2022-2023学年北京市第三十九中学九年级上学期期中考试数学试卷 含详解

北京市第三十九中学2022—2023学年度第一学期
九年级数学期中试卷
考生须知
1．本试卷共4
页，共两部分，28
道题．满分100分．考试时间
120分钟．
2．考生要认真填写密封线内的班级、姓名、学号．3．试卷答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，作图题用2B 铅笔作答，其他试卷用黑色字迹签字笔作答．
第一部分
选择题
一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.下列方程中，是一元二次方程的是（）
A.21x =
B.220x y +=C .
2
3
50x x
+
-= D.
221
x --2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A
.
B. C. D.
3.以2-为一根的一元二次方程是（）
A.220x x -=
B.20x x -=
C.220x x ++=
D.220
x x +=4.抛物线21
(1)12
y x =-+-的顶点坐标和开口方向是（）
A.()11-，
，开口向上 B.()11--，
，开口向上C.
()11-，
，开口向下 D.
()11--，
，开口向下5.把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）
A.()2
=+31
y x - B.2(3)3y x =++C.2=(3)1
y x -- D.2(3)3
y x =-+6.惠民政策又来了，第七批国家药采结果将于11月在北京执行．一种药品原价每盒250元，经过两次降价后每盒160元，设两次降价的百分率都是x ，则x 满足方程（）
A.()25012160
x -= B.2160(1)250
x +=
C.()16012250x +=
D.()2
2501160
x -=7.将抛物线2
112
y x =
+绕原点O 旋转180︒，则旋转后的抛物线的解析式为（）
A.221y x =-+
B.221y x =--C
.21
12y x =-+ D.2
112
y x =-
-8.如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A （1，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④4a -2b +c ＞0其中正确结论是（
）
A.②④
B.①④
C.②③
D.①③
第二部分
非选择题
二、填空题（每题2分，共16分）
9.把方程3x 2＝5x +2化为一元二次方程的一般形式是_____．
10.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：______．11.已知关于x 的一元二次方程2110m x mx -+-=（），则m 的取值范围为______．
12.如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A --，(1,2)B -，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________.
13.二次函数2y ax bx c =++的图象过点()30A -,
，对称轴为=1x -，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为________．
14.已知方程22150x x --=的两个根分别是1x 和2x ，则12x x +的值为________．
15.函数2(03)y ax bx c x =++≤≤的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
16.若抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，其顶点C 到x 轴距离是8，则线段AB 的长为______．
三、解答题（共68分）
17.解方程：（1）2410x x --=（2）()2
2180
x --=18.已知a 是方程290x x --=的一个根，求()()()2
133a a a -++-的值．
19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1．
（1）在网格中画出△A 1B 1C 1；
（2）以AC 所在直线为x 轴，点A 为原点，直接写出B 1的坐标．20.已知二次函数的解析式为243
y x x =-+
（1）利用配方法，将其转化为2()y a x h k =-+的形式；（2）求图象与两坐标轴的交点的坐标；（3）画出函数图象．
21.已知关于x 的方程()2
340x m x m --+-=．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围．
22.如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB 的宽为8米．设AB 上的点E 到点A 的距离AE x =米，点E 到拱桥顶面的垂直距离EF y =米．
通过取点、测量，数学小组的同学得到了x 与y 的几组值，如下表：x （米）012345678y （米）
1.75
3
3.75
4
3.75
3
1.75
（1）拱桥顶面离水面AB 的最大高度为______米；
（2）请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；（3）测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该
游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．
23.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
24.多肉植物因体积小外形荫，越来越受到人们的喜爱，小明的姑妈也打算销售“多肉植物”．小明就帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表，其中单株售价与月份的关系可以近似地看作一次函数（如图（1）单株成本与月份的关系可以近似看作二次函数如图（2））：
（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；
（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利=单株售价-单株成本）
25.如图，点E ，F ，G ，H 分别在菱形ABCD 的四条边上BE BF DG DH ===，连接,,,EF FG GH HE ，得到四边形EFGH ．
（1）求证：四边形EFGH 是矩形．
（2）设,60AB a A =∠=︒，当BE 为何值时，矩形EFGH 的面积最大？
26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2-4x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C.（1）求直线BC 的表达式；
（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122P ,,,x y Q x y ，与直线BC 交于点()33N ,x y ，若x 1<x 2<x 3，结合
函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围.
