人教版七年级下数学《平方根》实数PPT教学课件
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学校要举行美术作品比赛,小美想裁出一块面积为9 dm2的正方形画布,临摹自己的最喜欢的作品参加比赛, 这块正方形画布的边长应取多少?
你一定会算出边长应取3 dm. 说一说,你是怎样算出来的? 因为32=9,所以这个正方形 画布的边长应取3 dm.
课程讲授
1 算术平方根
填表:
正方形的 面积/dm2
1
课程讲授
2 估算算术平方根
如此进行下去,可以得到 2 的更精确的近似值. 事实 上, 2 =1. 414 213 562 373…,它是一 个无限不循环 小数. 实际上,许多正有理数的算术平方根(例如 3, 5, 7 等)都是无限不循环小数.
小数位数无限,且小数部分 不循环的小数称为无限不循 环小数.
… 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 … … 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
归纳小结:被开方数的小数点向右每移动 位,它的算2术平方 根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向1左每移动 位,
(5) x (6) x2 (7) x2 1 (8) 1
x1
x2
(9) x 2 4 2x
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.算术平方根 2.估算算术平方根
3.用计算器求一个正数的算术平方根
新知导入
试一试:根据所学知识,试着解决下列问题.
课程讲授
1 算术平方根
例 求下列各数的算术平方根:
(1)100;
(2)49 ; 64
(3)0.000 1.
解:(1)因为102 =100,所以100的算术平方根是10,
即
;
100 =10
(2)因为
即 49
;7
7 8
2
, 所49以 64
的算术4平9方根是 , 64
7 8
=
64 8
(3)因为0.012 =0.000 1,所以0.000 1的算术平方根是0.01.
它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
2 1
(2)用计算器计算 3 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现 的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你能根据 3 的值
说出 30 是多少吗?
随堂练习
1.填一填 (1)9的算术平方根是____3____;
(2) 9 的算术平方根是____3____;
1
+1 -1
4
+2 -2
9
+3 -3
练一练
36的平方根是 ± 6; 4的平方根是 2; ( 5)2的平方根是 5 ; 9的算术平方根是 3 ; 16的算术平方根的平方根是 ± 2 。
例:求下列各数的平方根, (1)100 (2)9 (3)( 7)2
16 (4)132 122 (5)( 25)2
例 a的一个平方根是3,则另一个平方根是 -3 , a= 9 。
练一练
1.分别求下列各数的平方根:
(1)36 ; (2)295 ;
(3)1.21 .
2. 若一个数的平方等于5,则这个数等于 ___5___.
3.下列说法正确的是__①__④__⑤___ ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.
a
a 0.
课程讲授
1 算术平方根
练一练:
(中考·济宁)若 2x-1 + 1-2x +1有意
义,则x满足的条件是( C )
A.x≥ 1
C.x=
2 1
2
B.x≤ 1
D.x≠
2 1
2
课程讲授
2 估算算术平方根
问题1: 2 有多大呢?
因为 12 = 1,22=4,所以1< 2 <2; 因为 1. 42 = 1. 96,1. 52=2. 25,所以 1.4< 2 <1.5; 因为 1.412 = 1.988 1,1.422 = 2.016 4, 所以 1.41< 2 <1.42; 因为 1. 4142 = 1. 999 396,1. 4152=2. 002 225, 所以 1.414< 2 <1.415; ……
(3)0.01的算术平方根是 __0_.1_____; (4)10-6 的算术平方根是_1_0_-_3____; (5)(-4)2的算术平方根是___4_____; (6)10的算术平方根是________.
随堂练习
2.(中考·南京)若 3 <a< 10 ,则下列结论中 正确的是( B )
A.1<a<3
想一想
1. 121的平方根是什么? 11
2. 0的平方根是什么?
0
3.
16 49
的平方根是什么?
4 7
4. -9有没有平方根?为什么?
问题:(1)正数有几个平方根? (2)0有几个平方根? (3)负数呢?
没有,因为一个数的平方不可能是负数.
归纳总结
正数有2个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是0; 负数没有平方根。
课程讲授
2 估算算术平方根
解:设长方形纸片的长为3x cm,宽为2x cm. 根据边长与面积的关系得 3x • 2x=300, 6x2 =300, x2 =50, x = 50 . 因此长方形纸片的长为 50 cm.
