2018年四川省内江市高考数学三模试卷(文科)

2018年四川省内江市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知全集[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error] [Math Processing Error]
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
2. 已知向量[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，若[Math Processing Error]，则[Math Processing Error] [Math Processing Error]
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
3. 若复数[Math Processing Error]满足[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]的共轭复数是（）
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
4. 随着经济水平及个人消费能力提升，我国居民对精神层面的追求愈加迫切，如图是[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出同比增速的折线图，图中显示[Math Processing Error]年的同比增速约为[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]年与[Math Processing Error]年同时期比较[Math Processing Error]年的人均消费支出费用是[Math Processing Error]年的[Math Processing Error]倍．则下列表述中正确的是（）
A.[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用逐年增加
B.[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，同比增速的中位数约为[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用最高
D.[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，同比增速的极差约为[Math Processing Error]
5. 某商场在[Math Processing Error]年[Math Processing Error]月[Math Processing Error]日举行特大优惠活动，凡购买商品达到[Math Processing Error]元者，可获得一次抽奖机会，抽奖工具是一个圆面转盘，被分为[Math Processing Error]个扇形块，其面积依次成公比为[Math Processing Error]的等比数列，指针箭头落在面积最小区域时，就中一等奖，则一位消费者购买商品达到[Math Processing Error]元能抽中一等奖的概率是（）
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为[Math Processing Error]，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
7. 我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式[Math Processing Error]的值的秦九韶算法，即将[Math Processing Error]改写成如下形式：[Math Processing Error]，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这种算法至今仍是比较先进的算法．将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（）
A.[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]
8. 已知函数[Math Processing Error]，若[Math Processing Error]，则[Math Processing Error] [Math Processing Error]
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
9. 已知等比数列[Math Processing Error]的各项均为正数，若[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]的最小值为（）
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
10. 直线[Math Processing Error]经过抛物线[Math Processing Error]的焦点[Math Processing Error]，交抛物线于[Math Processing Error]，[Math Processing Error]两点，过[Math Processing Error]，[Math Processing Error]作抛物线的准线的垂线，垂足分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，若直线[Math Processing Error]的斜率是[Math Processing Error]，则直线[Math Processing Error]的斜率为（）
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
11. 如图，正方体[Math Processing Error]的棱长为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]是棱[Math Processing Error]的中点，[Math Processing Error]是侧面[Math Processing Error]内一点，若[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]长度的范围为（）
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
12. 已知函数[Math Processing Error]有[Math Processing Error]个零点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则（）
A.[Math Processing Error]
B.[Math Processing Error]
C.[Math Processing Error]
D.[Math Processing Error]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知[Math Processing Error]是等差数列，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]的前[Math Processing Error]项和为________．
14. 求[Math Processing Error]在点[Math Processing Error]处的切线方程________．
15. 设[Math Processing Error]是椭圆[Math Processing Error]第一象限弧上任意一点，过[Math Processing Error]作[Math Processing Error]轴的平行线与[Math Processing Error]轴和直线[Math Processing Error]分别交于点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，过[Math Processing Error]作[Math Processing Error]轴的平行线与[Math Processing Error]轴和直线[Math Processing Error]分别交于点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，设[Math Processing Error]为坐标原点，则[Math Processing Error]和[Math Processing Error]的面积之和为________．
16. 在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]
，
[Math Processing Error]是边[Math Processing Error]的中点．若[Math Processing Error]是线段[Math Processing Error]的中点，则[Math Processing Error]________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. [Math Processing Error]的内角[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的对
边分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，已知[Math Processing Error]．
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]求[Math Processing Error]；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]若[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的面积为[Math Processing Error]，求[Math Processing Error]．
18. 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取[Math Processing Error]天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：
Error]精确到[Math Processing Error]，若某天的气温为[Math Processing Error]，预测这天热奶茶的销售杯数；[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]从表中的[Math Processing Error]天中任取两天，求所选取两天
中至少有一天热奶茶销售杯数大于[Math Processing Error]的概率．
参考数据：[Math Processing Error]，[Math Processing Error]．
参考公式：[Math Processing Error]，[Math Processing Error]．
19. 如图，四棱锥中[Math Processing Error]，底面[Math Processing Error]为直角梯形，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]．
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]证明：平面[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]；[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]若[Math Processing Error]是面积为[Math Processing Error]的等
边三角形，求四棱锥[Math Processing Error]的体积．20. 设[Math Processing Error]为坐标原点，已知抛物线[Math Processing Error]的焦点为[Math Processing Error]，过点[Math Processing Error]的直线[Math Processing Error]交抛物线[Math Processing Error]于[Math Processing Error]，[Math Processing Error]两点．
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]当直线[Math Processing Error]经过点[Math Processing Error]时，求[Math Processing Error]的值；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]过点[Math Processing Error]作不经过原点的两条直线[Math Processing Error]，[Math Processing Error]分别与抛物线[Math Processing Error]和圆[Math Processing Error]：[Math Processing Error]相切于点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，求证：[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]三点共线．
21. 已知函数[Math Processing Error]，其中[Math Processing Error]为自然对数的底数．
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]讨论函数[Math Processing Error]的单调性；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]设[Math Processing Error]，证明：函数[Math Processing Error]
有两个零点[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]
22. 在直角坐标系[Math Processing Error]中，直线[Math Processing Error]过点[Math Processing Error]，倾斜角为[Math Processing Error]．以坐标原点[Math Processing Error]为极点，[Math Processing Error]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线[Math Processing Error]的极坐标方程为[Math Processing Error]，直线[Math Processing Error]与曲线[Math Processing Error]交于[Math Processing Error]，[Math Processing Error]两点．
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]求直线[Math Processing Error]的参数方程（设参数为[Math Processing Error]）和曲线[Math Processing Error]的普通方程；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]求[Math Processing Error]的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 设函数[Math Processing Error]
[Math Processing Error]当[Math Processing Error]时，求[Math Processing Error]的解集；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]证明：[Math Processing Error]．
参考答案与试题解析
2018年四川省内江市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.
