冀教版八年级数学_22.4.1 矩形及其性质

DAE＝CFE， 在△ADE和△FCE中，ADE＝FCE，
DE＝CE，
所以△ADE≌△FCE，
感悟新知
知3－练
所以CF＝AD，又因为AD＝BC，所以BC＝CF， 又因为DC⊥BF， 所以DF＝BD＝ AB2 AD2 32 42＝5.
感悟新知
8.【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，对角线 知3－练 AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm， 则AB的长是( A ) A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
感悟新知
导引：由∠DAE与∠BAE之和为矩形
知2－讲
的一个内角及两角之比即可求
出∠DAE和∠BAE的度数，从
而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝
∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝
∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．
感悟新知
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
知2－讲
BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
知3－练
感悟新知
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为 CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点 F，连接DF.求DF的长.
知3－练
感悟新知
解：连接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， 知3－练 ∠ADC＝∠DCF＝90°，因为E为CD的中点，所以 DE＝CE.因为AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.
第二十二章 四边形
22.4 矩形
第1课时 矩形及其性质
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
矩形及其对称性 矩形的边角性质 矩形的对角线性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A D 如果
A
D
AB∥CD B
C
B
C 四边形ABCD
AD∥BC
▱ABCD
边
平行四边形的对边平行；
EBO＝FDO， 在△OEB与△OFD中，OB＝OD，
EOB＝FOD，
∴△OEB≌△OFD.
∴S阴影部分＝S△ABO＝
1 4
S矩形ABCD＝
1 4
×3×4＝3.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对 称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积 求解．体现了转化思想．
解：如图，在矩形ABCD中， AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°. ∴AC＝ AB2 BC2 42 52 41.
感悟新知
4. 如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF丄 CE，交AB于点F，DE=2. 矩影的周长为16，且 CE=EF. 求AE的长.
知3－练
感悟新知
解：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC， 知3－练 AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋ ∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝ ∠在∴D△△CAAEEE.FF和≌△△DDCCEE中，∴，AEEFAA＝＝＝ECFED＝CD，， ，设DCAEE，＝x， 则CD＝x，AD＝x＋2. ∵矩形的周长为16， ∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3. 即AE＝3.
知2－练
感悟新知
6.【中考·绍兴】在探索“尺规三等分角”这个数 知2－练 学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该 图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点， F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝ ∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( C ) A．7° B．21° C．23° D．24°
导引：由题意易得到△OEB≌△OFD， 将阴影部分的面积转化为规则 的几何图形的面积进行计算．
感悟新知
解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴由矩形中心对称的性质知S△EBO＝S△FDO，
∴阴影部分的面积为矩形面积的
1 .
∴S阴影部分＝S△ABO＝
1×3×4＝3.4 4
知1－讲
感悟新知
方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD， ∠EBO＝∠FDO.
感悟新知
归纳
知2－讲
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形， 矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此 有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等 腰三角形中来解决．
感悟新知
1 已知：如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接
BE，CE. 求证：△EBC是等腰三角形.
知2－练
解：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，
Leabharlann Baidu
感悟新知
1. 下列说法不正确的是( B ) A．矩形是平行四边形 B．矩形不一定是平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
知1－练
感悟新知
2. 【中考·菏泽】在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4， 知1－练 连接AC，BD，当▱ABCD的面积最大时，下列结
感悟新知
知3－练
1. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是 ___①__矩__形__的__四__个__内__角__都__是__直__角__；___________________ ___②__矩__形__的__两__条__对__角__线__相__等_____.
感悟新知
2. 如图，四边形ABCD为矩形，指 出图中相等的线段和角.
平行四
平行四边形的对边相等；
边形的 性质：
对角线 角
平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
课时导入
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此
平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性
质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平
行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行
知2－练
感悟新知
3. 如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的 一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接 AO，下列结论中不正确的是( A ) A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
知2－练
感悟新知
4.【中考·西宁】如图，点O是矩形ABCD的对
感悟新知
5. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长 线于点E.求证：BD=BE.