27.已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）
、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ，
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
28.在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，和Q x y '（，），给出如下定义：如果()0=(0)
y x y y x '⎧≥⎨
-<⎩，那么称点Q
为点P 的“关联点”．：点()56，
的“关联点”是点()56，，点()56-，的“关联点”是点()56--，．（1）下面哪个点的“关联点”在函数2
21y x
x =++的图像上
．
A ．()0-，1
B ．()1--，1
C ．()01，
D ．()1
-，1（2）如果点M 在二次函数241y x x --＝的图像上，其“关联点”是点()2N m ，
，求点M 的坐标．（3）如果点P 在函数()2
42y x x a =-+-≤＜的图像上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是44y '-≤＜，直
接写出实数a 的取值范围．
北京市第三十九中学2022—2023学年度第一学期
九年级数学期中试卷
第一部分
选择题
一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.下列方程中，是一元二次方程的是（）
A.21x =
B.220x y +=
C.2
3
50x x
+
-= D.
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，逐一进行判断即可．
【详解】A 、21x =，是一元二次方程，符合题意；B 、220x y +=，有两个未知数，不符合题意；C 、2
3
50x x
+
-=，是分式方程，不符合题意；D
不是方程，不符合题意；故选A ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握概念是解题的关键．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：一个平面图形，绕一点旋转180︒，与自身完全重合，进行判断即可．【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；故选B ．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关概念是解题的关键．3.以2-为一根的一元二次方程是（
）
A.220x x -=
B.20x x -=
C.220x x ++=
D.220
x x +=【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的概念，将2-代入每个选项，判断即可．【详解】解：将将2-代入每个选项，可得：
A 、222(2)2(2)80x x -=--⨯-=≠，不符合题意；
B 、22(2)(2)60x x -=---=≠，不符合题意；
C 、222(2)(2)240x x ++=-+-+=≠，不符合题意；
D 、222(2)2(2)0x x +=-+⨯-=，符合题意；故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程根的概念，一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值,也叫一元二次方程的解，掌握根的概念是解题的关键．4.抛物线21
(1)12
y x =-+-的顶点坐标和开口方向是（）
A.()11-，
，开口向上 B.()11--，
，开口向上C.
()11-，
，开口向下 D.
()11--，
，开口向下【答案】D
【分析】先根据二次项系数可以判断抛物线的开口方向，再根据抛物线函数的顶点式确定顶点坐标即可．【详解】解：∵21
(1)12
y x =-
+-，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是()1
1--，．故选：D ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的性质是解答本题的关键．5.把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）
A.()2
=+31
y x - B.2(3)3y x =++C.2=(3)1y x -- D.2(3)3
y x =-+【答案】C
【分析】首先得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为()0,1，
∴平移后抛物线的顶点为()3,1-，∴新抛物线解析式为2=(3)1y x --，
故选：C ．
【点睛】本题考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
6.惠民政策又来了，第七批国家药采结果将于11月在北京执行．一种药品原价每盒250元，经过两次降价后每盒160元，设两次降价的百分率都是x ，则x 满足方程（）
A.()25012160x -=
B.2160(1)250x +=
C.()16012250x +=
D.()2
2501160
x -=【答案】D
【分析】由两次降价的百分率都为x ，再结合原价及两次降价后的价格列出关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：设两次降价的百分率都是x ，则第一次降价后每盒的价格为：()2501x ⨯-元；第二次降价后每盒的价格为：()2
2501x ⨯-元；∵两次降价后每盒的价格为160元，∴()2
2501160x -=．故选：D ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．7.将抛物线2
112
y x =
+绕原点O 旋转180︒，则旋转后的抛物线的解析式为（）
A.221y x =-+
B.221y x =--
C.2
112y x =-
+ D.2
112
y x =-
-【答案】D 【分析】抛物线2
112
y x =
+的顶点坐标为()0,1，开口向上，抛物线绕原点O 旋转180︒后，开口向下，抛物线的开口大小不变，顶点坐标为()0,1-，由此即可得．【详解】解：抛物线2
112
y x =+的顶点坐标为()0,1，开口向上，则将抛物线2
112
y x =
+绕原点O 旋转180︒后，顶点坐标为()0,1-，开口向下，抛物线的开口大小不变，所以旋转后的抛物线的解析式为2
112
y x =--，故选：D ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与旋转变换，解题的关键是熟练掌握抛物线绕某点旋转180︒得到旋转后的抛物线的开口方向相反，开口大小不变．
