浙江十校联盟2019年10月高三联考数学参考答案

浙江省十校联盟2019年10月高三联考
数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1—5 B B D C C 6—10 A D B C A
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．2，1i +； 12．32，80−； 13．20x y +=，45
； 14．42，5；
15．
23； 16．31−； 17．112a <． 三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分） 解：
（I ）由题意得2OP =，则13
cos ,sin 22
αα=−=， ………4分
3
cos()sin 22ααπ+=−=−
． ………7分 （II ）2213131
()(sin cos )(cos sin )cos 222222f x x x x x x =−+−−+=， ………10分
故T 2π
==π2
． ………12分 由222k x k π−π≤≤π，知单调递增区间为[,]()2
k k k π
π−π∈Z ． ………14分
19．（本小题满分15分）
（I ）证明：过点A 作AO BC ⊥，垂足为O ，连接OD ． ………1分
由120ABC DBC ∠=∠=︒，得60ABO DBO ∠=∠=︒．
而AB BD =，OB OB =，则△ABO 与△DBO 全等． ………3分 故90DOB AOB ∠=∠=︒，即DO BC ⊥．
而AO DO O =，故BC ⊥平面AOD ． ………5分 而AD ⊂平面AOD ，故AD BC ⊥． ………7分 （II ）解法1：设点B 在平面ADC 上的投影为点H ，
则BAH ∠就是直线AB 与平面ADC 所成角． ………9分 由AB BC BD ==，可知HA HC HD ==，点H 为△ADC 的外心．
由（I ）知，AOD ∠就是直二面角A BC D −−的平面角，故AO OD ⊥． ………11分
设2AB =，利用勾股定理等知识，求得42
AH =． ………13分
因此，42
cos AH BAH AB ∠==
， 故直线AB 与平面ADC 所成角的余弦值为42
． ………15分
解法2：设点B 在平面ADC 上的投影为点H ，
则BAH ∠就是直线AB 与平面ADC 所成角． ………9分 由（I ）知，AOD ∠就是直二面角A BC D −−的平面角，故AO OD ⊥． ………10分 设2AB =，利用B ADC A BDC V V −−=，求得27
BH =
． ………13分 因此，742
sin ,cos BH BAH BAH AB ∠==∠=
， 故直线AB 与平面ADC 所成角的余弦值为42
． ………15分
解法3：由（I ）知，AOD ∠就是直二面角A BC D −−的平面角， 故AO OD ⊥． ………8分 建立如图的空间直角坐标系Oxyz ，设2AB =，
则(0,0,3),(0,1,0),(0,3,0),(3,0,0)A B C D ．
于是，(0,1,3),(0,3,3),(3,0,3)AB AC AD =−=−=−． ………10分 设平面ADC 的法向量为(,,)n x y z =，则,,n AC n AD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即330,
330,
y z x z ⎧−=⎪⎨−=⎪⎩
解得(3,1,3)n =． ………12分 设所求线面角为θ，则||7
sin |cos ,|||||27
AB n AB n AB n θ⋅=<>===． ………14分
因此，42cos θ=
，故直线AB 与平面ADC 所成角的余弦值为42
． ………15分 20．（本小题满分15分） 解：
（I ）由6163443()3()39S a a a a a =+=+==，得433,0a a ==．
故{}n a 的公差3d =，3(3)39n a a n d n =+−=−，
即数列{}n a 的通项公式为39n a n =−． ………3分 当2n ≥时，12112211()()()22222n n n n n n n n b b b b b b b b −−−−−=−+−++−+=++
++=，
而12b =，故2n n b =，即数列{}n b 的通项公式为2n n b =． ………6分
（II ）216232(312)2(39)2n n n T n n −=−⨯−⨯+
+−⨯+−⨯，
23126232(312)2(39)2n n n T n n +=−⨯−⨯+
+−⨯+−⨯． ………8分
上述两式相减，得21123232(39)2n n n T n +−=−+⨯+
+⨯−−⨯
111123(24)(39)224(312)2n n n n n +++=−+⨯−−−⨯=−−−⨯，
得1(312)224n n T n +=−⨯+． ………11分 设1(312)2n n c n +=−⨯，显然当4n ≥时，0n c ≥，24n T ≥且单调递增． ………13分 而12336,48,48c c c =−=−=−，故n T 的最小值为2324T T ==−． ………15分
21．（本小题满分15分） 解：
（I ）由题意有24pm =，及22
p
m +
=， ………2分 解得2,1p m ==．故抛物线的方程为24y x =． ………5分
（II ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则22
11224,4y x y x ==． ………6分
两式相减得22
12124()y y x x −=−，即121212
()4y y y y x x −+=−．
于是44AB k −=，1AB k =−， ………9分
（注：利用直线与抛物线方程联立，求得1AB k =−，同样得4分）
故直线l 的方程为(2)2y x =−−−，即y x =−． ………10分
（Ⅲ）设22223124
1234(,),(,),(,),(,)4444y y y y A y B y C y D y ，且:(2)2l y k x =−−．
由2(2)2,4,y k x y x =−−⎧⎨=⎩
得24880ky y k −−−=，则1212488,k y y y y k k −−+==． ………11分
由,,M A C 三点共线，可得311222133114
1444
y y y y y y y y −==++−，化简得134y y =，即3
1
4y y =． 同理可得，42
4
y y =． ………13分
假设,,C D Q 三点共线，则有343
222
334
22444
y y y y y y +−=−−，化简得34342()80y y y y +++=． 进一步可得，1212
211
10y y y y +++=，即
1104422k k k ++=−−−−，解得23k =−． 因此，当直线l 的斜率2
3
k =−时，,,C D Q 三点共线． ………15分
22．（本小题满分15分） 解：
（I ）2()g x x ax b =++，24a b ∆=−． ………1分
若0∆≤，()0g x ≥，()f x 在(,)−∞+∞上单调递增； ………3分
若0∆>，方程()0g x =
有两个不等实根12x x =
， ()f x 在1(,)x −∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增． ………5分
（II ）因()f x 有两个极值点12,x x ，由（1）知240a b ∆=−>，
且12x x a +=−，22
2122x x a b +=−，12()()0g x g x ==． ………7分 于是，12()()f x f x += 22
121212
122()()()()23363
x x a b g x g x x x x x ++++++ 322(2)()22636
a b a a b a ab =−+−+=−+． ………9分
（Ⅲ）由22
2()()24a a g x x ax b x b =++=++−，则()g x 的极值点为2a
x =−．
于是，()02
a
f −=，即33102482a a ab −+−
+=．显然，0a ≠，则226a b a =+．
由（II ）知，2
40a b ∆=−>，24
a b <，则22264a a a +<，解得0a <或a >……11分
于是，12()()f x f x +=322
()2066a a a a
−++=． 故(),()f x g x 的所有极值之和为222222()46412a a a a b h a a a
−=+−=−+=． ………13分
因22
()6a h a a
'=−−，若a >()0h a '<，()h a 在)+∞上单调递减，
故()0h a h <=．
若0a <，知a >()0h a '<，则()h a 在(,−∞上单调递增，在(上单调
递减，故()(h a h ≤=．
因此，当0a <时，所求的取值范围为(,−∞；当a >所求的取值范围为(,0)−∞． 综上，(),()f x g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围是(,0)−∞． ………15分。