黑龙江省大庆一中高一上学期期末数学试卷

2017-2018学年黑龙江省大庆一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（12×5分）
1．（5分）下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等
B．模为0的向量与任意向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．任一向量与它的相反向量不相等
2．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2]C．[1，2） D．（1，2]
3．（5分）已知函数f（x）=2x+x+1，g（x）=log2x+x+1，h（x）=log2x﹣1的零点依次为a，b，c，则（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
4．（5分）如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2
5．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=21﹣x在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A．B．C．
D．
6．（5分）已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
7．（5分）若sinα+cosα=，则cos（2α+）等于（）
A．﹣B．C．﹣ D．
8．（5分）已知函数f（x）=1﹣sinx+，则的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．
9．（5分）已知函数的图象如图
所示，若将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（）
A．B．
C．D．
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=（）A．4 B．3 C．2 D．1
11．（5分）已知函数，若不等式f（x）≤m在
上有解，则实数m的最小值为（）
A．5 B．﹣5 C．11 D．﹣11
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）
二．填空题（4×5分）
13．（5分）向量=（x，1），=（9，x），若与共线且方向相反，则x=．14．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，tanβ=，则α+2β=．15．（5分）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值是．
16．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值范围为．
三．解答题（写出规范的解题步骤）
17．（10分）设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）．
（1）若=，求D点的坐标；
（2）设向量=，=，若k﹣与+3平行，求实数k的值．
18．（12分）已知函数f（x）=tan（2x+），
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）设α∈（0，），若f（）=2cos 2α，求α的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），
（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
20．（12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．
（3）已知x=是函数h（x）=f（x）+λcos2x的一条对称轴，求λ的值．22．（12分）已知a，b∈R，a≠0，函数f（x）=﹣（sinx+cosx）+b，g（x）=asinx•cosx+++2．
（1）若x∈（0，π），f（x）=﹣+b，求sinx﹣cosx的值；
（2）若不等式f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．
2017-2018学年黑龙江省大庆一中高一（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（12×5分）
1．（5分）下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等
B．模为0的向量与任意向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．任一向量与它的相反向量不相等
【解答】解：在A中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A错误；
在B中，零向量与任意向量共线，故B正确；
在C中，平行向量一定是共线向量，故C正确；
在D中，零向量与它的相反向量相等，故D错误．
故选：C．
2．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2]C．[1，2） D．（1，2]
【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}
∴A∩B={x|1＜x≤2}
故选D．
3．（5分）已知函数f（x）=2x+x+1，g（x）=log2x+x+1，h（x）=log2x﹣1的零点依次为a，b，c，则（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解答】A解：令函数f（x）=2x+x+1=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x+1=0，则0＜x＜1，即0＜b＜1；
令h（x）=log2x﹣1=0，可知x=2，即c=2．显然a＜b＜c．
故选A．
4．（5分）如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵=+，
=
=（﹣）
=﹣
=×﹣
=﹣，
∴=+（﹣）
=+；
又=λ+μ，
∴λ=，μ=；
∴=×=3．
故选：B．
5．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=21﹣x在同一直角坐标系下的图象大致是
