安徽省定远县育才学校2020年高二第一学期第二次月考理科数学试题含答案

育才学校2020～2021学年第一学期第二次月考
高二理科数学
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知:p R x ∃∈, 210mx +≤, :q R x ∀∈, 210x mx ++>,若p q ∨为假命题,则实数m 的取值范围为( )
A.2m ≥
B.2m ≤-
C.2m ≤-或2m ≥
D.22m -≤≤
2.若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l :011=-+y x 和2l :01=-+y x 上移动,则AB 中点M 所在直线方程为
A.06=--y x
B.06=++y x
C.06=+-y x
D.06=-+y x
3.已知α、β是两个不同的平面, m 、n 是两条不同的直线,下列命题中不．正确的是( ) A.若m ∥n , m α⊥,则n α⊥
B.若m ∥α, n αβ⋂=,则m ∥n
C.若m α⊥, m β⊥,则α∥β
D.若//,//,m n m αβα⊥,则n β⊥
4.平面内动点P 到两点,A B 距离之比为常数(0,1)λλλ>≠,则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼
斯圆,若已知()2,0A -, ()2,0B , 1
2
λ=
,则此阿波尼斯圆的方程为( ) A.221240x y x +-+= B.22
1240x y x +++=
C.2220403x y x +-+=
D.2220
+403
x y x ++=
5.在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为矩形, AB PA =.若BC 边上有且只有一个点Q ,使得PQ QD ⊥,求此时二面角A PD Q --的余弦值( )
D.6
6.已知命题:p x R ∃∈, 210x x -+>,则( )
A.:p x R ⌝∃∈, 210x x -+≤
B.:p x R ⌝∃∈, 210x x -+<
C.:p x R ⌝∀∈, 210x x -+≤
D.:p x R ⌝∀∈, 210x x -+<
7.已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点,,PA PB 是圆2
2
:20C x y y +-=的两条切线,,A B 是切点.若四边形PACB 的最小面积是2,则k 的值为( )
B.2
C.
8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, E 是棱1CC 的中点, F 是侧面11BCC B 内(包
括边)的动点,且1A F 平面1D AE ,沿1A F 运动,将1B 点所在的几何体削去,则剩余几何体
的体积为( )
A.
34 B.2324 C.78 D.1112
10.设椭圆C 的两个焦点是1F 、2F ,过1F 的直线与椭圆C 交于P 、Q ,若212PF F F =,且
1156PF FQ =,则椭圆的离心率为( ) 571326 D.9
11
11.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于
1
2
,则C 的方程是 A.
22134x y += B.22143
x += C.22142x y += D.22
143x y += 12.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中, E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,则点P 到直线1CC 的距离的最小值为( ).
A.
45 B.12 C.53 D.2
55
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.命题“若或,则”的否命题为__________.
14.以F 1、F 2为焦点作椭圆,椭圆上一点P 1到F 1、F 2的距离之和为10,椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2,则P 2F 1＝________.
15.已知平面//α平面β, P α∉且P β∉,试过点P 的直线m 与α, β分别交于A , C ,过点P 的直线n 与α, β分别交于B D ，且6PA =, 9AC =, 8PD =,则BD 的长为___________.
16.已知直线1:0l ax y a -+=, ()2:230l a x ay a -+-=互相平行,则a =__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知命题0:p x R ∃∈,使得2
00210ax x -->成立；命题q :方程
()230x a x a +-+=有两个不相等正实根； (1)若命题p ⌝为真命题,求实数a 的取值范围；
(2)若命题“p 或q ”为真命题,且“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围.
18.(12分)已知A,B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点,线段AB 的长为23,D 是AB
的中点.
(1)求动点D 的轨迹C 的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q,当|PQ|＝3时,求直线l 的方程。

19.(12分)如图,在三棱柱
中,侧棱 底面 ,且 , 是棱
的中点,点 在侧棱
上运动.
(1)当 是棱 的中点时,求证:
平面
；
(2)当直线 与平面
所成的角的正切值为 时,求二面角
的余弦值.
20.(12分)已知圆C 过()2,6P , ()2,2Q -两点,且圆心C 在直线30x y +=上. (1)求圆C 的方程；
(2)若直线l 过点()0,5P 且被圆C 截得的线段长为43求l 的方程.
21.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中, ABCD 是正方形, PD ⊥平面
ABCD .2PD AB ==, E , F , G 分别是 PC , PD , BC 的中点. (1)求证:平面PAB 平面EFG .
(2)在线段PB 上确定一点Q ,使PC ⊥平面ADQ ,并给出证明.
22.(12分)已知椭圆22221(0)y a a b a b +=>>过点3,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝,离心率为1
2. (1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的上顶点作直线交抛物线2
2x y =于,A B 两点, O 为原点.
