2020年湖北省十堰市中考数学试卷(附详解)

2020年湖北省十堰市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.1
4
的倒数是()
A. 4
B. −4
C. 1
4D. −1
4
2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是()
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 长方体
D.
四棱柱
3.如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O.
若∠AOC=130°，则∠BOD=()
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
4.下列计算正确的是()
A. a+a2=a3
B. a6÷a3=a2
C. (−a2b)3=a6b3
D. (a−2)(a+2)=a2−4
5.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
鞋的尺码/cm2222.52323.52424.525销售量双12511731若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的()
A. 平均数
B. 方差
C. 众数
D. 中位数
6.已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC
平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是()
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
7.某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度
的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为()
A. 180−x
x =180−x
1.5x
+1 B. 180−x
x
=180−x
1.5x
−1
C. 180
x =180
1.5x
+2 D. 180
x
=180
1.5x
−2
8.如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E.若∠ADC=30°，
AE=1，则BC=()
A. 2
B. 4
C. √3
D. 2√3
9.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n=()
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
10.如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1
x 和y=k2
x
的图象上，若∠BAD=
120°，则|k1
k2
|=()
A. 1
3B. 3 C. √3 D. √3
3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.已知x+2y=3，则1+2x+4y=______．
12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC
的周长为______．
13.某校即将举行30周年校庆，拟定了A，B，C，D四种活动方案，为了解学生对方
案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人只能赞成一种方案)，将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为______．
14.对于实数m，n，定义运算m∗n=(m+2)2−2n.若2∗a=4∗(−3)，则a=______．
15.如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，
连接AB.若阴影部分的面积为(π−1)，则AC=______．
16.如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD=8，CD=6，
连接AD，则AD的最大值与最小值的差为______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
)−1−|−2|+20200．
17.计算：(1
2
四、解答题（本大题共8小题，共67.0分）
18.先化简，再求值：1−a−b
a+2b ÷a2−b2
a2+4ab+4b2
，其中a=√3−3，b=3．
19.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一
般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，
sin75°≈0.97，cos75°=0.26)？
20.某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、
《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能
性相同．
(1)小文诵读《长征》的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率．
21.已知关于x的一元二次方程x2−4x−2k+8=0有两个实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x13x2+x1x23=24，求k的值．
22.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与
过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AE=2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边
形的形状，并说明理由．
23.某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天
完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第
一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多
生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增
加，设第x天(x为整数)的生产成本为m(元/台)，m
与x的关系如图所示．
(1)若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为______，x的取值范
围为______；
(2)第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
(3)求当天销售利润低于10800元的天数．
24.如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，点D在AB上，连接CD并
延长交AE于点F．
(1)猜想：线段AF与EF的数量关系为______；
(2)探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图
2，连接CD并延长交AE于点F，则(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
(3)拓展：图1中，过点E作EG⊥CB，垂足为点G.当∠ABC的大小发生变化，其它
条件不变时，若∠EBG=∠BAE，BC=6，直接写出AB的长．
25.已知抛物线y=ax2−2ax+c过点A(−1,0)和C(0,3)，与x轴交于另一点B，顶点为
