勃利县高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

勃利县高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，
则n =（ ）
A ．35
B ． 36
C ．120
D ．121
2．
已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12
x π=-
B ．12
x π=
C ．6
x π
=-
D ．6
x π
=
3． 随机变量x 1～N （2，1），x 2～N （4，1），若P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），则a=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，
N ，P 的关系（ ）
A ．M P N =⊆
B ．N P M =⊆
C ．M N P =⊆
D ．M P N ==
5． “3<-b a ”是“圆05622
2=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．
6． 如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
7． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，0
90ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
8． 已知函数
，，若，则（ ）
A1 B2 C3 D-1
9． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{2,1,1}--
B ．{1,1,2}-
C ．{1,1}-
D ．{2,1}--
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
10．487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
11．二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力． 12．执行如图的程序框图，则输出的s=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．给出下列命题：
①存在实数α，使
②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β
其中正确命题的序号是 ．
14．= ．
15．函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 ▲ ． 16．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）
已知椭圆C A 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的 动点，且PA PB 的最小值为-2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆
C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.
18．（本小题满分10分）
已知曲线22
:149x y C +=，直线2,:22,x t l y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与夹角为30的直线，交于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
19．已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，设F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，
过F 2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M ，N 两点，直线F 1M ，F 1N 分别与直线x=4相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求△F 2PQ 面积的最小值．
20．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=
，g （x ）=
，其中n ∈N *
（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及函数g （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
21．（本题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，E 是棱CD 上的一点，P 是棱1AA 上的一点.
（1）求证：⊥1AD 平面D B A 11； （2）求证：11AD E B ⊥；
（3）若E 是棱CD 的中点，P 是棱1AA 的中点，求证：//DP 平面AE B 1.
22．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
勃利县高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴2
44(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得
n a =
111
2n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n
项和为
1111
1)(1)52222
n +++==，∴120n =，选C ． 2． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令
2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 3． 【答案】C
【解析】解：随机变量x 1～N （2，1），图象关于x=2对称，x 2～N （4，1），图象关于x=4对称， 因为P （x 1＜3）=P （x 2≥a ）， 所以3﹣2=4﹣a ， 所以a=3， 故选：C ．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.
考点：两个集合相等、子集．1 5． 【答案】A
【解析】
6．【答案】B
【解析】
中，则PA与BC、PC与AB、PB与AC都是异面直线，所以共有三对，故选试题分析：三棱锥P ABC
B．
考点：异面直线的判定．
7．【答案】A
【解析】
考点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.
8．【答案】A
【解析】g（1）=a﹣1，
若f[g（1）]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，
解得a=1
9． 【答案】C
【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B ={1,1}-，故选C ．
10．【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣
+…+
﹣1，
∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7）， ∴a=6，
∴
展开式的通项为T r+1=
，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴
展开式中x ﹣3
的系数为
=﹣4320，
故选：B ．. 11．【答案】B
【解析】因为(1)(N )n x n *+?的展开式中3
x 项系数是3C n ，所以3
C 10n =，解得
5n =，故选A ． 12．【答案】 B
【解析】解：由题意，模拟执行程序，可得 α=12°，s=1 s=cos12°，α=24°
不满足条件α＞180°，s=cos12°cos24°，α=48°， 不满足条件α＞180°，s=cos12°cos24°cos48°，α=96°， 不满足条件α＞180°，s=cos12°cos24°cos48°cos96°，α=192°，
满足条件α＞180°，退出循环，输出s=cos12°cos24°cos48°cos96°，α=192°， 由于s=cos12°cos24°cos48°cos96° =﹣sin6°cos12°cos24°cos48°
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
．
故选：B ．
【点评】本题主要考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用，考查诱导公式及二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，此题的突破点是分子变形后给分子分母都乘以16cos6°以至于造成了一系列的连锁反应，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①∵sin αcos α=sin2α∈[，]，∵
＞，∴存在实数α，使
错误，故①
错误，
②函数=cosx 是偶函数，故②正确，
③当
时，
=cos （2×
+
）=cos π=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=
，β=
，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
14．【答案】 2 ．
【解析】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
15．【答案】()()1,11,-⋃+∞
考点：定义域 16．【答案】3
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）22
142
x y +=；（2）22[2,7)F M F N ∈-. 【解析】
试
题解析：（1）根据题意知c a =，即2212c a =，
∴222
1
2a b a -=，则222a b =， 设(,)P x y ，
∵(,)(,)PA PB a x y a x y =-----，
222
2
2
2
2
2
21()222
a x x a y x a x a =-+=-+-=-，
∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2
min ()22
a PA PB =-=-， ∴24a =，则2
2b =.
∴椭圆C 的方程为22
142
x y +=. 11
11]
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12x x +=，21224(1)12k x x k -=+，
∵211(2,)F M x y =-，222()F N x y =，
∴222121212)2(F M F N x x x x k x x =+++
2221212(1))22k x x x x k =+++++ 222
2
224(1)42(1)2(1)2212k k k k k k --=++-+++ 2
9
712k
=-+. ∵2
121k +≥，∴2
10112k <
≤+. ∴2
9
7[2,7)12k -
∈-+.
综上知，22[2,7)F M F N ∈-.
考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
18．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，26y x =-+；（2.
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
.当sin()1θα+=时，||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，
∴
，解得a 2=4，b 2
=3，
∴椭圆C 的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN 的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆
，化简，得（3t 2+4）y 2
+6ty ﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），
∴=||=15×||=180×||，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y==在[1，）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
x g x g x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.
22．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点． 【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：2
41
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意 所以 2a = ………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)22ln 6m x x x x =--+
所以(
)
)(
)1222
221x m x x x x
=--+==′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m
所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分 32
41-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424
8
12(21))0e e e m e e -++-=>（
44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。