8.如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A （1，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④4a -2b +c ＞0其中正确结论是（
）
A.②④
B.①④
C.②③
D.①③
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、过特殊点时相应的a 、b 、c 满足的条件，综合各条件对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得：二次函数与x 轴有两个不同的交点，其中一个交点为(1,0)A ，对称轴12b
x a
=-=-则240b ac ->，2b a =，二次函数与x 轴另一交点为(3,0)-，则24b ac >，20b a -=，即①正确，②错误，
当=1x -时，函数值为a b c -+，由图象可得0a b c -+>，③错误，由图象可得，当1x <-时，y 随x 的增大而增大又∵23->-，
∴当2x =-时，420y a b c =-+>，即④正确；综上，正确结论是①④故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数的关系以及二次函数的有关性质是解题的关键．
第二部分
非选择题
二、填空题（每题2分，共16分）
9.把方程3x 2＝5x +2化为一元二次方程的一般形式是_____．【答案】3x 2-5x-2=0
【分析】移项，把等号右边化为0即可．【详解】3x 2=5x+2，
移项，得3x 2﹣5x ﹣2=0，故答案为3x 2﹣5x ﹣2=0
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．
10.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：______．【答案】22y x =-+（答案不唯一）
【分析】根据题意，开口朝下：a<0，与y 轴的交点坐标为（0，2）：2c =，满足这两个条件即可．【详解】解：开口朝下：a<0，与y 轴的交点坐标为（0，2）：2c =，可以写出：22y x =-+；
故答案为：22y x =-+．（答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的定义和性质．熟练掌握二次函数的定义和性质是解题的关键．11.已知关于x 的一元二次方程2110m x mx -+-=（），则m 的取值范围为______．【答案】1
m ≠【分析】根据一元二次方程的定义列不等式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2110m x mx -+-=（）∴10m -≠，解得：1m ≠．故答案为：1m ≠．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义；练掌握一元二次方程的二次项系数不为零是解答本题的关键．12.如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A --，(1,2)B -，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________.
【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1
【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．
故答案为x 1=﹣3，x 2=1．
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
13.二次函数2y ax bx c =++的图象过点()30A -,
，对称轴为=1x -，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为________．【答案】()
1,0【分析】设抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(),0x ，根据(),0x 与()30A -,
关于对称轴=1x -对称，推出312
x
-+=-，解得1x =，得到另一个交点坐标为()1,0．【详解】解：设抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(),0x ，
∵抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴=1x -对称，一个交点坐标为()30A -,
，∴
312
x
-+=-，∴1x =，
∴另一个交点坐标为：()1,0．故答案为：()1,0．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的对称性，解决问题的关键是熟练掌握中点坐标公式．14.已知方程22150x x --=的两个根分别是1x 和2x ，则12x x +的值为________．【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得到答案．【详解】解：∵方程22150x x --=的两个根分别是1x 和2x ，∴122
21
x x +=-
=，故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：12
b
x x a
+=-，
12c x x a
=
．15.函数2(03)y ax bx c x =++≤≤的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
【答案】-1
【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标，即可得到答案.【详解】由函数图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1），∵抛物线的开口向上，∴该函数的最小值是：-1.故答案是：-1.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，理解二次函数图象的开口方向和函数的最值，是解题的关键.
16.若抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，其顶点C 到x 轴距离是8，则线段AB 的长为______．【答案】4
【分析】设顶点式22()8y x k =--+，再解方程22()80x k --+=得(2,0),(2,0)A k B k -+，然后把B 点和A 点的横坐标相减得到AB 的长度．
【详解】解：设抛物线的解析式为22()8y x k =--+，当y =0时，22()80x k --+=，解得：122,2x k x k =-=+，∴(2,0),(2,0)A k B k -+，∴2(2) 4.AB k k =+--=故答案为：4．
【点睛】此题考查了二次函数与x 轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A ，B 两点的坐标．
三、解答题（共68分）
17.
