高考物理万有引力与航天及其解题技巧及练习题(含答案)

高考物理万有引力与航天及其解题技巧及练习题
(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1． 以下列图，
A 是地球的同步卫星，另一卫星
B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度
为 h.已知地球半径为
R ，地球自转角速度为
ω0，地球表面的重力加速度为
g ，O 为地球中
心．
(1)求卫星
B 的运行周期．
(2)如卫星
B 绕行方向与地球自转方向相同，某时辰
A 、
B 两卫星相距近来
(O 、B 、 A 在同一
直线上
)，则最少经过多长时间，它们再一次相距近来？
(R + h) 3
t
2
【答案】 (1) T B = 2p
(2)
gR
2
gR 2
( R
h)3
【解析】
【详解】
Mm m 4 2
R h ① ， G
Mm
（1）由万有引力定律和向心力公式得
G
2 2 mg ②
R h
T B R 2
R
3
联立①②解得 ： T B h
③ 2
R 2 g
（2）由题意得
0 t 2 ④ ，由③得
B
gR 2 ⑤
B
R
3
h
t
2
R 2
g
代入④得
3
R h
2． 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，平时可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已察看到牢固的三星系统存在两种基本的组成形式：一种是三颗星位
于同素来线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三
角形的三个极点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个
星体
的质量均为 m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G ， 则 :
（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少
?
（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
L33Gm
【答案】（ 1）4（ 2）3
5Gm L
【解析】
【解析】
（1）两侧的星由别的两个星的万有引力的合力供应向心力，列式求解周期；
（2）对于任意一个星体，由别的两个星体的万有引力的合力供应向心力，列式求解角速度；
【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其他两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
Gm2 (2 L)2Gm2
L2
m( 2
T
2) L
L3
T 4
5Gm
（2）三角形三星系统中星体受别的两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗
Gm2L
星，满足：
2m (2
)
2 cos30
cos30 L
解得：
=3Gm L3
3．某星球半径为R 6 106m，假设该星球表面上有一倾角为30 的固定斜面体，一质量为 m 1kg 的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力 F 向来与斜面平
行，如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数3
，力F随位移 x 变化的规律3
如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）．已知小物块运动12m时速度恰好为零，万有引力常量 G 6.6710 11 N?m 2 /kg 2，求（计算结果均保留一位有效数字）
（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小；
（2）该星球的平均密度．
【答案】g 6m / s2，
【解析】
【解析】
【详解】
（1）对物块受力解析以下列图；
假设该星球表面的重力加速度为g，依照动能定理，小物块在力F1作用过程中有：
F1s1fs1mgs1 sin1m v20
2
N mgcos
f N
小物块在力 F2作用过程中有：
F2s2fs2mgs2 sin0 1 mv2
2
由题图可知： F1 15N， s16?m； F23?N， s2 6?m
整理可以获取：
(2)依照万有引力等于重力：，则：
，，
代入数据得
4．设地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布平均的球体，不考虑空气的影响．若把一质量为m 的物体放在地球表面的不相同地址，由于地球自转，它对地面的压力会有所不相同．
（1）若把物体放在北极的地表，求该物体对地表压力的大小F1；
（2）若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2；
（3）假设要发射一颗卫星，要求卫星定位于第（2）问所述物体的上方，且与物体间距离向来不变，请说明该卫星的轨道特点并求出卫星距地面的高度h．
GMm
（ 2）F2G Mm 4 23GMT2
【答案】（ 1）
R 2
R
2m2 R （3）h
4 2
R
T
【解析】
【详解】
(1) 物体放在北极的地表，依照万有引力等于重力可得：
G Mm mg
R2
物体相对地心是静止的则有：F1mg ，因此有： F1G Mm
R2
(2)放在赤道表面的物体相对地心做圆周运动，依照牛顿第二定律：
G Mm
F2m
4 2
R 22
R T
