等边三角形的性质 精品获奖教学课件
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第一章 三角形的证 明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角
形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问
题.(重点、难点)
导入新课
情境引入
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角 形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室 的三角架C=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB， ∴△BQC≌△CPB（SAS）． ∴BP=CQ. 还有其他 的结论吗?
议一议： 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 1 （1）如果∠ABD= ∠ABC ， 3 1 ∠ACE= ∠ACB， 3 那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE
变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成
“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还
能求出∠AEB的大小吗？ 方法与前面相同，
∠AEB=60°. C E
B
D
O
A
课堂小结
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰 上的中线的相关性质： 底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于60°.
例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中
线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. B
∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.C ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°.
课后作业
见《学练优》本课时练习
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附赠 中高考状元学 习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
A D
12
C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线． 求证: BM=CN． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 1 1 又∵CM= AC ，BN= AB ， 2 2 ∴CM=BN． N
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等， 那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
讲授新课
一 等腰三角形的重要线段的性质
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试 猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、 两腰上的中线有什么关系呢？ A A A 你能证明 E
D
N
M
Q
P
C
你的猜想 吗？
B
1 1 (1)如果AD= AC,AE= AB, 3 3
A E B D C
那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 1 1 (2)如果AD= AC,AE= AB, 4 4 那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 1 1 (3)如果AD= AC,AE= AB, n n 那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 由此你能得到一个什么结论?
曹杨二中高三(14)班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：北京 大学中文系 高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分 575分 (另有附加分10 分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵” 总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
定理证明
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于60°. 已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A
证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， C B ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°．
D
E
A
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
当堂练习
1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的 周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 12 cm.
A
D B E C
2.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形， 连接AN、BM，求证：AN=BM. 证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， A ∴∠1＝∠3＝60°， ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2， 即∠ACN＝∠MCB. ∵CA＝CM，CB＝CN， ∴△CAN≌△CMB(SAS)， ∴AN＝BM.
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
A M
B
C
在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等． A 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 Q △ABC两腰上的高． 求证: BP=CQ． B 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 在△BMC与△CNB中，
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
N M
1
2
3
B
C
3.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个 全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C ∵△OAB和△OCD是两个 E 解： 全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, B
F
D
∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三点共线，
A O ∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ ∠ AEB = ∠ AOB =60 ° . ∴ △COA ≌△DOB(SAS).
这里是一个由 特殊结论归纳 出一般结论的 一种数学思想 方法.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
二 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三 角形的内角有什么特征呢？
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于60°. 可以利用等腰 三角形的性质 进行证明. 怎样证明这 一定理了？
C B
CB
猜想：底角的两条平分线相等； •两条腰上的中线相等； •两条腰上的高线相等.
猜想证明
例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等． 已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的 角平分线．
求证: BD=CE.
E
A
D
12
B
C
证明： ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 ∠2= ∠ACB(已知), 又∵∠1= 2 ∠ABC， 2 ∴∠1=∠2(等式性质)． 在△BDC与△CEB中， ∠DCB=∠ EBC（已知）， BC=CB（公共边）， ∠1=∠2（已证）， ∴ △BDC≌△CEB（ASA）． E B
A E
B
1 n
D C
（2）如果∠ABD= ∠ABC ，
1 ∠ACE= ∠ACB 呢? 4
1 4
BD=CE
如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= 1 ∠ACB ， 那么
n
由此你能得到一个什么结论BD ? =CE吗? BD=CE 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角
形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问
题.(重点、难点)
导入新课
情境引入
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角 形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室 的三角架C=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB， ∴△BQC≌△CPB（SAS）． ∴BP=CQ. 还有其他 的结论吗?
议一议： 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 1 （1）如果∠ABD= ∠ABC ， 3 1 ∠ACE= ∠ACB， 3 那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE
变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成
“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还
能求出∠AEB的大小吗？ 方法与前面相同，
∠AEB=60°. C E
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课堂小结
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰 上的中线的相关性质： 底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于60°.
例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中
线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. B
∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.C ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°.
课后作业
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附赠 中高考状元学 习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
A D
12
C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线． 求证: BM=CN． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 1 1 又∵CM= AC ，BN= AB ， 2 2 ∴CM=BN． N
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等， 那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
讲授新课
一 等腰三角形的重要线段的性质
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试 猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、 两腰上的中线有什么关系呢？ A A A 你能证明 E
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你的猜想 吗？
B
1 1 (1)如果AD= AC,AE= AB, 3 3
A E B D C
那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 1 1 (2)如果AD= AC,AE= AB, 4 4 那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 1 1 (3)如果AD= AC,AE= AB, n n 那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 由此你能得到一个什么结论?
曹杨二中高三(14)班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：北京 大学中文系 高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分 575分 (另有附加分10 分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵” 总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
定理证明
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于60°. 已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A
证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， C B ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°．
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∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
当堂练习
1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的 周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 12 cm.
A
D B E C
2.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形， 连接AN、BM，求证：AN=BM. 证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， A ∴∠1＝∠3＝60°， ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2， 即∠ACN＝∠MCB. ∵CA＝CM，CB＝CN， ∴△CAN≌△CMB(SAS)， ∴AN＝BM.
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
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在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等． A 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 Q △ABC两腰上的高． 求证: BP=CQ． B 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 在△BMC与△CNB中，
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
N M
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C
3.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个 全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C ∵△OAB和△OCD是两个 E 解： 全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, B
F
D
∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三点共线，
A O ∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ ∠ AEB = ∠ AOB =60 ° . ∴ △COA ≌△DOB(SAS).
这里是一个由 特殊结论归纳 出一般结论的 一种数学思想 方法.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
二 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三 角形的内角有什么特征呢？
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于60°. 可以利用等腰 三角形的性质 进行证明. 怎样证明这 一定理了？
C B
CB
猜想：底角的两条平分线相等； •两条腰上的中线相等； •两条腰上的高线相等.
猜想证明
例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等． 已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的 角平分线．
求证: BD=CE.
E
A
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B
C
证明： ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 ∠2= ∠ACB(已知), 又∵∠1= 2 ∠ABC， 2 ∴∠1=∠2(等式性质)． 在△BDC与△CEB中， ∠DCB=∠ EBC（已知）， BC=CB（公共边）， ∠1=∠2（已证）， ∴ △BDC≌△CEB（ASA）． E B
A E
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D C
（2）如果∠ABD= ∠ABC ，
1 ∠ACE= ∠ACB 呢? 4
1 4
BD=CE
如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= 1 ∠ACB ， 那么
n
由此你能得到一个什么结论BD ? =CE吗? BD=CE 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。