流体力学计算题及答案

3
p = 13600kg /m，水的密度解：
3
p 二1000kg /
该微压计是一个水平倾角为
二P i — P2= Y Z3 —Z4)= Y sin9第二章
例1用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。

已知：水面高程
z o=3m,压差计各水银面的高程分别为z i=0.03m, z2=0.18m, Z3=0.04m, Z4=0.20 m,水银密度
P o Y z°—z i) - Y(Z2 - 乙)一Y(Z4 —Z3)= P a
P0 二*(Z2 —Z i • Z4 — Z3)- YZ0 —Z i)
例2:用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。

B的n形管。

已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm，倾角9=30 °，试求压强差p i
解：；P i - Y Z3 — Z i) • Y Z4 —Z2)= P2
例3:用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。

两个U形管的工作液体为水银，密度为P 2，其连接管充以酒精，密度为P 1。

如果水银面的高度读数为z i、Z2、Z3、
Z 4 ,试求压强差 p A —pB 。

解：点1的压强：P A 点2的压强：p 2二P A - Y (Z 2 -z 1)
点3的 压强：P 3 = P A ~■ Y (z ^ ~■ z
1)
Y
(z 2 ~'Z 3)
p
4
= P A -
Y
( z
2
- z 1 )
'
Y (z 2
- z
3)- Y (Z
4
-
z
3
)= p B
P A - P B = Y (z
2 -乙
z 4 ~ z 3
)~
Y ( z
2 - z 3
)
例4 :用离心铸造机铸造车轮。

求
A-A 面上的液体总压力。

|h
1 2 2
r - gz 2 9
P a 在界面A-A 上: Z = - h
P ] 2『gh Pa
R 冷 I '[ L (p —P a )2nrdr =2兀P — co 2R 4
十一ghR 2 |
<8 2 ,/
H = 500mm 的园柱形容器中注水至高度 h 1 = 300mm, 例5 :在一直径 d = 300mm 而高度 使容器绕垂直轴作等角速度旋转。

如图所示。

(1) 试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数 n 1;
(2) 求抛物面顶端碰到容器底时的转数他，此时容器停止旋转后水面高度h 2将为多少? 解：
(1)由于容器旋转前后，水的体积不变 气的体积不变 1』2 一二 d 4
)，有：
L 1 2
d (H -h 1) 2 4 L = 2( H -h j = 400 mm = 0.4 m 在xoz 坐标系中，自由表面 1的方程: 对于容器边缘上的点，有： d r
0.15m z 0 = L = 0.4m
2
2gz 0 r 2 =2 9.8 0.4
0.152
••• = 2二
n/60
(亦即容器中空 Z
°「2g
-18.67(rad / s)
图
60⑷ 60 汉 18.67
门勺 178.3 (r / min)
= 20.87(rad /s) 方法
y D =yc
例7:如图，已知一平板，长 L,宽B,安装于斜壁面上，可绕 启动平板闸门所需的提升力
F 。

解：
A 转动。

已知L,B,L
B 。

求:
所指。

在x 0 Z •坐标系中：
,2 2
自由表面2的方程：
z 0
2g
d r
0.15m 时，z o = H = 0.5m
2
H h 2
250mm
2
例6:已知：一块平板宽为 B ，长为L,倾角匕顶端与水面平齐。

求：总压力及作用点。

解：总压力：
F 二Y c A = Y -LB
2
压力中心D :
方法一：dM = ydF = y sin 6dA
L
| 3
2
2
L
M = Y i nBj y dA = ys i n 叮 y B d y= Y i n0B — 3
n 2
60d 60 20.87 2 n
2 n = 199.3(r/m i n ) 这时，有
—=丄二d 2(H 弋)
2 4
当
2 9.8 0.5
0.152
y c
A 2 L
BL
2
丄丄
£ J Y sin ®L
2
f 2 = Y i sin BBL . FL cos J
例&平板A B,可绕A 转动。

长L=2m,宽b=1m, 0 =60° H|=1.2m,H2=3m 为保证平板不能自
3
1 COS T
H H
转，求自重 G 解：F^ Y 冷 1 8153N
2 sin 0
F 3 二 Y H 2 -Lsin 0)bL =24870N F? = Y bL = 16986 N 2 L f 1 H 、 2 L
G _ cos 0 + F-| L — ----- -- i — F 2，一 L — F 3 _ 乏 0
G - 69954N
例9:与水平面成45°倾角的矩形闸门 AB(图1),宽1m ,左侧水深 h i = 3m ,右侧水深h 2 = 2m ,试用图解法求作用在闸门上的静水总压 力的大小和作用点。

