1.1.1变化率问题 (第一课时)

r
3
3v 4
平均膨胀率
在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在0s到0.5s内的
r ( v2 ) r ( v1 ) ( dm / l ) v2 v1
h(0.5) h(0) v 4.05(m / s) 0.5 0
平均速度
一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的

3、变式:
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
题型一：求函数的平均变化率
例1： 若自变量x的增量为Δx，求下列函数的 增量Δy. (1)y＝ax＋b； (2)y＝ln x.
例2：(1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2)求函数f (x) = x2 在x=x0附近的平均变 化率。
65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) ， 49 所以， h
当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62 dm / L . 1 0 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16 dm / L . 2 1 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了.
1.1.1. 《变化率问题》
创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在 数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分， 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解
y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 从数学 的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
如果把半径r表示为体积V的函数, 那么 3 V r V 3 . 4
导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、 变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另 一个变量变化的快慢程度．
学习目标
1、理解平均变化率的概念; 2、会求函数在某一区间上的平均变化率； 3、会求函数在某点处附近的平均变化率。
问题一：气球膨胀率
思考 当空气的容量从 V1增加到V2时, 气球的平 均膨胀率是多少 ? r r V2 r V1 V V2 V1
问题二：高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s 存在函数关系 ht 4.9t 2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
平均变化率
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
平均变化率定义:
f(x2 ) f ( x1 ) 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
65 h( ) h(0) 49 v 0( s / m) 65 0 49
65 0t 49
O t 65 65
98 49
t
虽然运动员在 这段时间里的平均 速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然 运动，并非静止，可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态．
在例1中：对于函数 当空气容量从V1增加到V2时, 气球的