（）
A．B．C．
D．
【解答】解：函数f（x）=1+log2x的图象是增函数，过（1，1）点；排除A，g（x）=21﹣x=2•（）x，是减函数经过（0，2）点，排除B，D，
故选：C．
6．（5分）已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，∴P （2，3）．
若角α的终边经过点P，则x=2，y=3，r=|OP|=，
∴sinα==，cosα==，
∴sin2α﹣sin2α=﹣2 •=﹣，
故选C．
7．（5分）若sinα+cosα=，则cos（2α+）等于（）
A．﹣B．C．﹣ D．
【解答】解：∵sinα+cosα=，
∴．
∴cos（2α+）=，
∴cos（2α+）=．
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）=1﹣sinx+，则的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．
【解答】解：∵函数f（x）=1﹣sinx+，
∴=1﹣sin+log5+1﹣sin（﹣）+log5
=1﹣sin+log5+1+sin﹣log5
=2．
故选：C．
9．（5分）已知函数的图象如图
所示，若将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据余弦函数的图象的对称性求得：A=2，
根据余弦函数图象：，
解得：T=π．
利用周期公式：，
解得：ω=2．
根据函数的图象，当x=时，，
则：2•（k∈z），
解得：（k∈z）．
由于，
解得，
则：，
将函数f（x）的图象向左平移个单位，
得到：，
整理得：．
故选：A．
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=（）A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：由题意可得，函数f（x）是周期为4的偶函数，故：
f（2018）=f（2）=22﹣1=3，f（﹣2017）=f（2017）=f（﹣1）=f（1）=21﹣1=1，则：f（﹣2017）+f（2018）=1+3=4
故选：A．
11．（5分）已知函数，若不等式f（x）≤m在
上有解，则实数m的最小值为（）
A．5 B．﹣5 C．11 D．﹣11
【解答】解：函数
=4•+2sin2x+5=2sin2x﹣2cos2x+7=4（sin2x﹣cos2x）+7
=4sin（2x﹣）+7，
若不等式f（x）≤m在上有解，则2x﹣∈[﹣，]，sin（2x ﹣）∈[﹣，1]，f（x）∈[5，11]，
则实数m的最小值为5，
故选：A．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞
﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣
1，即＞0，
故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，
由不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|，可得f（log2|3x﹣1|）+log2|3x﹣1|＜2=f（1）+1，
∴log2|3x﹣1|＜1，故﹣2＜3x﹣1＜2，且3x﹣1≠0，求得3x＜3，且x≠0，
解得x＜1，且x≠0，
故选：D．
二．填空题（4×5分）
13．（5分）向量=（x，1），=（9，x），若与共线且方向相反，则x=﹣3．
【解答】解：∵，∴x2=9，
解得x=±3．
又∵与方向相反，
∴x=﹣3．
故答案为﹣3．
14．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，tanβ=，则α+2β=
．
【解答】解：α∈（0，），β∈（0，），
且tanα=＜1，tanβ=＜1，
∴α∈（0，），β∈（0，），
∴α+2β∈（0，），
又tan2β===，
∴tan（α+2β）===1，
∴α+2β=．
故答案为：．
15．（5分）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是
，则sin2θ﹣cos2θ的值是．
【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，
短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，
∵小正方形的面积是，
∴（cosθ﹣sinθ）2=，又θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cosθ＞s inθ．
∴cosθ﹣sinθ=．
又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=，
∴2cosθsinθ=．
∴1+2sinθcosθ=，即（cosθ+sinθ）2=．
∴cosθ+sinθ=．
∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣．
故答案为：．
16．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，
1﹣）上是增函数，则a的取值范围为[0，2] ．
【解答】解：由函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，可得函数y=x2﹣ax
﹣a能够取遍所有的正数，
故有△=a2+4a≥0，求得a≤﹣4，或a≥0 ①．
再根据f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，可得函数y=x2﹣ax﹣a在（﹣3，1﹣）上是减函数且为正值，
故≥1﹣，且当x=1﹣时y≥0．
即a≥2﹣2，且4﹣2﹣a（1﹣）﹣a≥0．
求得2﹣2≤a≤2 ②．
结合①②求得0≤a≤2，
故答案为：[0，2]．
三．解答题（写出规范的解题步骤）
17．（10分）设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）．
（1）若=，求D点的坐标；
（2）设向量=，=，若k﹣与+3平行，求实数k的值．
【解答】解：（1）设D（x，y），
∵A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）．
∴，即（2，﹣2）﹣（1，3）=（x，y）﹣（4，1），即（1，﹣5）=（x﹣4，y﹣1），