解方程：
（1）2410x x --=（2）()2
2180
x --=【答案】（1）122525x x ==，（2）1231x x ==-，．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用直接开平方法求解即可．【小问1详解】解：2410x x --=，∴241x x -=，
配方得24414x x -+=+，即2(2)5x -=，
∴2x -=
∴1222x x ==【小问2详解】解：()2
2180x --=，∴()2
14x -=，∴12x -=±，
∴12x -=或12x -=-，解得1231x x ==-，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.已知a 是方程290x x --=的一个根，求()()()2
133a a a -++-的值．【答案】10
【分析】将x a =代人方程，得到29a a -=，然后整体代人即可．【详解】解：a 是方程290x x --=的一个实数根，290a a ∴--=，29
a a ∴-=∴原式22219
a a a =-++-2228a a =--22()8a a =--298
=⨯-10=．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．
19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1．
（1）在网格中画出△A 1B 1C 1；
（2）以AC 所在直线为x 轴，点A 为原点，直接写出B 1的坐标．【答案】（1）见解析
（2）（3，-4）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B 、C 的对应点11B C 、即可得到11AB C △；（2）根据题意，可得B 1点在原点A 的右3下4的位置，即可求解．【小问1详解】解：
【小问2详解】
根据网格图可得，B 1点在原点A 的右3下4的位置，则B 1的坐标为(3,4)
-【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握旋转的有关性质以及直角坐标系中点的坐标表示．20.已知二次函数的解析式为243
y x x =-+
（1）利用配方法，将其转化为2()y a x h k =-+的形式；（2）求图象与两坐标轴的交点的坐标；（3）画出函数图象．【答案】（1）2(2)1
y x =--（2）x 轴交点()1,0和()3,0，y 轴交点()0,3（3）见解析
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）分别当0y =和0x =时求解即可；（3）利用描点法画出二次函数图象即可．【小问1详解】
243
y x x =-+2224223x x =-+-+2(2)1
x =--【小问2详解】
当0y =时，即2430x x -+=∴()()310x x --=∴解得123,1
x x ==∴二次函数与x 轴的交点坐标为()1,0和()3,0；当0x =时，3
y =∴二次函数与y 轴的交点坐标为()0,3；
【小问3详解】∵2(2)1
y x =--∴顶点坐标为()
2,1-，对称轴方程为2x =．
∵函数二次函数2
43y x
x =-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0，与y 轴的交点坐
标为()0,3,()0,3关于对称轴对称的点为()4,3；∴其图象为：
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．21.已知关于x 的方程()2
340x m x m --+-=．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）812m <<．
【分析】（1）先计算判别式的值得到()2
5m =- ，利用非负数的性质得0≥ ，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（2）利用求根公式解方程得到1241x m x =-=，，再利用方程有一个根大于4且小于8得448m <-<，然后解不等式组即可．【小问1详解】
证明：()()
2
344m m =--- 21025m m =-+()2
5m =-，
∵()2
50m -≥，即0≥ ，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：()
52
3m m x -±-=
，得1241x m x =-=，，
∵方程有一个根大于4且小于8，∴448m <-<，∴812m <<．
【点睛】本题考查了一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac =-△：当0> ，方程有两个不相
等的实数根；当0= ，方程有两个相等的实数根；当0< ，方程没有实数根．
22.如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB 的宽为8米．设AB 上的点E 到点A 的距离AE x =米，点E 到拱桥顶面的垂直距离EF y =米．
通过取点、测量，数学小组的同学得到了x 与y 的几组值，如下表：x （米）012345678y （米）
1.75
3
3.75
4
3.75
3
1.75
（1）拱桥顶面离水面AB 的最大高度为______米；
（2）请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；（3）测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．【答案】（1）4
（2）见解析
（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据即可求解；（2）根据描点法画二次函数解析式；
（3）根据题意求得船顶到拱桥顶面的距离即可求解．【小问1详解】
由表格可知当4x =时，4y =，拱桥顶面离水面AB 的最大高度为4米．【小问2详解】
以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立坐标系如图，
【小问3详解】
不能，理由如下，
根据表格可知对称轴为4x =，顶点坐标为()4,4，设抛物线解析式为()2
44y a x =-+，将()0,0代入得
2044a =+，
解得14
a =-
，∴抛物线解析式为()2
1444y x =-
-+，根据题意2x =时，()2
124434
y =--+=，
32100.5--=< ，
∴游船不能安全通过．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，描点法画二次函数图象，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．23.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
【答案】修建的路宽为1m.