D．
(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
(2)如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，
垂足为M，交BC于点G.当BG=CF时，求△EFG的面积；
(3)如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使
∠OPB=∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
的倒数是4
【解析】解：1
4
故选：A．
根据倒数的概念进行求解即可．
本题考查了倒数的概念，理解倒数的概念是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
故选：B．
根据三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析可知几何体的名称．
此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，椎体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
3.【答案】C
【解析】解：∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=40°，
∴∠BOD=∠COD−∠BOC=50°．
故选：C．
根据角的和差关系求解即可．
本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3=a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、(−a2b)3=−a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、(a−2)(a+2)=a2−4，原计算正确，故此选项符合题意，
故选：D．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则，平方差公式计算后，得出结果，作出判断．
此题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟知公式和运算法则．
5.【答案】C
【解析】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：C．
根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
6.【答案】B
【解析】解：A.AB=BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B.AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C.AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D.AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
根据矩形的判定进行分析即可．
本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．7.【答案】A
【解析】解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，
∴一周后每周生产1.5x万个口罩，
依题意，得：180−x
x =180−x
1.5x
+1．
故选：A．
由原计划每周生产的口罩只数结合一周后提高的速度，可得出一周后每周生产1.5x万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前一周完成任务(第一周按原工作效率)，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接OC，如图，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA⊥BC，
∴CE=BE，
OC，CE=√3OE，
在Rt△COE中，OE=1
2
∵OE=OA−AE=OC−1，
OC，
∴OC−1=1
2
∴OC=2，
∴OE=1，
∴CE=√3，
∴BC=2CE=2√3．
故选：D．
OC=OC−1得连接OC，根据圆周角定理求得∠AOC=60°，在Rt△COE中可得OE=1
2
到OC=2，从而得到CE=√3，然后根据垂径定理得到BC的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
9.【答案】B
【解析】解：根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：2n(1+n)，若2n(1+n)=396，解得n不为正整数，舍去；下左三角形的数据的规律为：n2−1，若n2−1=396，解得n不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：2n−1，若2n−1=396，解得n不为正整数，舍去；下右三角形的数据的规律为：n(n+4)，若n(n+4)=396，解得n=18，或n=−22，
舍去
故选：B．
观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得n为正整数即成立，否则舍去．
本题考查了图形有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键
10.【答案】B
【解析】解：根据对称性可知，反比例函数y=k1
x
，
y=k2
x
的图象是中心对称图形，菱形是中心对称
图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点
O，OD⊥OC，
如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N.连接OD，
OC．
∵DO⊥OC，
∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，
∴∠COM=∠ODN，
∵∠CMO=∠DNO=90°，
∴△COM∽△ODN，
∴S△COM
S△ODN =(CO
OD
)2=
1
2
|k2|
1
2
|k1|
=|k2|
|k1|
，
∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD=120°，∴∠OCD=60°，∠COD=90°，
∴tan60°=DO
CO
=√3，
∴CO
DO =√3
3
，
∴(CO
OD )2=|k2|
|k1|
=(√3
3
)2=1
3
，
∴|k1
k2
|=3．故选：B．
据对称性可知，反比例函数y=k1
x ，y=k2
x
的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图
形，推出菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O.如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥
x轴于N.连接OD，OC.证明△COM∽△ODN，利用相似三角形的性质可得答案．
本题考查菱形的性质、反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】7
【解析】解：∵x+2y=3，
∴2(x+2y)=2x+4y=2×3=6，
∴1+2x+4y=1+6=7，
故答案为：7．
由x+2y=3可得到2x+4y=6，然后整体代入1+2x+4y计算即可．
本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键．
12.【答案】19