解：如图2所示，作出闸门两侧的静水压强分布图，并将其合成。

0 - h 2 1 AE - -
1414 (m) sin 45 sin 45 h 2
2
EB
2
2.828(m)
si n45
sin 45
1 — 1 R f 1 b (h 1 -h 2)AE b 9.8 (3 - 2) 1.414 1=6.93(KN)
2 2 2 2 AD 1 AE 1.414 =0.943(m)
3 3
图1
P2_门2 b = (m - h2) BE b =9.8 (3 -2) 2.828 1 = 27.71(KN)
1 1
ED2 = 2 EB p 2.828 二1.414(m)
AD^ = AE ED； = 1414 1414 二2.828(m)
静水总压力：
p F2 =6.93 27.71 =34.64( KN )
设合力的作用点D距A点的距离为I,则由合力矩定理:
P」=P 'AD<| + P2AD2
P1 ■ AD
1 ■ P2
■ AD 2
P
6.93
0.943
27.71
=2.45 m
压力体如图所示: F z 2n n--Rs in 0 Rcos 0 2
例11: 一球形容器由两个半球铆接而成（如图1 所示），铆钉有n个，内盛
重度为的液体，求每一铆钉所受的拉力。

解：如图2所示，建立坐标系xoyz取球形容器的上半球面ABC作为研究对
象，显然由于ABC在yoz平面上的两个投影面大小相等、方向相反，
故x方向上的静水总压力P x =0 ;同理P y =0。

即：ABC仅受铅垂方向的静水总压力巳二V P
而：V P =V园柱-V半球
即,静水总压力的作用点D距A点的距离为2.45m。

例10:如图，一挡水弧形闸门，宽度为 b （垂直于黑板），圆心角为0 ，半径为R,水面与绞轴平齐。

试求静水压力的水平分量F x与铅垂分量F z。

图2解:
2
1 4
3
2
2
3
=7. R (R H )
R = : R (R H )-—二 R
2 3 3
=廡R 2(R H _2R) =^R 2(H -)
3 3
. 2 R
故：Pz = Vp = •二R (H ■—)
方向铅垂向上，即
3
铆钉受拉力。

每一铆 钉 所 受 的 拉 力 为：
P Z 1 料 2
R
F z
R (H )
例 1:已知 u = — (y+t2),
第三章
v =x+t , w =0。

求t=2，经过点（0, 0）的流线方程。

解：t=2 时， u =— (y+4), v =x+2, w =0
流线微分方程:
dx _____ dy -(y 4厂 x 2
1 2 1 2 (x 2) (y 4)=C 2 2
流线过点(0, 0) ••• c=10 流线方程为： (X+2)2+(y+4)2=20
例2:已知某流场中流速分布为: v = 2y , w = 5-z 。

求通过点(x,y,z)=(2,4,1)的
流线方程。

解：流线微分方程为：
dx dy u v dz
w
dx 1 d(2y) • ------- =—
d(5 z)
x 2 2y 5 — z
"dx 1 d(2y)
dx _ dy _ dz -x 2y 5- z
由上述两式分别积分，并整理得: * x 2 2y dx _ d (5 - z) .x 5 - z
x... y 二 C 1
x C 2 z - 5C 2 = 0
即流线为曲面x ； y 和平面x C 25c^ 0的交线。

将（x,y,z ） = （2,4,1）代入①可确
定&禾口 C 2 :
图2
u = -x ,
xjy =4 2x z - 5 = 0
L
Zo -
P o
aOV o
P a
a V
1
Y 2g
故通过点（2,4,1）的流线方程为: 例3.求小孔出流的流量：
解：如图，对断面 0-0和断面1-1列伯努利方程，不计能量损失，有:
V i 二 2g Z o -乙二.2gh
上式中：A 为小孔的面积，」A 为1-1断面的面积。