【分析】可以用平移的知识假设把路移动边上，那么余下耕地部分的长和宽可表示出来，设路宽为，根据面积
可列出方程．
【详解】解：设修建的路宽为x 米．则列方程为20×30-（30x+20x-x 2）=551，
解得x 1=49（舍去），x 2=1．答：修建的道路宽为1米．
24.多肉植物因体积小外形荫，越来越受到人们的喜爱，小明的姑妈也打算销售“多肉植物”．小明就帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表，其中单株售价与月份的关系可以近似地看作一次函数（如图（1）单株成本与月份的关系可以近似看作二次函数如图（2））
：
（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；
（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利=单株售价-单株成本）【答案】（1）1
（2）5月销售这种多肉植物，单株获利最大
【分析】（1）根据单株获利=单株售价-单株成本，结合函数图象即可求解；
（2）分别求得直线解携时与抛物线解析式，设利润为w ，根据单株获利=单株售价-单株成本，得到新的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵三月份时，这种植物的成本为4元，单株售价为5元，
541-=，
∴如果在三月份出售这种植物，单株获利1元；故答案为：1；【小问2详解】
设直线的表达式为：1(0y kx b k =+≠）
直线经过()()3563，，
，∴3563k b k b +=⎧⎨
+=⎩解得237
k b ⎧=-⎪⎨
⎪=⎩：
1273
y x =-+∴直线解析式为：设抛物线解析式为：22()y a x h k
=-+∵顶点为()61，
，过点()34，，∴()24361
a =-+解得13a =∴221(6)13
y x =-+设利润为w ，则()2122176133w y y x x ⎡⎤=-=-
+--+⎢⎥⎣⎦2110633x x =-+-()21255633x =---+()217533
x =--+103a =-< ∴5x =时，函数取最大值
答：5月销售这种多肉植物，单株获利最大
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键．
25.如图，点E ，F ，G ，H 分别在菱形ABCD 的四条边上BE BF DG DH ===，连接,,,EF FG GH HE ，得到四边形EFGH ．
（1）求证：四边形EFGH 是矩形．
（2）设,60AB a A =∠=︒，当BE 为何值时，矩形EFGH 的面积最大？
【答案】（1）见解析；（2）当BE ＝2
a 时，S 矩形EFGH 最大．【分析】（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH ＋∠CGH ＝90°，则∠HGF ＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；
（2）令BE ＝x ，则AE ＝a －x ，过点B 作BO ⊥EF 于O ，先利用利用菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质
以及勾股定理求出EF，然后根据S
矩形EFGH
＝HE·EF和二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
又∵BE＝BF＝DG＝DH，
∴AH＝AE＝CG＝CF，
∴∠DHG＝∠DGH＝180
2
D
-∠
o
，
同理，∠CGF＝180
2
C
-∠
，
∴∠DGH＋∠CGF＝360()
2
D C
-∠+∠
o
，
又∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∴∠DGH＋∠CGF＝90°，
∴∠HGF＝90°，
同理，∠GHE＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）令BE＝x，则AE＝a－x，过点B作BO⊥EF于O，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AD∥BC，
∴∠ABC=120°，
∵BE=BF，
∴∠EBO=∠FBO=60°，EO=OF
∴∠BEO=30°，
∴
11
22 OB BE x
==，
∴
3
2 OE x ==，
∴EF =，
∴S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝a －x )x 2．
＜0，
∴当x ＝
-2
a 时，S 矩形EFGH 最大．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x 表示出矩形EFGH 的面积是关键．
26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2-4x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C.
（1）求直线BC 的表达式；
（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122P ,,,x y Q x y ，与直线BC 交于点()33N ,x y ，若x 1<x 2<x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围.
