卡特兰数三个通项公式的推导

卡特兰数三个通项公式的推导前提条件：
有两种操作，一种操作的次数不能超过另外一个，或者是不能有交集这些操作的合法方案数，通常是卡特兰数
情景：
1）n个0和n个1构成的字串，所有的前缀子串1的个数不超过0的个数，求这样的字串个数
向上的操作不超过向右的操作
2）包含n组括号的合法式子：
与情景1的练习：左括号对于0，右括号对应1
3）一个栈的进栈序列为1,2,3,…,m,有多少个不同的出栈序列 ?
4）n个节点可以构造多少个不同的二叉树。

5）在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来所得到的n条弦不相交的方法数
6）通过连结顶点而将n+2边的凸多边形分成n个三角形的方案数
形式：
1 1
2 5 14 42 132 429 1430……
推导：
一式：
曲线救国。

1.求总路径数2.求非法3.相减得到合法step1总
路径就是2n次操作里选n次向右的方案数 C 2 n n
C_{2n}^{n} C2nn
step2对于y = x + 1，所有的非法路径都必然与其有一个交点。

从第一个交点开始路径对于y = x + 1对称路径会对称到终点为（n-1，n+1）的点。

所以非法路径数就是 C 2 n n −
1 C_{2n}^{n-1} C2nn−1step3二者相减：到达点 ( n , n ) 的合法路径数就是 H n = C
2 n n − C 2 n n − 1 到达点(n,n)的合法路径数就是H_n=C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1} 到
达点(n,n)的合法路径数就是Hn=C2nn−C2nn−1
二式：
1.明确需要配凑的式子： 1 n + 1 2 n ! n ! n ! ，即 C 2 n n \frac{1}{n+1}\frac{2n!}{n!n!}，即C_{2n}^{n} n+11
n!n!2n!，即C2nn2.一式写成阶乘形式3.提公因式提这个公
因式 2 n ! n ! ( n − 1 ) ! ，得到 2 n ! n ! ( n −
1 ) ! ∗ ( 1 n − 1 n + 1 ) 提这个公因式
\frac{2n!}{n!(n-1)!}，得到\frac{2n!}{n!(n-
1)!}*(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) 提这个公因式
n!(n−1)!2n!，得到n!(n−1)!2n!∗(n1−n+11)4.通分括号
内的式子，再把提取出的公因式与之相乘。

配凑出 1 n + 1 2 n ! n ! n ! ，即 1 n + 1 C 2 n n , o v e r
\frac{1}{n+1}\frac{2n!}{n!n!}，即
\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n},over n+11n!n!2n!，即n+11C2nn
,over
三式
1.明确需要配凑的式子： C a t a l a n n − 1
Catalan_{n-1} Catalann−12.拆解 C a t a l a n n Catalan_n Catalann3.配凑出需要的式子，4.剩下的式子约分。

step1明确 C a t a l a n n − 1 = 1 n C 2 n − 2 n − 1 = 1 n ( 2 n − 2 ) ! ( n − 1 ) ! ( n − 1 ) ! Catalan_{n-1} = \frac{1}{n}C_{2n-2}^{n-
1}=\frac{1}{n}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} Catalann−1 =n1C2n−2n−1=n1(n−1)!(n−1)!(2n−2)!step2拆解 C a t a l a n n = 1 n + 1 C 2 n n = 1 n + 1 2 n ! n ! n ! Catalan_n =
\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}=\frac{1}{n+1}\frac{2n!}{n!n!} Catalann=n+11C2nn=n+11n!n!2n!step3配凑得到 1 n + 1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n ) n ∗ 1 n ( 2 n − 2 ) ! ( n −
1 ) ! ( n − 1 ) ! 得到\frac{1}{n+1}\frac{(2n-
1)(2n)}{n}*\frac{1}{n}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} 得到n+11n(2n−1)(2n)∗n1(n−1)!(n−1)!(2n−2)!
step4化简 4 n − 2 n + 1 ∗ 1 n C 2 n − 2 n − 1 = C a t a l a n n − 1 \frac{4n-2}{n+1}*\frac{1}{n}C_{2n-2}^{n-1}=Catalan_{n-1} n+14n−2∗n1C2n−2n−1
=Catalann−1。