例4.用文丘里流量计测定管道中的流量:
解：如图，在1-1及2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有:
2 2
P 也 Z 2止址由于： V 1A 1二V 2A 2
Y 2g Y 2g
故:瞪
1-A2；
/ 、
Z1+P
/ 、
Z2+盘 2g 1 A1丿
< Y
1
丫丿
又；
P 1 YZ^Z^ = P 2 YZ 2 —Z 4 ' Y Z 4 - Z 3
二
乙+P =Z 2 +旦 +虫 T ：Zt —Z 3 )=Z 2+卫2 + — -1 ；Z 4 -Z3)
Y
丫 I Y 丿
丫 IP 丿
V ；1
Ap (P \
二 —1-兮=丄-1師 2g
i A 丿IP 丿
Q = N2A 2 <1。

Q =V 1
n 2
4
3
=2.737m /s
Y 2g Y 2g
且：Q =V 1A 1=V 2A 2
可求出：V 2和p 2。

在x 方向列动量方程，有:
-■ F x ' P 1A ~' P2 A 2 c 0 0 = p Q (V 2 c 0 0 — Vj
F x = P1A - P 2 A 2 cos
p Q (V 2 cos 0 - Vj
a? = P ' p 12gJ
1
—(A ? AI )
丄考虑能量损失及其它因素所加的系数。

例 5:输气管入口，已知： p ' =1000kg/m 3, p =1.25kg/m 3, d = 0.4m , h = 30mm 。

求:
解：对0—0和1 — 1断面列伯努利方程，不计损失，有:
又因为：
oa
=1.0, Z o = Z 1, P 1 丫h 二 P a
V 1 二 丫2gh 二 p 2gh =21.784m/s
例6:如图，已知：V , > A 1、A 2 ； 0；相对压强p 1 ;且管轴线在水平面内，试确
定水流对弯管的作用力。

解：对1-1及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：
F y - P2A2sin 0 = QV2sin 0在y方向列动量方程，有:
F y 二P2A2 sin 0 p QV2 sin 0
解：对1-1及2-2断面列伯努利方程, 不计水头损失，有:
h 1 -Pa Y 2g
2
P a 上 Y 2g 以上两式联解，可得:
又： Q 二V i h i B 二V z h z B
V =1.95在水平方向列动量方程，有:
-F 七h 2B
JQ(V 2 -vj
F
二肓(h ； -h ；) - QM - V 1)
故： F=24812N
例8 :嵌入支座内的一段输水管，其直径由
d i 为1.5m 变化到 座前的压强P 1 = 4个工程大气压（相对压强），流量Q 为1.8m 3/s 时，试 确定渐变段支座所受的轴向力
R ,不计水头损失。

解：由连续性方程知：
4 1.8
2
二
1.5
= 1.02(m/s)
V ^ —
31
d
4
4 1.8
> 12
=2.29( 在1-1及2-2两断面列伯努利方程
（不计损失，用相对压强）:
例7:水渠中闸门的宽度 B = 3.4m 。

闸门上、下游水深分别为 h 1 = 2.5m, h 2 = 0.8m,
求：固定闸门应该施加的水平力
F 。

所以：Q = 16.575m 3/s
2 2
0日 凶
0丛 汇
恥r 「2 =1.0
2g
2g
1
2
2 2
P 2
P 1 + V 1 V 2
P 2 =P1 + P (Vj M)
2
1 2 2
-4 9.8 10 — (1.022 -2.292)
2
2
d 2为1m （见图1），当支
图2
二389.9( KN / m )
取控制体如图2建立坐标系xoy 。

2
4 - 392 =692.7(KN) ■■: 12
------------- X
.2 d
i
P i
P i =
4
P nd
；
B 二〒 P 2
二 4
二 1.5 389.9 =306.2(KN)
.P ix 二 R 二 692.7KN .P 2x 一P 2 一306.2KN
V ix =V i =1.02( m/s);
V 2x =V 2 =2.29(m/s)
显然，支座对水流的作用力
R 的作用线应与x 轴平行。

设R 的方向如图2所示：
R x —R
在X 轴方向列动量方程：
2F x = g ( »2x - [V ix )
取：直二 3 =i.0,贝U ： P ix Bx R x 二 P Q(V 2x -V ix )
即： 692.7 -306.2 -RT i.8 (2.29-i.02)
R = 384.2 (KN)
(方向水平向左)
根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力 R 与R 大小相等，方向相反(R 的方向水平向右)。

例9：如图所示一水平放置的具有对称臂的洒水器, 喷嘴倾角45°,若总流量Q = 056丨/s 。

求: (i)不计摩擦时的最大旋转角速度■ o (2)若旋臂以.=5 rad / s 作匀速转动，求此时的
摩擦阻力矩M 及旋臂的功率。

Q = Q = 0.281/s
2
(i)显然，喷嘴喷水时，水流对洒水器有反击力的作用，在不计磨擦力的情况下，要维 持洒水器为等速旋转，此反击力对转轴的力矩必须为零。