【答案】（1）y=-x+3;(2)7<x 1+x 2+x 3<8.
【详解】试卷分析：（1）先求A、B、C 的坐标，用待定系数法即可求解；
(2)由于垂直于y 轴的直线l 与抛物线243y x x =-+要保证123x x x <<，则P、Q 两点必位于x 轴下方，作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为x 轴和过顶点的直线，继而求解.
试卷解析：（1）由抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A，B(点A 在点B 的左侧)，令y=0，解得x=1或x=3，∴点A，B 的坐标分别为（1，0），（3，0），
∵抛物线243y x x =-+与y 轴交于点C，
令x=0，解得y=3，∴点C 的坐标为（0，3）.设直线BC 的表达式为y=kx+b，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩
，∴直线BC 的表达式为：y=-x+3.
(2).由2243(2)1y x x x =-+=--，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2，
∵12y y =，∴1x +2x =4.令y=-1，y=-x+3，x=4.
∵123x x x <<，∴3<3x <4，即7<123x x x ++<8，
∴123x x x ++的取值范围为：7<123x x x ++<8.
【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性等，结合图形正确地求解是关键.
27.已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）
、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ，
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3．（2）证明见解析；（3）点P 坐标为（352，552
）或（2，3）．【详解】试卷分析：（1）将A （﹣1，0）、C （0，3），代入二次函数y=ax 2+bx ﹣3a ，求得a 、b 的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC 、CD 、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD 为底和以CD 为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
试卷解析：（1）∵二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），∴将A （﹣1，0）、C （0，3），代入，
得30{33a b a a --=-=，解得12
a b =-=⎧⎨⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）如图，连接DC 、BC 、DB ，由y=﹣x 2+2x+3=
﹣（x ﹣1）2+4得，D 点坐标为（1，4），∴，，
，∵CD 2+BC 2=）2+（）2=20，BD 2=（）2=20，∴CD 2+BC 2=BD 2，∴△BCD 是直角三角形；（3）y=﹣x 2+2x+3对称轴为直线x=1．假设存在这样的点P,①以CD 为底边，则P 1D=P 1C ，
设P 1点坐标为（x ，y ），根据勾股定理可得P 1C 2=x 2+（3﹣y ）2，P 1D 2=（x ﹣1）2+（4﹣y ）2，因此x 2+（3﹣y ）2=
（x ﹣1）2+（4﹣y ）2，即y=4﹣x ．又P 1点（x ，y ）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x 2+2x+3，即x 2﹣3x+1=0，解得x 1=32
+，x 2=352＜1，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=352，∴y=4﹣x=552，即点P 1坐标为（352+，552
-）．②以CD 为一腰，∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 2与点C 关于直线x=1对称，此时点P 2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P 坐标为（352+，552
-）或（2，3）．
考点：1.二次函数图象性质；2.等腰三角形性质；3.直角三角形的判定.
28.在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，和Q x y '（，），给出如下定义：如果()0=(0)y x y y x '⎧≥⎨-<⎩
，那么称点Q 为点P 的“关联点”．：点()56，
的“关联点”是点()56，，点()56-，的“关联点”是点()56--，．（1）下面哪个点的“关联点”在函数221y x x =++的图像上．
A ．()0-，1
B ．()1--，1
C ．()01，
D ．()1
-，1（2）如果点M 在二次函数241y x x --＝的图像上，其“关联点”是点()2N m ，
，求点M 的坐标．（3）如果点P 在函数()2
42y x x a =-+-≤＜的图像上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是44y '-≤＜，直接写出实数a 的取值范围．
【答案】（1）C
（2）点M 的坐标为()2+
（3）2≤<a 【分析】（1）分别求出各的“关联点”然后再判断其是否在函数221y x x =++的图像上即可；
（2）分0m ≥和0m ＜两种情况，分别求出点M 的坐标，然后代入方程求解即可；
（3）如图为“关联点”函数图像：从函数图像看，“关联点”Q 的纵坐标y '的取值范围是44y '-≤＜，而2x a -≤＜的函数图像只需要找到最大值（直线4y =）与最小值（直线4y =-）直线x a =从大于等于0开始运动，直到与4
y =-。