解得：
F2
Mm 4 2
R G2m2
R T
(3)为满足题目要求，该卫星的轨道平面必定在赤道平面内，且做圆周运动的周期等于地球自转周期 T
Mm 4 2
以卫星为研究对象，依照牛顿第二定律：G2m 2 (R h)
( R h)T
解得卫星距地面的高度为：h3GMT 2
R 42
5．在月球表面上沿竖直方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布平均。

求：
(1)月球的密度；
(2)月球的第一宇宙速度。

【答案】（ 1）
3v0（ 2）v2v0R
RGt t
2
【解析】
【详解】
(1) 依照竖直上抛运动的特点可知：v01
gt 0 2
2v0
因此： g=
t
GMm
设月球的半径为R,月球的质量为M, 则：mg
体积与质量的关系：M V 4
R3·3
联立得：
3v
2RGt
（2）由万有引力供应向心力得GMm m v2
R2R
解得 ; v2v0 R
t
综上所述本题答案是：（
3v02v0 R 1）（ 2）v
2 RGt t
【点睛】
会利用万有引力定律供应向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于
6．利用万有引力定律可以测量天体的质量．
（1）测地球的质量
v gR 。

英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量
的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为 R，引力常量为G．若忽略地球自转的影响，求地球的质量．
（2）测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星
球 A 和 B，以下列图．已知A、 B 间距离为L， A、 B 绕 O 点运动的周期均为T，引力常量为G，求 A、 B 的总质量．
（3）测月球的质量
若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看作“双星系统”．已知月球的公转周期为T1，
月球、地球球心间的距离为L
1．你还可以利用（1）、（ 2）中供应的信息，求月球的质
量．
【答案】（ 1）gR
2
；（2） 4 2L3；（3）
4
2 L13gR2．
G GT 2GT12G
【解析】
【详解】
（1）设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有
G Mm
mg 解得： M =
gR 2
；
R 2
G
（ 2）设 A 的质量为 M 1，A 到 O 的距离为 r 1，设 B 的质量为 M 2 ，B 到 O 的距离为 r 2，依照
万有引力供应向心力公式得：
G M 1M 2 M 1 ( 2
)2
r 1 ，
L 2
T G
M 1
M
2
M 2 ( 2
) 2
r 2 ，
L 2
T 又由于 L=r 1 +r 2
解得：
M 1
M 2 4 2L 3；
GT 2
（3）设月球质量为
M 3，由（ 2）可知， M 3
4 2L 13
M
GT 12
由（ 1）可知， M =
gR 2
G
解得： M 3
4 2 L 13
gR 2
GT 12 G
7． 在物理学中，常常用等效取代、类比、渺小量放大等方法来研究问题．如在牛顿发现万 有引力定律一百多年后，卡文迪许利用渺小量放大法由实验测出了万有引力常量
G 的数
值，以下列图是卡文迪许扭秤实验表示图．卡文迪许的实验常被称为是
“称量地球质量 ”的
实验，由于由 G 的数值及其他已知量，即可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人．
（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为
m 1、 m 2 相距为 r 的两个小球之间引力的
大小为 F ，求万有引力常量 G ；
（ 2）若已知地球半径为 R ，地球表面重力加速度为 g ，万有引力常量为 G ，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．
【答案】（ 1）万有引力常量为 G
Fr 2
．
m 1m 2
（2）地球质量为
R 2 g
，地球平均密度的表达式为
3g
G
4 RG
【解析】
【解析】
m 1m 2
依照万有引力定律
F G
r 2
，化简可得万有引力常量 G ；
Mm
在地球表面周边的物体碰到重力等于万有引力 G R 2
mg ，可以解得地球的质量
M ，地
球的体积为 V
4 R 3
，依照密度的定义 M
，代入数据可以计算出地球平均密度．
3
V
【详解】
（1）依照万有引力定律有：
m 1m 2
F
G
r 2
解得：
Fr 2 G
m 1m 2
（2）设地球质量为 M ，在地球表面任一物体质量为 m ，在地球表面周边满足：
得地球的质量为：
M
Mm
G
R
2
mg
R 2 g
G
地球的体积为： V
4
R 3
3
解得地球的密度为：
3g 4 RG
Fr 2
答：（ 1）万有引力常量为 G
．
m 1m 2
（2）地球质量 R 2 g
3g M
，地球平均密度的表达式为
．
G
4 RG
8． 假设月球半径为 R ，月球表面的重力加速度为
g 0,以下列图， “嫦娥三号 ”飞船沿距月球表
面高度为 3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的 A 点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道
Ⅱ的近月点 B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动
.