【答案】
D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先求出[Math Processing Error]，由此能求出[Math Processing Error]．
【解答】
∵全集[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]．
2.
【答案】
C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解．
【解答】
∵ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，即[Math Processing Error]
3.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
由[Math Processing Error]，得[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]．
4.
【答案】
B
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
由[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出同比增速的折线图，知：我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用在[Math Processing Error]年减少；[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，同比增速的中位数约为[Math Processing Error]；[Math Processing Error]年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用最高；[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，同比增速的极差约为[Math Processing Error]．
【解答】
由[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出同比增速
的折线图，知：
在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用在[Math Processing Error]年减少，故[Math Processing Error]错误；
在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，同比增速的中位数约为[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]正确；
在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用最高，故[Math Processing Error]错误；
在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]年到[Math Processing Error]年，同比增速的极差约为[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]错误．
5.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
根据等比数列的求和公式求出最小区域的面积与总面积的比例，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】
圆面转盘，被分为[Math Processing Error]个扇形块，其面积依次成公比为[Math Processing Error]的等比数列，
则设圆的总面积为[Math Processing Error]，最小区域的面积为[Math Processing Error]，
则[Math Processing Error]，
即[Math Processing Error]，
则[Math Processing Error]，
即一位消费者购买商品达到[Math Processing Error]元能抽中一等奖的概率是[Math Processing Error]，
6.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果．
【解答】
根据三视图，该几何体是由一个圆锥和半个球体构成，
半球的求半径为[Math Processing Error]，圆锥的底面半径为[Math Processing Error]，高为（4）
所以：[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]．
7.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
本题考查程序框图．
【解答】
解：秦九韶算法的过程是
[Math Processing Error]（[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]），
这个过程利用循环结构来实现，
所以要在空白的执行框内填入[Math Processing Error]．
故选[Math Processing Error]．
8.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
根据分段函数[Math Processing Error]，可求出[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，从而得出[Math Processing Error]，从而求出[Math Processing Error]，进而得出[Math Processing Error]．
【解答】
[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]；
[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]；
∴由[Math Processing Error]得，[Math Processing Error]；
∴ [Math Processing Error]；
∴ [Math Processing Error]．
9.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
由等比数列[Math Processing Error]的各项均为正数，[Math Processing Error]，可得[Math Processing Error]，再利用基本不等式的性质即可得出答案．
【解答】
由等比数列[Math Processing Error]的各项均为正数，[Math Processing Error]，
得[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]．
∴ [Math Processing Error]，
当且仅当[Math Processing Error]时取等号．
∴ [Math Processing Error]的最小值为[Math Processing Error]．
10. 【答案】
A
【考点】
抛物线的求解
【解析】
设出[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的坐标，表示出[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的坐标，求出[Math Processing Error]的坐标，求出直线[Math Processing Error]的斜率，从而求出[Math Processing Error]的纵坐标，求出[Math Processing Error]的斜率即可．
【解答】
如图示：
，
由[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，
设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
则[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
由[Math Processing Error]，解得：[Math Processing Error]，
故[Math Processing Error]，
由[Math Processing Error]，得[Math Processing Error]，
故[Math Processing Error]，①而[Math Processing Error]②，
联立①②解得：[Math Processing Error]，
故[Math Processing Error]，
11.
