二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系

一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：

1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；

决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．

2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．

b 与a 同号，说明02<-a

b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明 0，则对称轴在y 轴的右边；

特别的，b = 0，对称轴为y 轴．

3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；

c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；

特别的，c = 0，抛物线过原点．

4 a,b,c 共同决定判别式

的符号进而决定图象与x 轴的交点

0 与x 轴两个交点

0 与x 轴一个交点 0 与x 轴没有交点

5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；

x= -1时，y=a - b + c ．

当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．

扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a

-3b + c 。 反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴

a ; 判别式

a a ……等等）的符号

二、经典例题讲解

例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；

C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；

D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；

例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是： ①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ．

A ．a > b > c > d

B ．a > b > d > c

C ．b > a > c > d

D ．b > a > d > c

例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果

①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤4a-2b+c ＜0，则正确的结论是（ ）

A 、①②③④

B 、②④⑤

C 、②③④

D 、①④⑤

④ ③

练习

1. （2015•重庆）已知抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）

A 、a ＞0

B 、b ＜0

C 、c ＜0

D 、a+b+c ＞0

2.（2015•文山州）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（

）

A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0

B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2- 4ac ＞0

C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0

D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0

3.（2015•泸州）已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0，②b 2

- 4ac ＞0，③a-b+c=0，④a+b+c ＞0，

其中正确结论的个数是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

4.（ 015•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．

5.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴

x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）

A、①②③④

B、②④⑤

C、②③④

D、①④⑤

6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，

在下列选项中错误的是（）

A、ac＜0

B、x＞1时，y随x的增大而增大

C、a+b+c＞0

D、方程ax2+bx+c=0的根是1=-1，=3

能力提升

1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：

①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④

b2- 4ac＞0；

⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），

其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.（ 01 •玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），

对称轴为x=﹣1．给出四个结论：

①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．

①b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0

其中，正确结论的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4