证明：在矩形ABCD中， AB∥CD，AC＝BD， 因为AB∥CE，BE∥AC， 所以四边形ABEC是平行四边形． 所以AC＝BE，又因为AC＝BD，所以BD＝BE.
角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若
OM＝3，BC＝10，则OB的长为( D )
A．5 B．4
34
C.
D. 34
2
知2－练
感悟新知
5. 【中考·安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD ＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处， AE交DC于点O. 若AO＝5 cm，则AB的长为( C ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
感悟新知
知3－练
9.【中考·兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC 与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝ 2 3， DE＝2，则四边形OCED的面积为( A ) A．2 3 B．4 C．4 3 D．8
感悟新知
10.【中考·宜宾】如图，点P是矩形ABCD的边 AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分 别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD 的距离之和是( A ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
解：相等的线段：AB＝CD，AD＝BC， AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD. 相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC， ∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC， ∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD， ∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.
知3－练
感悟新知
知3－练
3. 已知矩形ABCD的边AB=4，BC=5.求对角线AC 的长.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
感悟新知
归纳
矩形的对角线相等.
知3－讲
感悟新知
例 3 如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4 cm.求矩形对角线的长.
知2－讲
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.
感悟新知
知识点 3 矩形的对角线性质
知3－讲
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们 的长．你有什么发现? 已知：如图所示，四边形ABCD是矩形． 求证：AC=DB．
感悟新知
证明：∵四边形ABCD是矩形，
知3－讲
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
感悟新知
知1－讲
在这个过程中： (1)这个四边形总是平行四边形吗？ (2)当α =90°时，其余三个内角各是多少度的角？ (3)当α =90°时，两条对角线的长有什么关系？
感悟新知
归纳
知1－讲
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
感悟新知
特别解读：
知1－讲
1.矩形必须具备两个条件：
（1） 它是一个平行四边形；
四边形——矩形.
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角是 直角
矩形
感悟新知
知识点 1 矩形及其对称性
知1－讲
1. 如图，剪出一个矩形纸片ABCD ，点O是这个矩形
的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.
矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？
感悟新知
2. 四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长 知1－讲 保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使 一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角 α由钝角先变成直角，再变成锐角.
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.
∴∠AOB是等边三角形.
∴AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),
即矩形ABCD对角线的长为8 cm.
感悟新知
归纳
知3－讲
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的 对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可 得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形 的性质即可求解．
感悟新知
知2－讲
(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在 的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗?如果是，它 有几条对称轴？
(2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你 发现矩形的另外三个角有什么性质?证明你的结论．
感悟新知
归纳
矩形的四个角都是直角.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和 ∠EAO的度数．
∵E为AD的中点，∴AE＝DE，
AB＝CD， 在△ABE和△DCE中，A＝D， ∴△ABE≌△DCE. AE＝DE，
∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．
感悟新知
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， 对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分 别与AB，CD相交于点E，F，则图中阴影部分 的面积为____3____．
论正确的有( B ) ①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°； ③AC⊥BD；④AC＝BD. A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
感悟新知
知识点 2 矩形的边角性质
知2－讲
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形
的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
（2） 它有一个角是直角，这两个条件缺一不可
2.由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平
行四边形不一定是矩形 . 矩形的定义可以作为判定
一个四边形是矩形的一种方法 .
感悟新知
知1－讲
例 1 [一题多解]如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交 点O，分别交AB、CD于点E、F，若AB＝3，BC＝ 4，那么阴影部分的面积为___3_____．
知3－练
感悟新知
知3－练
6. 已知：如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4， P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂 足分别为E，F.求PE+PF的值.
感悟新知
解：连接PO，在矩形ABCD中，
AC＝BD＝ AB2 AD2 32 42 ＝S12△O5A.OAOD·A＝(P＝ESO△＋ADPO＝1PF2＋)＝12SA△12CDSO＝P△＝12ADB12C＝DO＝A12 ·52×PE. 12＋A12DO·DDC·P＝F3＝. 故PE＋PF＝ 5 .