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，
∴AC=2AE=6，AD=DC，
∵AB+BD+AD=13，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19．
故答案为：19．
由线段的垂直平分线的性质可得AC=2AE，AD=DC，从而可得答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．13.【答案】1800人
【解析】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的22%，∴样本容量为：44÷22%=200(人)，
×100%=60%，
∴赞成方案B的人数占比为：120
200
∴该校学生赞成方案B的人数为：3000×60%=1800(人)，
故答案为：1800人．
根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的22%，可得出样本容量，即可得到赞成方案B的人数占比，用样本估计总体即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
14.【答案】−13
【解析】解：∵m∗n=(m+2)2−2n，
∴2∗a=(2+2)2−2a=16−2a，4∗(−3)=(4+2)2−2×(−3)=42，
∵2∗a=4∗(−3)，
∴16−2a=42，
解得a=−13，
故答案为：−13．
根据给出的新定义分别求出2∗a与4∗(−3)的值，根据2∗a=4∗(−3)得出关于a的一元一次方程，求解即可．
本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2=π−1，
∵BC为直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
故CD=DB=DA，
∴D点为BC⏜中点，由对称性可知CD⏜与弦CD围成的面积与S3相等．
设AC=BC=x，
则S扇ACB−S3−S4=S1+S2，
其中S
扇ACB =90⋅π⋅x2
360
=πx2
4
，
S4=S△ACB−S△BCD−S3=1
2⋅x2−1
2
⋅x⋅x
2
−S3=x2
4
−S3，
故：πx2
4−S3−(x2
4
−S3)=π−1，
求解得：x1=2，x2=−2(舍去)故答案：2．
本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．
本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解．16.【答案】12
【解析】解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，
∵△CDE和△ABC是等边三角形，
∴CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
在△ECB和△DCA中，{CE=CD
∠ECB=∠DCA CB=CA
，
∴△ECB≌△DCA(SAS)，
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴在△BDE中，BD−DE<BE<BD+DE，
即8−6<BE<8+6，
∴2<BE<14，
∴2<AD<14．
∴则AD的最大值与最小值的差为14−2=12．
故答案为：12．
以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题
关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．17.【答案】解：(1
2
)−1−|−2|+20200
=2−2+1
=1．
【解析】根据负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂分别计算出每一项，再计算即可．本题考查负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原式=1−a−b
a+2b ÷(a+b)(a−b)
(a+2b)2
=1−a−b
a+2b
⋅
(a+2b)2
(a+b)(a−b)
=1−a+2b a+b
=a+b−a−2b
a+b
=−b
a+b
，
当a=√3−3，b=3时，原式=
3−3+3
=−√3．
【解析】利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成−b
a+b
，再将a、b的值代入化简后的分式中即可得出结论．
本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：在Rt△ABC中，
∵cosα=AC
AB
，
∴AC=AB⋅cosα，
当α=50°时，AC=AB⋅cosα≈6×0.64≈3.84m；
当α=75°时，AC=AB⋅cosα≈6×0.26≈1.56m；
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56m～3.84m之间，
故当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子．
【解析】分别求出当α=50°时和当α=75°时梯子底端与墙面的距离AC的长度，再进行判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，求出人能够安全使用这架梯子时，梯子底端与墙面的安全距离的范围是解题的关键．
20.【答案】1
3
【解析】解：(1)P(小文诵读《长征》)=1
3
；
故答案为：1
3
；
(2)记《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》分别为A、B、C，
列表如下：
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小文和小明诵读同一种读本的有3种结果，
∴小文和小明诵读同一种读本的概率为3
9=1
3
．
(1)根据概率公式即可求解；
(2)根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解．
本题考查了用列表法或画树形图法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意可知，△=(−4)2−4×1×(−2k+8)≥0，
整理得：16+8k−32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
(2)由题意得：x13x2+x1x23=x1x2[(x1+x2)2−2x1x2]=24，
由韦达定理可知：x1+x2=4，x1x2=−2k+8，
故有：(−2k+8)[42−2(−2k+8)]=24，
整理得：k2−4k+3=0，
解得：k1=3，k2=1，
又由(1)中可知k≥2，
∴k的值为k=3．
故答案为：k=3．
【解析】(1)根据△≥0建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为x1x2[(x1+x2)2−2x1x2]=24，再结合韦达定理求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根．
22.【答案】解：(1)证明：连接OC，如下图所示：
∵CD为圆O的切线，∴∠OCD=90°，
∴∠D+∠OCD=180°，
∴OC//AD，
∴∠DAC=∠ACO，
又OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB．
(2)四边形EAOC为菱形，理由如下：
连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°，
又∠AEC+∠DEC=180°，
∴∠DEC=∠B，
又∠B+∠CAB=90°，
∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠CAB=∠DCE，
又∠CAB=∠CAE，
∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D，
∴△DCE∽△DAC，
设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x，
∴CD
AD =DE
CD
，∴CD2=AD⋅DE=3x2，
∴CD=√3x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=DC
AD =√3x
3x
=√3
3
，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE，
∴△OAE为等边三角形，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°，
∴△EOC为等边三角形，
∴EA=AO=OE=EC=CO，
即EA=AO=OC=CE，
∴四边形EAOC为菱形．
【解析】(1)连接OC，由切线的性质可知∠OCD+∠D=180°，进而得到OC//AD，得到∠DAC=∠ACO，再由OC=OA得到∠ACO=∠OAC，进而得到∠DAC=∠OAC即可证明；
(2)连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，先证明∠DCE=∠CAE，进而得到△DCE∽△DAC，再由AE=2DE结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO和△ECO均为等边三角形即可求解．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键．
23.【答案】y=2x+201≤x≤12
【解析】解：(1)根据题意，得y与x的解析式为：y=22+2(x−1)=2x+20(1≤x≤12)，
故答案为：y=2x+20，1≤x≤12；
(2)设当天的销售利润为w元，
则当1≤x≤6时，
w=(1200−800)(2x+20)=800x+8000，
∵800>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=6时，w最大值=800×6+8000=12800．
当6<x≤12时，
设m =kx +b ，将(6,800)和(10,1000)代入得：
{800=6k +b 1000=10k +b
， 解得：{k =50b =500
， ∴m 与x 的关系式为：m =50x +500，
∴w =[1200−(50x +500)]×(2x +20)
=−100x 2+400x +14000
=−100(x −2)2+14400．
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小，天数x 为整数， ∴当x =7时，w 有最大值，为11900元，
∵12800>11900，
∴当x =6时，w 最大，且w 最大值=12800元，
答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．
(3)由(2)可得，
1≤x ≤6时，800x +8000<10800，
解得：x <3.5
则第1−3天当天利润低于10800元，
当6<x ≤12时，−100(x −2)2+14400<10800，
解得x <−4(舍去)，或x >8，
∴第9−12天当天利润低于10800元，
故当天销售利润低于10800元的天数有7天．
(1)根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x 的取值范围要使实际问题有意义；
(2)求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可；
(3)根据(2)中的函数解析式列出不等式方程即可解答．
本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键在于理解题意、利用待定系数法确定函数的解析式并分类讨论．
24.【答案】AF =EF
【解析】解：(1)延长DF 到K 点，并使FK =DC ，连接KE ，如图
1所示，
∵△ABC≌△EBD ，
∴DE =AC ，BD =BC ，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠ADF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
∵FK+DF=DC+DF，
∴DK=CF，
在△ACF和△EDK中，{AC=ED
∠ACF=∠EDK CF=DK
，
∴△ACF≌△EDK(SAS)，
∴KE=AF，∠K=∠AFC，
又∠AFC=∠KFE，
∴∠K=∠KFE
∴KE=EF
∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF．
故答案为：AF=EF；
(2)仍旧成立，理由如下：
延长DF到K点，并使FK=DC，连接KE，如图2所示，设BD延长线DM交AE于M点，
∵△ABC≌△EBD，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，
∴∠MDF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠MDF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
∵FK+DF=DC+DF，∴DK=CF，
在△ACF和△EDK中，{AC=ED
∠ACF=∠EDK CF=DK
，
∴△ACF≌△EDK(SAS)，
∴KE=AF，∠K=∠AFC，
又∠AFC=∠KFE，
∴∠K=∠KFE，
∴KE=EF，
∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF．
(3)如图3所示，延长DF到K点，并使FK=DC，连接KE，过点E
作EG⊥BC交CB的延长线于G，
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠BAE=∠EBG，
∴∠BEA=∠EBG，
∴AE//CG，
∴∠AEG+∠G=180°，
∴∠AEG=90°，
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，
∴四边形AEGC为矩形，
∴AC=EG，且AB=BE，
∴Rt△ACB≌Rt△EGB(HL)，
∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，
又∵ED=AC=EG，且EB=EB，
∴Rt△EDB≌Rt△EGB(HL)，
∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，
∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，
∴∠BAC=30°，
∴在Rt△ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB=2BC=12．
(1)延长DF 到K 点，并使FK =DC ，连接KE ，证明△ACF≌△EDK ，进而得到△KEF 为等腰三角形，即可证明AF =KE =EF ；
(2)证明原理同(1)，延长DF 到K 点，并使FK =DC ，连接KE ，证明△ACF≌△EDK ，进而得到△KEF 为等腰三角形，即可证明AF =KE =EF ；
(3)补充完整图后证明四边形AEGC 为矩形，进而得到∠ABC =∠ABE =∠EBG =60°即可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF 到K 点并使FK =DC ，进而构造全等三角形．
25.
