为
( C )
A ．21
B ．1
C ．2
D ．不确定
[解析] C. 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，
m a PF -=||2，
（三）、小结：本课主要探析了二个考点两种题型，它是高考考查的重点，要求大家掌握五种题型的解法，并在题目中能熟练的识别和运用，教师引导学生抓住重点题型反思，进一步深化理解。

（四）、作业布置：复资P123页2、5、6、7
课外练习：限时训练50中1、4、5、6、9、10、11
五、教学反思：。