导数的定义及求导的运算法则

lim
x0
f (x) x
f (0)
(x 1) 1
lim
1.
x0
x
所以 f(0) f(0) 1，由定理 3.1.1 知，函数 f (x) 在点
x 0 处可导，并且 f (0) 1.
2023/4/22
37-9
续解 当 x 0 时， f (x) ex , f (x) (ex ) ex;
lim y x x0 x
lim
x0
y x
lim x x0
f
(x0 ) 0 0,
即表明函数 y f (x) 在点 x0 点连续.
2023/4/22
37-13
注 1（逆否命题） 如果函数 y f (x) 在点 x0 处不连续，则 函数 y f (x) 在点 x0 处不可导.
lim f ( x) lim ( x x) ( x) 1;
x0
x0
x
当 x 0, f (0) 0,
y y x
o
x
f ' (0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f
'
(0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f (0) 不存在.
即
(|
x
|)
1 1
x0 .
x0
例
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例3 求函数 f ( x) sin x,求(sin x).
解 f ( x) (sin x) lim sin( x x) sin( x)
lim
x0
cos(
x
x0
x 2
)
sin x x
2 x
cos
x.
2
故 (sin x) cos x
同样地，(cos x) sin x
例4 求函数 y loga x(a 0,a 1)的导数.
解 y lim loga ( x x) loga x
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
0, 根据极限的保号性
定理，存在 0 ，对一切 x (x0, x0 ) ，有
f (x) f (x0 ) 0 ，
x x0
又 x x0 0 ，得 f (x0 ) f (x).
2023/4/22
37-11
例 3.1.6 已知 f (x) 在点 x 0 处可导，且 f (0) 0 ，则
3.1.2 导数定义
定义 3.1.2 设 y f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，当自变量
x 在 点 x0 处 取 得 增 量 x ( x0 x 仍 在 该 邻 域 内 ） 时 ，
y f (x) 取得增量y f (x0 x) f (x0 ) ，当x 0 时，如果
增量之比 y f (x0 x) f (x0 ) 极限存在，就称 y f (x) 在点
x0 x
a x lim xlna (无穷小等价代换) x0 x
a xlna.
即(a x ) a xlna (e x ) e x .
例6 求函数f ( x) | x |的导数.
解 当 x 0, f ( x) x,
f ( x) lim ( x x) ( x) 1;
x0
x
当 x 0, f ( x) x,
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
定理 3.1.1 函数 y f (x) 在点 x0 处可导 y f (x) 在
点 x0 处既左可导又右可导，且 f(x0 ) f(x0 ) .
2023/4/22
37-2
由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
当 x 0 时， f (x) x 1, f (x) (x 1) 1 ,
故
f
(
x)
e
x
,
x 0,
1, x 0.
ex , x 0, f (x)
x 1, x 0,
思考题
一般地，如果
f
(x)
( x), (x),
x x0, ，问是否有
x x0,
f
(x)
(x), (x),
x x0, ？
x x0
（答案是否定的。）
即
f
(x)
(x), (x),
x x
x0 , x0 ,
f
(x)
(x), (x),
x x0, x x0.
2023/4/22
37-10
例 3.1.5 若 f(x0 ) 0, 证明 0 ，对一切 x (x0, x0 )
有
f (x0 ) f (x).
证
由于
f(x0 )
lim
x0
x2
f
(x) 2 x3
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x3)
(
)．
（A） 2 f (0) （B） f (0) （C） f (0)
（D） 0
解
lim
x0
x2
f
(x) 2 f x3
(x3)
lim[ x0
f
(x) x
f
(0)
2
f
(x3) x3
f
(0) ]
f (0) 2 f (0) f (0) ．
故选（B）
x
x
x0 处可导或导数存在，并称该极限值为 y f (x) 在点 x0 处的
导数，记作
f
(x0 ),
y
|x x0
，dy dx
x x0
或 df (x) dx
x x0
.
2023/4/22
37-1
即
f (x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) ,
或者
f
(x0 )
lim
3.1.4
设函数
f
(x)
ex,
x 0, 试讨论 f (x) 在点
x 1, x 0,
x 0 处的可导性.若可导，求出 f (0) ，并求 f (x) .
解 函数 f x为分段函数，分点为点 x 0 ，由于
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim ex 1 1, x0 x
f(0)
h0
x
lim
log
a
(1
x x
)
x0 xlna
x
(换底公式)
lim x 1 h0 xlna xlna
特别地， (ln x) 1 . x
例5 求函数 f ( x) a x (a 0,a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xx a x a x lim exlna 1
x0 x
2023/4/22
37-12
3.1.3 函数的可导性与连续性的关系
定理 3.1.2 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数
y f (x) 在点 x0 处连续. 证 由于函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则在点 x0 处
lim y x0 x
f (x0) .
因此
lim y
x0