①求证: OA OB ⊥；
②设OA 、OB 分别与椭圆相交于C 、D 两点,过原点O 作直线CD 的垂线OH ,垂足为
H ,证明: OH 为定值.
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B D
A
C
D
B
B
D
D
D
13.若或
,则
14.5 15.
24
5或24 16.3-
17.(1) 1a ≤-；(2) 10a -≤≤或1a ≥.
解析:
(1):p x R ⌝∀∈, 2210ax x --≤不恒成立.
由0
{
a <∆≤得1a ≤-. (2)设方程()230x a x a +-+=两个不相等正实根为12x x 、
命题q 为真12120
{00 1 0
x x a x x ∆>⇔+>⇔<<>
由命题“p 或q ”为真,且“p 且q ”为假,得命题p q 、一真一假
①当p 真q 假时,则1
{
001a a >-≤≥或得10a -≤≤或1a ≥ ②当p 假q 真时,则1
{
01
a a ≤-<<无解； ∴实数a 的取值范围是10a -≤≤或1a ≥.
18.(1)x 2＋y 2
＝3.(2)()31y x =±-.
解析: (1)设D (x ,y ),A (a ,a ),B (b ,－b ), ∵ D 是AB 的中点, ∴x ＝
,y ＝
,
∵ |AB |＝2,∴(a －b )2
＋(a ＋b )2
＝12,
∴(2y )2＋(2x )2＝12,∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2
＝3. (2) ①当直线l 与x 轴垂直时,P (1,
),Q (1,－
),
此时|PQ |＝2,不符合题意；
当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y ＝k (x －1), 由于|PQ |＝3,所以圆心C 到直线l 的距离为,
由
＝
,解得k ＝
.故直线l 的方程为y ＝
(x －1).
19.
解:(1)取线段
的中点 ,连结
.
∵ ,∴ ,且 .
又 为 的中点,∴ ,且 .
∴ ,且 .∴四边形 是平行四边形.∴
.
又
平面
平面
,∴
平面
.
(2)∵ 两两垂直,∴以 为原点, 所在直线分别为
轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系 ,如图,
∵三棱柱 中,
平面 ,∴ 即为直线 与平
面 所成的角. 设 ,则由
,得 . ∴
.∴
,
设平面
的一个法向量为
,
则 令 ,得
,即
.又平面 的一个法向量
为 ,∴
,
又二面角
的平面角为钝角,∴二面角
的余弦值为 .
20.(1)22
412240x y x y ++-+=；(2)0x =或34200x y -+=
解析:
(1)设圆的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=,圆心,22D E ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ ,根据题意有
260
{228
3
22
D E F
D E F
D E
++=
-++=-
--=
,计算得出
4
{12
24
D
E
F
=
=-
=
,
故所求圆的方程为22412240
x y x y
++-+=.
(2)如图所示,43
AB=,设D是线段AB的中点,
则CD AB
⊥,
∴23
AD=,4
AC=.
在Rt ACD
∆中,可得2
CD=.
当直线l的斜率不存在时,满足题意,
此时方程为0
x=.
当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为:5
y kx
-=,
即50
kx y
-+=,由点C到直线AB的距离公式:
2
265
2
1
k
k
--+
=
+
,得
3
4
k=,此时直线l的方程为34200
x y
-+=.
∴所求直线l的方程为0
x=或34200
x y
-+=
21.解析:(1)∵PCD中,E, F分别是PC, PD的中点,∴EF CD,又∵四边形ABCD 为正方形,得AB CD,∴EF AB,∵EF⊄平面PAB, AB⊂面PAB,∴EF面PAB.同理EG面PAB,∵EF, EG是面EFG内相交直线,∴平面PAB平面EFG.Q为PB 中点时,PC⊥面ADQ.
(2)Q为线段PB中点时,PC⊥平面ADQ,证明:取PB中点Q,连接DE, EQ, AQ,∵EQ BC AD,且AD QE
≠,∴四边形ADEQ为梯形,由PD⊥面ABCD, AD⊂面ABCD,得AD PD
⊥,∵AB CD
⊥, PD CD D
⋂=,∴AD⊥面PDC,又PC⊂面PDC,∴AD PC
⊥.∵PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,∴DE PC
⊥,∵AD, DE是面ADQ内的相交直线,∴PC⊥面ADQ.
22.解析:(1)
22
2
22
1
c b
e
a a
==-,所以,又,解得,,
所以椭圆的方程为
(2)①证明:设、,依题意,直线一定有斜率, 的方程为, 联立方程消去得,,又
,,
②证明:设、,直线的方程为
,,,,联立方程消去得,
,,
而
由得
,即.所以为定值.。