即要求喷水的绝对速度方向为径 向，亦即喷水绝对速度的切向分量应为零。

故：V sin ： - u = 0
解：每个喷嘴的流量:
式中V 为喷水相对速度,
Q
兀人2
d
二d 2
4
°28
叮
= 3.565(m/s)
二 0.0i 2
而 P T =4 9.8 10 =392( KN / m 2
)
u 为园周速度:
例1 ：有一虹吸管, Q=? P a — P c = ?
已知： d = 0.1m, h wA =2.12m , h wc =3.51m,h=6.2m,H=4.85m 。

求:
2).对水池液面和管道 C 断面列伯努利方程，有:
wAC
6 3
1
-p 2=0.965 x 10 Pa, p =920kg/m ,
.R =Vsi n ： =3.565 sin45°252
•二 Vsin ：=竺=10.08(rad/s)
R 0.25
故，不计摩擦时的最大旋转角速度为
10.08rad/s 。

(2)当• =5 rad /s 时，洒水器喷嘴部分所喷出的水流绝对速度的切向分量为：
V sin :-u =Vsin 二-R =3565 sin45° -0.25 5 = 127 (m/s)
列动量矩方程，求喷嘴对控制体作用的力矩：
M =2「Q(Vsin ： -u)R-0」Q(Vsin: -u)R
=1 0.56 10" (3.565 sin45°0.25 5) 0.25 = 0.18 10”(KN m)= 0.18N m
由于匀速转动，故：此时旋臂的功率为
P =M 』：=0.18 5=0.9(W)。

第四章
解：1).对水池液面和管道出口断面列伯努利方程，有:
、/ 2
h
W ACB
2g
V f 2g(h -IX ACB ) = 3.344m/s
Q =VA = 0.02626m 3/s 。

P a 一 P c 二 73946Pa
例2 :圆截面输油管道：
已知:L=1000m ,d=0.15m, p
v = 4 x 10-4nf/s，试求流量Q。

解:
=0.368(Pa.s) 在两断
h f
P 1 - P 2 P 1 - P 2
丫 二
Pg
假设流态为层流,
u
max 2 r
o
8」l
2 r
°
力粘度卩。

解：假设流态为层流
V =Q = 0.27233m/s A
Re =四=691 故假设成立。

2
._d
3
Q =V 0.0326(m /s)
4
例3:测量动力粘度的装置。

已知：L=2m,d=0.006m, Q=7.7 X10-6m 3/s , h=0.3m , p =900kg/m 3, p'=13600kg/m 3。

试求动
由于：P 1 - P 2 =( p •- p)gh =37364.7Pa
2
J
而:
P 1 -卩2
=hf
l V 2
A ——
—
d 2g
P 1 — P2 d 2g E 3*36
64 Re
19.05
入
假设成立。

Re=腔
(1
□ =
= 0.0772 Pa s Re
例 4：水管：d=0.2m, 20.2mm,
V 1.5 10"m 2/s °Q =5 10“m 3/s,0.02m 3/s,0.4m 3/s 。

求沿程损失系数■。

解:
=Q =0.778m/s A
Re =四=2.334 105
又因为:
h f l V 2 入 --- d 2g 二 3m
心 0.02915
查得: 0.0045
d
例6:新铸铁管道, △=0.25mm , L=40m , d=0.075m ，水温 10 C,水流量
Q=0.00725m 3/s ,求 h f
解：查表1 — 1, =1.31 x 10-6m 2/s
V =芈=1.6411m/s nl 2
士 = —2lo g i 丄
二-0.8686ln 贏
2.51
令:x =亠,a =0.8686,b =
< 入
3.7d
-9.009 10, c
2.51 Re
b ex
:x =5.9495922。

解：
A Q 0.001 V
0.1529m/ s,0.6366m/ s,12.732m/ s 。

d
A
Vd
446
Re
2.12 104,8.49 104,1.70 106。

V
查得：
“ 0.028,0.0225,0.0198
例 5
已知：水管， l = 1000m, d = 0.3m,Q = 0.055m 3 / s,、. = 10»m 2 /s, h f = 3口。