【答案】
C
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
过[Math Processing Error]作出与平面[Math Processing Error]平行的截面，得出[Math Processing Error]的轨迹，
从而得出[Math Processing Error]的长度范围．
【解答】
取[Math Processing Error]的中点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的中点[Math Processing Error]，连结[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
则[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴平面[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，
∴当[Math Processing Error]在线段[Math Processing Error]上时，[Math Processing Error]始终与平面[Math
Processing Error]平行，
故[Math Processing Error]的最小值为[Math Processing Error]，最大值为[Math Processing Error]．12.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
根据函数的对称性即可得出结论．
【解答】
[Math Processing Error]，
令[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
显然以上三个函数均关于点[Math Processing Error]对称，
∴ [Math Processing Error]的图象关于点[Math Processing Error]对称，
∴ [Math Processing Error]的两个零点关于点[Math Processing Error]对称，
∴ [Math Processing Error]
故选：[Math Processing Error]．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
【答案】
[Math Processing Error]
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由已知结合等差数列的前[Math Processing Error]项和公式求解．
【解答】
在等差数列[Math Processing Error]中，由[Math Processing Error]，
得[Math Processing Error]．
14.
【答案】
[Math Processing Error]
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
运用求导公式计算[Math Processing Error]时的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程．
【解答】
[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]
又当[Math Processing Error]时[Math Processing Error]
∴切线方程为[Math Processing Error]
15.
【答案】
[Math Processing Error]
【考点】椭圆的定义
【解析】
设[Math Processing Error]，可得[Math Processing Error]，联立[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]坐标可得[Math Processing Error]．同理可得：[Math Processing Error]，联立[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]坐标．可得[Math Processing Error]．又[Math Processing Error]可得[Math Processing Error]和[Math Processing Error]的面积之和为定值．
【解答】
设[Math Processing Error]，
则[Math Processing Error]，联立[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]．
∴ [Math Processing Error]．
同理可得：[Math Processing Error]，联立[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，可得[Math Processing Error]．
∴ [Math Processing Error]．
又[Math Processing Error]
∴ [Math Processing Error]和[Math Processing Error]的面积之和[Math Processing Error]，
故答案为：（3）
16.
【答案】
[Math Processing Error]
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
运用向量数量积的定义和中点向量表示，以及向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算可
得所求值．
【解答】
[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]是边[Math Processing Error]的中点，
若[Math Processing Error]是线段[Math Processing Error]的中点，
可得[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]，
可得[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]，
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
【答案】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]中，[Math Processing Error]，
∴由正弦定理知，[Math Processing Error]，∵ [Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]．
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]由（1）知，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，
∵ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]．
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出[Math Processing Error]的值，可得[Math Processing Error]的值．
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]根据[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的面积为[Math Processing Error]，利用余弦定理求得[Math Processing Error]的值．
【解答】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]中，[Math Processing Error]，
∴由正弦定理知，[Math Processing Error]，∵ [Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]．
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]由（1）知，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，
∵ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]．
18.
【答案】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]由表格中数据可得，
[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]；
∴ [Math Processing Error]，
[Math Processing Error]；
∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为
[Math Processing Error]；
[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，
即预测气温为[Math Processing Error]，这天热奶茶销售约[Math Processing Error]杯；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]记表中的第[Math Processing Error]天到第[Math Processing Error]天为[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，其中销售杯数大于[Math Processing Error]的有[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，
任取两天有[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]共[Math Processing Error]种情况；
其中至少有一天销售杯数大于[Math Processing Error]有[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]共[Math Processing Error]种情况；
∴所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于[Math Processing Error]的概率为[Math Processing Error]．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]由表格中数据计算[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，求出回归系数，再写出回归方程，
利用回归方程求得对应[Math Processing Error]的值；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．
【解答】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]由表格中数据可得，
[Math Processing Error]，
[Math Processing Error]；
∴ [Math Processing Error]，
[Math Processing Error]；
∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为
[Math Processing Error]；
[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，
即预测气温为[Math Processing Error]，这天热奶茶销售约[Math Processing Error]杯；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]记表中的第[Math Processing Error]天到第[Math Processing Error]天为[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，其中销售杯数大于[Math Processing Error]的有[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，
任取两天有[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]共[Math Processing Error]种情况；
其中至少有一天销售杯数大于[Math Processing Error]有[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]共[Math Processing Error]种情况；
∴所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于[Math Processing Error]的概率为[Math Processing Error]．19.