【答案】(1)把点A(−1,0)，C(0,3)代入y =ax 2−2ax +c 中，{a +2a +c =0c =3
， 解得{a =−1c =3
， ∴y =−x 2+2x +3，
当x =−b 2a =1时，y =4，
∴D(1,4)；
(2)如图1，∵抛物线y =−x 2+2x +3，
令y =0，
∴x =−1，或x =3，
∴B(3,0)．
设BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，
将点C(0,3)，B(3,0)代入，得{b =33k +b =0
， 解得{k =−1b =3
， ∴y =−x +3．
∵EF ⊥CB ．
设直线EF 的解析式为y =x +b ，设点E 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，
将点E 坐标代入y =x +b 中，得b =−m 2+m +3，
∴y =x −m 2+m +3{y =−x +3y =x −m 2+m +3
． ∴{x =
m 2−m 2y =
−m 2+m+62． ∴F(m 2−m 2,−m 2+m+62)．
把x =m 代入y =−x +3，得y =−m +3，
∴G(m,−m +3)．
∵BG =CF ．
∴BG 2=CF 2，即(m −3)2+(3−m)2=(m 2−m 2)2+(m 2−m 2)2． 解得m =2或m =−3． ∵点E 是BC 上方抛物线上的点，
∴m =−3，舍去．
∴点E(2,3)，F(1,2)，G(2,1)，EF =√12+12=√2FG =√12+12=√2，
∴S △EFG =12×√2×√2=1；
(3)如图2，过点A 作AN ⊥HB ，
∵点D(1,4)，B(3,0)，
∴y DB =−2x +6．
∵点A(−1,0)，点C(0,3)，
∴y AC =3x +3{y =x +3y =−2x +6
， ∴{x =35
y =245
，
∴H(35,24
5
)． 设y AN =12x +b ，把(−1,0)代入，得b =12，
∴y =12x +12{y =12x +12y =−2x +6， ∴{x =11
5y =85
， ∴N(115,8
5
)， ∴AN 2=(115+1)2+(85)2=(165)2+(85)2HN 2=(85)2+(165)2，
∴AN =HN ．
∴∠H =45°．
设点p(n,−n 2+2n +3)．
过点P 作PR ⊥x 轴于点R ，在x 轴上作点S 使得RS =PR ，
∴∠RSP =45°且点S 的坐标为(−n 2+3n +3,0)．
若∠OPB=∠AHB=45°
在△OPS和△OPB中，∠POS=∠POB，∠OSP=∠OPB，∴△OPS∽△OPB．
∴OP
OB =OS
OP
．
∴OP2=OB⋅OS．
∴n2+(n+1)2(n−3)2=3⋅(−n2+2n+3)．∴n=0或n=1±√5
2
．
∴P1(0,3)，P2(1+√5
2,5+√5
2
)，P3(1−√5
2
,5−√5
2
)．
【解析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；(2)先求出BC的解析式y=−x+3，再设直线EF的解析式为y=x+b，设点E的坐标为(m,−m2+2m+3)，联立方程求出点F，G的坐标，根据BG2=CF2列出关于m的
方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
(3)过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到∠H=45°，设点p(n,−n2+2n+3)，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明△OPS∽△OPB，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得
到点P的坐标．
本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．。