求
应为多少?
则:f(x)二 x aln(b ex) = 0, f (x) =1 a
入=0.03, I =5.77，因此设初值为x 0 =5.77,经迭代得
J 入
“ 0.0282504
hf F2.07m 。

d 2g
例7：已知:d1=0.2m,L 1=1.2m,d 2=0.3m,L 2=3m,h1=0.08m, h? =0.162m, h3 =0.152m, Q=0.06m/s 求：Z
解: 如图：W =Q=1.91m/s V2=Q=0.85m/s
A A
P2 V；P3 V32I2 V22
Z Z3 -
丫2g 丫2g d2 2g
I2 V2
2
K ------------ d2 2g
p
2 - p3
Y
二hb
七二心0.02722
』•百乂p2
Y 2g
Y 2g 止Z鱼
d2 2g
V22 2g
h h
V12—V22 二hi _
h2
2g
li V；
-Zr -
d2 2g
2
L二0.0632m
h2 h3 h1 =1.807
Z= 1.716
例8:水箱用隔板分成A、B两室如图所示，隔板上开一孔口，其直径d i=4cm，在B室底部装有园柱形外管嘴，其直径d2=3cm。

已知H=3m，h a=0.5m，□孔=0.62 , □嘴=0.82，水恒定出流。

试求：(1)h i, h2；(2)流出水箱的流量Q。

解：显然，要箱中水恒定出流，即h i, h2保持不变，则必有:
而Q1为孔口淹没出流流量，Q2为管嘴出流流量，分别有:
Q2 ="嘴A2 2g(hfe ' hQ
Q1 二「孔A、2gh
二佩Aj2gh,=隔Aj2g(h2 卄3)
•”O.62x n0.042汉v2gK = 0.82汇n0.032汇J2g(h2+h3)
4 4
即：0.000992 h/ 0.000738 h? h
又h • h2 =H —h3 =3-0.5 =2.5(m) ②
解: 在1-1及2-2断面列伯努利方程，有:
a 2g 又:
V L.
d i 2g
V2 = 1.073m/ s
4 Z蹙
d2 2g
d
2 J2g 2g d1 A
2
3
Q =V2A2二0.0273m /s。

水相出流里：
Q =Q1 -」孔A，2gh1 =0.62 — 0.042 2 9.8 1.07
3 3
357 10~(m /s) =357 丨/ s
例9:已知：L i= 300m , L2= 400m , d i=0.2m , d2=0.18m ,入1=0.028 ,入2=0.03，阀门处Z =5,其余各处局部水头损失忽略不计，△ H=5.82m。

求：Q=?
3
例10：水泵抽水，如图。

已知：=10m, L=150m , H=10m , d=0.20m , Q = 0.036m /s, 入=0.03, P1-P2 < 58KPa，不计局部损失。

求：h=?, P=?
解：
V2=1.146m/s
A2
对1-1和2-2断面列伯努利方程，有：Z •卫a = z2•卫2' aV2'丄邑~
Y Y 2g d 2g
h =Z 2—Z 1 =亘匕 Y
-1+ 丄】Vl/^m '、、d
丿2g 对1-1和3-3断面列伯努利方程，有:
Z 1 0 0 H m 二 Z 3 0 0 h w
-H m 二 Z 3 - Z 1
h w 二 H -h w 2
l L V 2 故，水泵的有效功率为：
W
d P = 2g Y QH m
例11:
已知： 1 2 3 4
L(m) 1500 800 600 700 d(m ) 0.25 0.15 0.12 0.15 5
1000 0.28 ；不计局部损失。

求各管流量。

且: H=10m,l=0.025 .6068
m
Y Q(H h w ) =4098W
解：如图，有： H 二 h f 「h f2 h fs 4： h f
=唸=质
2 2 2
A I 2Q 2 _ A I 3Q 3 2J4Q
h f2 = h f3 = h f 4 d d; Q
3
］刀2
5
= 0.661,
2 =
:A l
2
Q 2 \入I 3 l d
2丿
Q 2
0 A4
心丿
故:
=Q s = Q 2 Q 3 Q 4
二 1.069
又：Q = Q i Q i 二Q 2 1 Q 3/Q 2 Q 4/Q 2 =2.73Q 2
二 2.2986h f1
又由:
d 1 2g
2
-=4.3505m 可得:
乂 = 0.7542 m/s
第一种情况下, I V 2
入 --
d 2g 水头:
g>IQ 2
=AlQ 2
第二种情况下，水头:
因水头H 未变，故:
2
H = A -Q 2 A - Q \
-5 AlQ 2
2 2^2 丿 8 q 5
2
例13:圆柱环形轴承中轴的半径
R=40mm ，轴与轴承之间的间隙 h=0.03mm ，轴长
L=30mm ，轴转速n=3600r/min ，间隙中的润滑油的动力粘度 卩=0.12 Pa • s 。