【答案】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]证明：∵平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，
又∵ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，
∴平面[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]．
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]设[Math Processing Error]的中点为[Math Processing Error]，连
接[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，
∵平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]底面[Math Processing Error]．
∵ [Math Processing Error]是面积为[Math Processing Error]的等边三角形，
∴ [Math Processing Error]，
∵ [Math Processing Error]是[Math Processing Error]的中点，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴四边形[Math Processing Error]为矩形，[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，故[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]是等腰直角三角形，故[Math Processing Error]，
∴在直角三角形[Math Processing Error]中有[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴直角梯形[Math Processing Error]的面积为[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
平面与平面垂直
【解析】
（I）根据平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]可得[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，故而平面[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]；
[Math Processing Error]设[Math Processing Error]的中点为[Math Processing Error]，连接[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，证明[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，根据勾股定理计算[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，从而可计算出棱锥的体积．
【解答】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]证明：∵平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，
又∵ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，
∴平面[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]．
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]设[Math Processing Error]的中点为[Math Processing Error]，连
接[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，
∵平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，平面[Math Processing Error]底面[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]底面[Math Processing Error]．
∵ [Math Processing Error]是面积为[Math Processing Error]的等边三角形，
∴ [Math Processing Error]，
∵ [Math Processing Error]是[Math Processing Error]的中点，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴四边形[Math Processing Error]为矩形，[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，故[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]是等腰直角三角形，故[Math Processing Error]，∴在直角三角形[Math Processing Error]中有[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，
∴直角梯形[Math Processing Error]的面积为[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]．
20.
【答案】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]抛物线[Math Processing Error]焦点为[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]
∴抛物线方程为[Math Processing Error]，
由直线[Math Processing Error]过点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]知，[Math Processing Error]
方程为[Math Processing Error]，
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]，
设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]．
∴ [Math Processing Error]，
证明：[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的斜
率分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，[Math Processing Error]
方程分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]①
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]
代入①解得[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]，
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]②，
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]．
代入②解得[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]．
∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]三点共线
【考点】
圆锥曲线问题的解决方法
【解析】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]利用抛物线的定义，求出[Math Processing Error]的值，根据直线和抛物线的位置关系，即可求出，
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的斜率分别
为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，[Math Processing Error]方程分
别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，分别求出[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的坐标，即可求出直线[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的斜率，问题得以证明
【解答】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]抛物线[Math Processing Error]焦点为[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，
[Math Processing Error]
∴抛物线方程为[Math Processing Error]，
由直线[Math Processing Error]过点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]知，[Math Processing Error]
方程为[Math Processing Error]，
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]，
设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]．
∴ [Math Processing Error]，
证明：[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的斜
率分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，[Math Processing Error]
方程分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]①
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]
代入①解得[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]，
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]②，
由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]．
代入②解得[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]．
∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]三点共线
21.
【答案】
（1）[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]
①当[Math Processing Error]时
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递增
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递减
∴ [Math Processing Error]在（[Math Processing Error]）上单调递减，在[Math Processing Error]，[Math Processing Error]上单调递增
‚当[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递增
ƒ当[Math Processing Error]时
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递增，
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递减，
∴ [Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递减，在[Math Processing Error]上单调递增，
∴综上所述，当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]在（[Math Processing Error]）上单调递减，在[Math Processing Error]，[Math Processing Error]上单调递增，
当[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递增
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递减，在[Math Processing Error]上单调递增
（2）由[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]知，当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递减，在[Math Processing Error]上单调递增
∴ [Math Processing Error]至多有两个零点
∵ [Math Processing Error]
∴ [Math Processing Error]，又∵ [Math Processing Error]，
∴由零点定理知，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上有一个零点[Math Processing Error]
又∵ [Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递减，在[Math Processing Error]上单调递增，
∴当[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]取最小值[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，
∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]
设[Math Processing Error]，
则[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调
递增，
∴当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，
∴由零点定理知，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上有一个零点[Math Processing Error]，
∴ [Math Processing Error]有且仅有两个零点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]
∴ [Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]
∴ [Math Processing Error]．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]求出函数的导数，通过讨论[Math Processing Error]的范围，求
出函数的单调区间即可；
[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]由零点定理知，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上有一个零点[Math Processing Error]，根据函数的单调性得[Math Processing Error]取最小值[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，设[Math Processing Error]，由零点定理知，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上有一个零点[Math Processing Error]，求出[Math Processing Error]，得到[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，从而证明结论．
【解答】
（1）[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]
①当[Math Processing Error]时
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递增
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递减
∴ [Math Processing Error]在（[Math Processing Error]）上单调递减，在[Math Processing Error]，[Math Processing Error]上单调递增
‚当[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递增
ƒ当[Math Processing Error]时
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递增，
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]单调递减，
∴ [Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递减，在[Math Processing Error]上单调递增，
∴综上所述，当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]在（[Math Processing Error]）上单调递减，在[Math Processing Error]，[Math Processing Error]上单调递增，
当[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递增
当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递减，在[Math Processing Error]上单调递增
（2）由[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]知，当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上单调递减，在[Math Processing Error]上单调递增
∴ [Math Processing Error]至多有两个零点。