∴，解得x=5，y=﹣4，
∴D（5，﹣4）．
（2）∵==（1，﹣5），==（2，3），
∴=（k﹣2，﹣5k﹣3），
=（7，4），
∵k﹣与+3平行，
∴7（﹣5k﹣3）﹣4（k﹣2）=0，
解得k=﹣．
∴实数k的值为﹣．
18．（12分）已知函数f（x）=tan（2x+），
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）设α∈（0，），若f（）=2cos 2α，求α的大小．
【解答】解：（1）对于函数f（x）=tan（2x+），由2x+≠+kπ，k∈Z，得x≠+，k∈Z，
所以f（x）的定义域为{x∈R|x≠+，k∈Z}．
f（x）的最小正周期为．
（2）由f（）=2cos 2α，得tan（α+）=2cos 2α，即=2（cos2α﹣sin2α），
整理得=2（cos α+sin α）（cos α﹣sin α）．
因为α∈（0，），所以sin α+cos α≠0．
因此（cos α﹣sin α）2=，即sin 2α=．
由α∈（0，），得2α∈（0，），∴2α=，即α=．
19．（12分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），
（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．…（6分）
（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．
即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，
即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．…（6分）
20．（12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
【解答】解（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2；
当4＜x≤20时，设v=ax+b，
由已知得：，解得：，
所以v=﹣x+，
故函数v=；
（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，
依题意并由（1）可得f（x）=
当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；
当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，
f（x）max=f（10）=12.5．
所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
21．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，
求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．
（3）已知x=是函数h（x）=f（x）+λcos2x的一条对称轴，求λ的值．
【解答】解（1）由题意可得：函数f（x）=sin（ωx+φ）+﹣1=sin （ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣），
因为相邻量对称轴间的距离为，所以T=π，ω=2，
因为函数为奇函数，∴φ﹣=kπ，k∈Z，∴φ=，f（x）=2sin2x．
令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的减区
间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
再结合x∈（﹣，），可得函数的减区间为（﹣，﹣]．
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，可得y=2sin（2x ﹣）的图象，
再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x﹣）的图象．
当x∈[﹣，]时，4x﹣∈[﹣，]，故当4x﹣=﹣时，函数g （x）取得最小值为﹣2；
当4x﹣=时，函数g（x）取得最大值为，故函数g（x）的值域为[﹣2，
]．
（3）已知x=是函数h（x）=f（x）+λcos2x=2sin2x+λcos2x=
（sin2x+cos2x）=sin（2x+θ）的一条对称轴，求λ的值
∴sin==，cos==，求得λ2=，且λ＞0，∴λ=．
22．（12分）已知a，b∈R，a≠0，函数f（x）=﹣（sinx+cosx）+b，g（x）=asinx•cosx+++2．
（1）若x∈（0，π），f（x）=﹣+b，求sinx﹣cosx的值；
（2）若不等式f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．
【解答】解：（1）依题意得sinx+cosx=，
∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=，即2sinxcosx=﹣，…（1分）
∴1﹣2sinxcosx=，
即sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=（sinx﹣cosx）2=，…（2分）
由2sinxcosx=﹣＜0，x∈（0，π），得x∈（，π），…（3分）
∴sinx＞0，cosx＜0，∴sinx﹣cosx＞0，
∴sinx﹣cosx=．…（4分）
（2）不等式f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，
即不等式b≤asinx•cosx+（sinx+cosx）++2对任意x∈R恒成立，
即b≤[asinxcosx+（sinx+cosx）+]min，…（5分）
下求函数y=asinx•cosx+的最小值，
令t=sinx+cosx，
则t=，且sinxcosx=，…（6分）
令m（t）=y=asinxcosx+，
==，
==，（a≠0），…（7分）
1°当﹣，即0＜a＜1时，m（t）在区间[﹣]上单调递增，
∴m（t）min=m（﹣）=a+．…（8分）
2°当﹣＜0，即a≥1时，m（t）min=m（﹣）=2．…（9分）
3°当0＜﹣，即a≤﹣1时，m（t）min=m（﹣）=a+．…（10分）4°当﹣，即﹣1＜a＜0时，m（t）min=m（﹣）=a+．…（11分）
∴y min=，
所以当a≥1时，b≤2；当a＜0或0＜a＜1时，b≤．…（12分）。