求空载运转时
的转矩和功率。

Q 1
= 0.03702m 3/s
Q 2 = Q 1/2.7^ 0.01356m 3/s 3
Q 3 = 0.66IQ 2 = 0.00896m / s Q 4 =1.069Q 2 = 0.0145m 3/s Q 5 =Q 1 =0.03702m 3/s
例12：两水库以直径为 d ,长为I 的管路相通，当水头为 H 时，管 中流量为Q 。

今在管路中点处分成两个支管，支管直径亦为
d ，
水头H 不变的情况下，管中流量为
Q ■。

求该两种情况下的流量比
解：如图所示，按长管计算。

2
1
h 1
%尸7
解：由于环形间隙远小于轴的半径，可以把这个环形间隙流动简化成有相对运动的两平
行平板之间的间隙流动。

轴承简化为固定的下板，轴简化为运动的上板其速度为：U=R 3。

间隙内液体的压强梯度为零。

U R2n R
故,速度分布为：u y y y
h h 60 h
作用在轴表面上的切应力为：* -.-」理-=6 104Pa
dy 60 h
转矩：M 二w2二RL R =18.1N m
.子2兀n
功率：p 二M，M6823.5W
60
第五章
例1：完全气体由大容器经一细长管流入大气，流动过程绝热。

不考虑粘性影响，求气体出流速度。

大容器完全气体
V a
2 P0 V0
2
P a . V a2
-1 %
V o 0 P o
P0Pa
a；-0P『
0a
解: 这是理想可压缩流体的绝热定常流动问题，可把细管中流体看成是流线，用能量守恒方程求解。

二np
二
0.8621
T 二 287.08 K
p .： =123.15 kPa
出口截面流体速度为
2C p T ° 1 -
7-1
*
P '
、p 0」
=300m/s
7J 2
n
猪
P a V a
---- n -1 订
十a 2
由此解出气体的出流速度为:
例2:子弹在15 C 的大气中飞行，已测得其头部马赫角为 40 ,求子弹的飞行速度。

解
：
T = 273 15 = 288
u=Ma c = Ma JRT = 529.2m/s
例3 :空气在管道中作绝热无摩擦流动，已知某截面上流动参数为
T = 333 K ， p =
207 kPa ，u = 152 m/s ，求临界参数 T *、p *、：。

解：绝热无摩擦流动就是等熵流动。

先求马赫数，再求 T *、p *、P *。

对于空气：
R=287J/(kgK) =1.4
T T c /T
T _TT/T Y —1 2
1 Ma
2
—y^1—
1
「—0.5949 P T
P
1.4947 kg/m 3 RT*
例4:空气自大容器经收缩喷管流出， 容器内流体压强 p o = 200 kPa ，温度T o = 330 K ， 喷管出口截面面积为 12 cm 2。

求出口外背压分别为 P b = 120 kPa 和p b = 100 kPa 时的喷管 质量流量Q m 。

解：先判断背压是否小于临界压强。

对于空气
=1.4
P 」2
瓦、诂丿=0.5283
当P b = 120 kPa ，p b /p ° > p * /p 0，出口截面流动还未达到临界状态， 所以流体压强等于背压，
即 p = P b 。

Ma =
..RT = 0.4155
式中：
R
c P = R =1004.5 J/(kg K) p _1
容器内气体的密度：订P0 =2.1 1 1 7<g 品
RT
P o ! l2c p
T
0 I1
-
=0.5279kg/s
J
当P b = 100 kPa，p b/p o = 0.5 < p*/p o,出口截面流动已达到临界状态，所以流体压强等于临界压强，即P e = p*。

P 二P0
y
二
0.5283
Q m = O A e
-
! 12CpT0 1 —
5八!
4
P0 i
-
2C p T。

1- —!
=0.5340kg /s
例1 ：已知流体流动的流速场为
是有旋流？
:u = ax ,v = by , w = 0，试判断该流动是无旋流还解: =0
第七章
1 I cw cv
co = 一—一—
2\列QZ丿
-0
故流体流动是无旋流。