课程讲授
2 估算算术平方根
解:因为50>49,所以 50 >7. 由上可知 3 50 >21,即长方形纸片的长应该大 于21 cm.
课程讲授
2 估算算术平方根
归纳小结: 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值, 一般采用夹逼法.
“夹”就是从两边确定取值范围;“逼”就是一 点一点加强限制,使其所处范围越来越小,从而达到 理想的精确程度.
课程讲授
2 估算算术平方根
例 小丽想用一块面积为400cm2的 正方形纸片,沿着边的方向裁出 一块面积为300cm2的长方形纸片, 使它的长宽之比为3∶2.她不知能 否裁得出来,正在发愁.小明见了 说:“别发愁,一定能用一块 面积大的纸片裁出一 块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用 这块纸片裁出符合要求的纸片吗? Z
D.7和8之间
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中,为 方便计算,可借助计算器求一个正有理数 a的算术平方根(或其近似数).
按键顺序:
a=
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
例 用计算器求下列式的值:
(1) 3136
; 2 (2)
解:(1)依次按键
(精确到0.001).
是___和___,这个数是___.
1 -1
1
一个正数的两个平方根分别是2a+1和a-4,求这个数.
解:由于一个正数的两个平方根是2a+1和a-4, 则有2a+1+a-4=0,即3a-3=0, 解得a=1.
所以这个数为(2a+1)2=(2+1)2=9.
想一想
例:x为何值时,下列各式有意义?
(1) 2x (2) x (3) x 1 (4) 1 x x
平方根与算术平方根的联系与区别:
联系:
1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方 根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0,算术平方根也是0.
区别:
1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一 个算术平方根.
2.表示法不同:平方根表示为: a,而算术平 方根表示为 a .
4.下列说法不正确的是___B___ A.0的平方根是0 B. 22 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
1.a的一个平方根是3,则另一个平方根是 -3 ,a= 9 .
2.81的平方根是___9_, 81 的算术平方根是__3__ . 3.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根,则这两个平方根
6.1 平方根
新课讲授 若x2=a(x≥0),那么x叫做a的算术平方根。
记作:x= a 一般地,如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即:若x2=a,那么x叫做a的平方根。 记作:x= a
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
平方
+1 -1
1
+2 -2
4
+3 -3
9
开平方
即 0.0001=0.01 .
课程讲授
1 算术平方根
归纳小结: (1) 正数的算术平方根是一个正数; (2) 0的算术平方根是0; (3) 负数没有算术平方根; (4) 被开方数越大,对应的算术平方根也越大.
课程讲授
1 算术平方根
算术平方根 具a有双重非负性:
1. 被开方数a是非负数,即a ≥0; 2. 算术平方根 本身是非负数,即
正方形的 边长/dm
1
9
16 36
4
25
3
4
6
2
5
上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个 正数的问题.
课程讲授
1 算术平方根
定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即 x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
算术平方根的记法: a(a≥0)的算术平方根记为 a ,读作“根号a”,
a叫做被开方数.
因为 400 =20,所以正方形纸片的边长只有20 cm. 这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答:不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方
形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
课程讲授
2 估算算术平方根
练一练:
(中考·天津)估计 38 的值在( C )
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
∴x-1=0,y+1=0,∴x=1,y=-1. ∴x2019+y2020=12019+(-1)2020=2.
课堂小结
算术平方根
定义:一般地,如果一个正数 x的平方等于a,即x2=a,那么这 个正数x叫做a的算术平方根.
双重非负性
算术平方根
估算算术平方根
用计算器求一个正数 的算术平方根
B.1<a<4
C.2<a<3
D.2<a<4
随堂练习
3.用计算器计算,若按键顺序为 4 · 5 - 0 · 5
÷ 2 = ,则相应的算式是( C )
A. 4×5-0×5÷2= B.( 4×5-0×5)÷2=
C. 4.5-0.5÷2=
D.( 4.5 -0.5)÷2=
随堂练习
4.若 x 1 y 1 =0,求x2019+y2020的值. 解:∵ x 1 ≥0, y 1 ≥0, x 1 y 1 =0,
3136 =
显示结果为56,所以 3136=56
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
解:(2)依次按键
2= 显示结果为1.414213562,要求精确到0.001,可得
2 1.414
课程讲授
3 用计算器求一个正数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算术平方根
想一想:(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将 计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的 道理吗?