(1)飞船在 A 点点火前的动能是 E k1 ，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ在
A 点的动能是 E k 2 ，试比
较 E k 1 和 E k2 的大小；
(2)求飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比； (3)求飞船在轨道Ⅰ绕月球运动一周所需的时间．
【答案】 （1） E k
E k
（ 2）2： 1 （ 3） 16
R
2
1
g 0
【解析】
【解析】
【详解】
（1）飞船在 A 点处点火时，是经过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，
因此点火刹时是动能减小的，故E k 1
E k 2 ；
（2）飞船在轨道Ⅲ、轨道Ⅰ都做匀速圆周运动，依照万有引力供应向心力得：
Mm v 2
G
m
r 2
r 解得： v
GM
r
故飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比为 v 3 r 1 4R 2
v 1
r 3
R
1
（3）飞船在轨道Ⅰ绕月球运动，依照万有引力供应向心力得：
G Mm
m 4 2
r
2
T 2
r
解得： T
r 3
2
GM
在月球表面有 ： G
Mm
mg 0 ，解得： g
GM
R 2
R 2
4R 3
R
故周期为
T 2
g 0 R 2
16
g 0
【点睛】
卫星变轨也就是近心运动或离心运动，依照供应的万有引力和所需的向心力关系确定 ，在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力供应向心力，联立方程即可求解相
应的物理量．
9． 航天专家叶建培表露，中国将在
2020 年发射火星探测器，次年登陆火星．中国火星探
测系统由围绕器和着陆巡视器组成．围绕器围绕火星的运动可看作匀速圆周运动，它距火星表面的高度为 h ，火星半径为 R ，引力常量为 G ．
（ 1）着陆巡视器的主要功能为实现在火星表面睁开巡视和科学研究．着陆巡视器第一次落
到火星时以 v
0 的速度竖直弹起后经过 t 0 时间再次落回火星表面．求火星的密度．
（ 2） “围绕器 ”绕火星运动的周期 T ．
【答案】 （1）
3v 0
（ 2） 2 ( R h) ( R h)t 0
R
2v 0
2 RGt 0
【解析】
g
v 0 2v 0
（1）依照竖直上抛运动的基本规律可知，火星表面重力加速度
t 0 t 0
；
2
依照火星表面万有引力等于重力得
G Mm '
m ' g ② ，
R 2
M M
3v 0
火星密度
V
4
③，由①②③解得
R 3
2 ；
3
RGt 0
（2）依照万有引力供应向心力公式得：
G Mm
m 4 2 (R
h)
(R h)2 T 2
解得： T
2
(R h)3 2 (R h)
(R h)t 0 ．
gR 2
R
2v 0
10． 以下列图，为发射卫星的轨道表示图．先将卫星发射到半径为 r 的圆轨道上，卫星做
匀速圆周运动．当卫星运动到
A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道．沿椭圆轨道运动到远地
点 B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为
3r 0 的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星
在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的
A 点时的速度大
小为 v ，卫星的质量为
m ，地球的质量为 M ，万有引力常量为 G ，则：
(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大
?
(2)卫星在 B 点变速时增加了多少动能 ?
【答案】（ 1）
GM ， GM （2）
GMm
mv 2
r 0
3r 0 6r 0
18
【解析】
【解析】
【详解】
（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力供应向心力，得：G Mm m v2，
r 2r
当 r=r0时， v1=GM
，r0
当 r=3r0时， v2=GM
，3r0
（2）设卫星在椭圆轨道远地址 B 的速度为v B，据题意有： r0v=3r0v B
B E k1212
卫星在点变速时增加的动能为△=2mv22mv B，
GMm mv2
联立解得：△ E k=
6r018。