例2 :对于平面流动，设面积A'外的区域是无旋流动区。

试证明
包围A'的任一条封闭曲线L上的速度环量等于区域的边界曲线L'上
的速度环量。

证：如图所示，作割线并记割线两侧为ab和a'b'。

显然，封闭曲线abcb 'a'da所围的区域是无旋流动区域，其速度环量
应为零，即：[v d s = 0
abcb a da
1
二:o A e
而：ujvds = Jvds+ J vds+ Jvds+ Jvds = O
abcb a da ab bcb ba a da
由于ab和b 'a'是同一割线的两侧，而且积分方向相反，故：vds亠ivds = O
ab b a'
二Jvds+ Jvds = O 即：Jvds = —Jvds
bcb a da bcb a da
M —fr !■ f
ivds 二vds
L L '
3
例3.已知不可压缩平面流动的流函数：= — - x2y - 2xy
3
（1）求流速分量：
（2）流动是否无旋？若无旋，确定其流速势函数。

解：（1）其流速分量为：
評22
u y-x 2x,v =--_(_2xy 2y) _ 2xy _ 2y
今.x
(2)
：u c
2y
;v故流动无旋，有势函数•存在。

■:y:x
d = udx vdy = (y2-x2 2x)dx (2xy -2y)dy
3
= udx c(y)=.(八X2 2x)dx⑷看X 迁X2 c(y)
而：——二2xy c(y) = v = 2xy _2y c(y) = _2y ■y
2
:. c(y) = J-2ydy 二-y +c
3
故，"xy2-寸• x2一y2• c (可令c等于零)
例4：设平面流动（a） u = 1, v = 2 ；流动（b） u = 4x, v =-4y
（1）对于（a）是否存在流函数？若存在，求o
（2）对于（b）是否存在速度势函数「？若存在，求o
解: （1）对于流动⑻有: —= 0 —-0
x :y
显然满足不可压缩流体流动的连续性方程，存在对应的流函数。

数。

d'-二
二dx 上dy cy
积分后得到:
（2）对于流动
-z
= y -2x
(b) 有:
二-vdx udy 二_2dx dy 二d (y -2x)
（略去了积分常数）。

.:v f(-4y)
.:x
=0,
jx
.:u
1 p v
2、、弹dy丿
.:u
-0 因此，满足无旋条件，存在相对应的速度势函
d = udx vdy
解：令z = re i
令■- = 0，得到零流线:
-0, 及：--(k = _1,_2,)
它们是自原点出发的射线，把上半平面分成两个夹角为
V r
2 2
= 4xdx (-4y)dy =d(2x -2y )
积分后得到：0= 2x 2 -2y 2（已略去积分常数）
例5:理想不可压缩流体作平面无旋流动。

假设流场的复势是W（z） = az 2（ a > 0 ），并
且在坐标原点处压强为p o,试求:（1）上半平面的流动图案；（2）沿y = 0的速度与压强。

W(z) = a(reW = ar2e i2° = ar2(cos2 日+isi n2>)
所以：•二ar2 co 2二「=ar2si r2r
流速为：v r =2arcos2^, j - -2arsin2^
在y = 0 (即 r = 0 及 r =二)上，v r = 2ar, j = 0.
对坐标原点和y = 0上的任意一点（r , 0 ）或者（r ,二）列出伯努利方程。

2
90
°
(2ar) _p 2厂J
例6: y =0 度。

解：
是一无限长固壁，在y = h处有一强度为:的点涡。

求固壁y = 0上的速
点涡在z0点: W(z) In (z-z o) 例7: z =d, y
C
1
r
k
h x
l
b
-r
r
W(z) In (z-ih)
2i
'In(z ih) 2\
dW r
u —iv =
dz 2兀i iz —
ih
0 ，得固壁面上的流速分布:
■ : x2h2
点汇 -Q, z = -d ,点源Q,
解：叠加三个基本势流的流函数，得到:
.1、/2 Q z d Q z-d
“ -V.r
2 4\j r2+(z + d)2 4J r2+(z-d)2
令■ . = o，得到零流线方程：
1^2 Q z d Q z- d 门
V r 0
2 4. r^ z d 2 4： r2z-d 2
代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。

显然，流函数屮=C.给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。

这类卵形回转体也称为兰金( Rankine)体。