你一定会算出边长应取3 dm. 说一说,你是怎样算出来的? 因为32=9,所以这个正方形 画布的边长应取3 dm.
课程讲授
1 算术平方根
填表:
正方形的 面积/dm2
1
课程讲授
2 估算算术平方根
如此进行下去,可以得到 2 的更精确的近似值. 事实 上, 2 =1. 414 213 562 373…,它是一 个无限不循环 小数. 实际上,许多正有理数的算术平方根(例如 3, 5, 7 等)都是无限不循环小数.
小数位数无限,且小数部分 不循环的小数称为无限不循 环小数.
… 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 … … 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
归纳小结:被开方数的小数点向右每移动 位,它的算2术平方 根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向1左每移动 位,
(5) x (6) x2 (7) x2 1 (8) 1
x1
x2
(9) x 2 4 2x
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.算术平方根 2.估算算术平方根
3.用计算器求一个正数的算术平方根
新知导入
试一试:根据所学知识,试着解决下列问题.
课程讲授
1 算术平方根
例 求下列各数的算术平方根:
(1)100;
(2)49 ; 64
(3)0.000 1.
解:(1)因为102 =100,所以100的算术平方根是10,
即
;
100 =10
(2)因为
即 49
;7
7 8
2
, 所49以 64
的算术4平9方根是 , 64
7 8
=
64 8
(3)因为0.012 =0.000 1,所以0.000 1的算术平方根是0.01.
它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
2 1
(2)用计算器计算 3 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现 的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你能根据 3 的值
说出 30 是多少吗?
随堂练习
1.填一填 (1)9的算术平方根是____3____;
(2) 9 的算术平方根是____3____;
1
+1 -1
4
+2 -2
9
+3 -3
练一练
36的平方根是 ± 6; 4的平方根是 2; ( 5)2的平方根是 5 ; 9的算术平方根是 3 ; 16的算术平方根的平方根是 ± 2 。
例:求下列各数的平方根, (1)100 (2)9 (3)( 7)2
16 (4)132 122 (5)( 25)2
例 a的一个平方根是3,则另一个平方根是 -3 , a= 9 。
练一练
1.分别求下列各数的平方根:
(1)36 ; (2)295 ;
(3)1.21 .
2. 若一个数的平方等于5,则这个数等于 ___5___.
3.下列说法正确的是__①__④__⑤___ ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.
a
a 0.
课程讲授
1 算术平方根
练一练:
(中考·济宁)若 2x-1 + 1-2x +1有意
义,则x满足的条件是( C )
A.x≥ 1
C.x=
2 1
2
B.x≤ 1
D.x≠
2 1
2
课程讲授
2 估算算术平方根
问题1: 2 有多大呢?
因为 12 = 1,22=4,所以1< 2 <2; 因为 1. 42 = 1. 96,1. 52=2. 25,所以 1.4< 2 <1.5; 因为 1.412 = 1.988 1,1.422 = 2.016 4, 所以 1.41< 2 <1.42; 因为 1. 4142 = 1. 999 396,1. 4152=2. 002 225, 所以 1.414< 2 <1.415; ……
(3)0.01的算术平方根是 __0_.1_____; (4)10-6 的算术平方根是_1_0_-_3____; (5)(-4)2的算术平方根是___4_____; (6)10的算术平方根是________.
随堂练习
2.(中考·南京)若 3 <a< 10 ,则下列结论中 正确的是( B )
A.1<a<3
想一想
1. 121的平方根是什么? 11
2. 0的平方根是什么?
0
3.
16 49
的平方根是什么?
4 7
4. -9有没有平方根?为什么?
问题:(1)正数有几个平方根? (2)0有几个平方根? (3)负数呢?
没有,因为一个数的平方不可能是负数.
归纳总结
正数有2个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是0; 负数没有平方根。
课程讲授
2 估算算术平方根
解:设长方形纸片的长为3x cm,宽为2x cm. 根据边长与面积的关系得 3x • 2x=300, 6x2 =300, x2 =50, x = 50 . 因此长方形纸片的长为 50 cm.
课程讲授
2 估算算术平方根
解:因为50>49,所以 50 >7. 由上可知 3 50 >21,即长方形纸片的长应该大 于21 cm.
课程讲授
2 估算算术平方根
归纳小结: 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值, 一般采用夹逼法.
“夹”就是从两边确定取值范围;“逼”就是一 点一点加强限制,使其所处范围越来越小,从而达到 理想的精确程度.
课程讲授
2 估算算术平方根
例 小丽想用一块面积为400cm2的 正方形纸片,沿着边的方向裁出 一块面积为300cm2的长方形纸片, 使它的长宽之比为3∶2.她不知能 否裁得出来,正在发愁.小明见了 说:“别发愁,一定能用一块 面积大的纸片裁出一 块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用 这块纸片裁出符合要求的纸片吗? Z
D.7和8之间
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中,为 方便计算,可借助计算器求一个正有理数 a的算术平方根(或其近似数).
按键顺序:
a=
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
例 用计算器求下列式的值:
(1) 3136
; 2 (2)
解:(1)依次按键
(精确到0.001).
是___和___,这个数是___.
1 -1
1
一个正数的两个平方根分别是2a+1和a-4,求这个数.
解:由于一个正数的两个平方根是2a+1和a-4, 则有2a+1+a-4=0,即3a-3=0, 解得a=1.
所以这个数为(2a+1)2=(2+1)2=9.
想一想
例:x为何值时,下列各式有意义?
(1) 2x (2) x (3) x 1 (4) 1 x x
平方根与算术平方根的联系与区别:
联系:
1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方 根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0,算术平方根也是0.
区别:
1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一 个算术平方根.
2.表示法不同:平方根表示为: a,而算术平 方根表示为 a .
4.下列说法不正确的是___B___ A.0的平方根是0 B. 22 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
1.a的一个平方根是3,则另一个平方根是 -3 ,a= 9 .
2.81的平方根是___9_, 81 的算术平方根是__3__ . 3.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根,则这两个平方根
6.1 平方根
新课讲授 若x2=a(x≥0),那么x叫做a的算术平方根。
记作:x= a 一般地,如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即:若x2=a,那么x叫做a的平方根。 记作:x= a
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
平方
+1 -1
1
+2 -2
4
+3 -3
9
开平方
即 0.0001=0.01 .
课程讲授
1 算术平方根
归纳小结: (1) 正数的算术平方根是一个正数; (2) 0的算术平方根是0; (3) 负数没有算术平方根; (4) 被开方数越大,对应的算术平方根也越大.
课程讲授
1 算术平方根
算术平方根 具a有双重非负性:
1. 被开方数a是非负数,即a ≥0; 2. 算术平方根 本身是非负数,即
正方形的 边长/dm
1
9
16 36
4
25
3
4
6
2
5
上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个 正数的问题.
课程讲授
1 算术平方根
定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即 x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
算术平方根的记法: a(a≥0)的算术平方根记为 a ,读作“根号a”,
a叫做被开方数.
因为 400 =20,所以正方形纸片的边长只有20 cm. 这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答:不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方
形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
课程讲授
2 估算算术平方根
练一练:
(中考·天津)估计 38 的值在( C )
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
∴x-1=0,y+1=0,∴x=1,y=-1. ∴x2019+y2020=12019+(-1)2020=2.
课堂小结
算术平方根
定义:一般地,如果一个正数 x的平方等于a,即x2=a,那么这 个正数x叫做a的算术平方根.
双重非负性
算术平方根
估算算术平方根
用计算器求一个正数 的算术平方根
B.1<a<4
C.2<a<3
D.2<a<4
随堂练习
3.用计算器计算,若按键顺序为 4 · 5 - 0 · 5
÷ 2 = ,则相应的算式是( C )
A. 4×5-0×5÷2= B.( 4×5-0×5)÷2=
C. 4.5-0.5÷2=
D.( 4.5 -0.5)÷2=
随堂练习
4.若 x 1 y 1 =0,求x2019+y2020的值. 解:∵ x 1 ≥0, y 1 ≥0, x 1 y 1 =0,
3136 =
显示结果为56,所以 3136=56
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
解:(2)依次按键
2= 显示结果为1.414213562,要求精确到0.001,可得
2 1.414
课程讲授
3 用计算器求一个正数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算术平方根
想一想:(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将 计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的 道理吗?