广东省汕头市龙湖区2020年中考模拟考试数学试题(含答案)

2020年中考模拟考试试卷
数 学
请将答案填涂在答题卡相应的位置上
考试说明：时间90分钟，满分120分
一、选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分) 1．下列各数中，是无理数的一项是(▲) A ．0
B ．﹣1
C ．0.101001
D ．39
2．由5个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，其主视图是(▲)
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列运算正确的是(▲) A ．2x +3y ＝5xy
B ．5x 2•x 3＝5x 5
C ．4x 8÷2x 2＝2x 4
D ．(﹣x 3)2＝x 5
4(▲) A ．
B ．
C ．
D ．
5．以方程组2
1
y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是(▲)
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 6．如图，直线1l 、2l 被直线3l 所截，下列选项中不能得到1l ∥2l 的是 (▲)
A ．∠1＝∠2
B ．∠2＝∠3
C ．∠3＝∠5
D ．∠3+∠4＝180°
第2题图
A
B
E
F
G
H
第6题图
第8题图
7．甲、乙、丙三个游客团的年龄的方差分别是
2S 甲＝1.4，2S 乙
＝18.8，2
S 丙＝2.5，导游小方最
喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个游客团中选择一个，则他应选(▲) A ．甲队 B ．乙队
C ．丙队
D ．哪一个都可以
8．如图，PA ，PB 切⊙O 于点A ，B ，点C 是⊙O 上一点，且∠P =36°，则∠ACB =(▲) A ．54 B ．72 C ．108 D ．144 9．如图，若ab <0，则正比例函数y ax =与反比例函数b
y x
=在同一坐标系的大致图象可能是(▲)
A
B
C
D
10．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，
连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长于点Q ，下列结论正确的有(▲)个． ①AE ⊥BF ； ②QB ＝QF ；
③AG 4
FG 3=； ④S ECPG ＝3S △BGE A ．1
B ．4
C ．3
D ．2
二、填空题(本大题共7题，每题4分，共28分) 11．4的算术平方根是 ▲
12. 我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于2019年2月5日在我国内地上映，自上映以来
票房累计突破46.7亿元，将46.7亿元用科学记数法表示为 ▲ 13．因式分解：39m n mn
▲
142(b 4)0+=，那么点(a ,b )关于原点对称点的坐标是 ▲
15．如图，在正六边形ABCDEF 的外侧，作正方形EFGH ，则∠
D 、
B 、
A 、
x
x
x
x
第10题图
第15题图
第16题图
第17题图
16．如图，两个直角三角板ABC 与CDE 按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠D=30°，∠ACB=∠ECD=30°，3AC
CE
，且A 、C 、D 共线，将DCE ∆沿DC 方向平移得到D C E '''∆，
若点E '落在AB 上，则平移的距离为 ▲ ．
17．如图，AC ⊥BC ，AC =BC =2，以BC 为直径作半圆，圆心为O ，以点C 为圆心，BC 为半径作
弧AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则阴影部分的面积是 ▲ .
三、解答题(一)(本大题共3题，每题6分，共18分) 18
．011
2)()4cos3044
-+-+--
19．化简求值：
212
(1)211
x x x x
+÷+-+-，其中x =20．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°．
(1)(3分)用直尺和圆规作AB 边上的垂直平分线DE ，
交AC 于点D ，交AB 于点E ．(保留作图痕迹， 不要求写作法和证明)
(2)(3分)在(1)的条件下，连接BD ，求证：DE =CD
四、解答题(二)(本大题共3题，每题8分，共24分)
21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某
中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)
(1)(2分)表中m ＝ ▲ ，n ＝ ▲ ；
第20题图
(2)(2分)请在图中补全频数直方图； (3)(2分)甲同学的比赛成绩是40位参赛
选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 ▲ 分数段内；
(4)(2分)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各2人，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，恰好是一名男生和一名女生的概率是 ▲ ．
22．如图所示，要在某东西走向的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，在公路起点A 处测得某
农户C 在A 的北偏东68°方向上．在公路终点B 处测得该农户C 在点B 的北偏西45°方向上．己知A 、B 两地相距2400米．
(1)(4分)求农户C 到公路AB 的距离；(参考数据：sin 22°≈3，cos 22°≈15，tan 22°≈2)
(2)(4分)现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计 划提前4天完成，需将该工程原定的工作效率提高20%， 求原计划该工程队毎天修路多少米？
23. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，
对角线AC 、BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过 点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ．连接OE ． (1)(4分)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)(4分)若AB
．OE ＝2，求线段CE 的长．
五、解答题(三)(本大题共2题，每题10分，共20分)
24．如图，在⊿ABC 中，AB =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AC 于
点D ，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ， (1)(3分)求证：ED 是⊙O 的切线； (2)(3分)求证：2DE BF AE =⋅； (3)(4分)
若DF =2
cos 3
A =，求⊙O 的直径．
第23题图
第24题图
25. 如图，抛物线215
222
y x x =-+-与轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，四边形OBHC 为
矩形，CH 的延长线交抛物线于点D (5，－2)，连接
BC 、AD ．
(1)(3分)将矩形OBHC 绕点B 按逆时针旋转90°后，再 沿轴对折到矩形GBFE (点C 与点E 对应，点O 与点G 对应)， 求点E 的坐标；
(2)设过点E 的直线交AB 于点P ，交CD 于点Q ．
①(3分)当四边形PQCB 为平行四边形时，求点P ②(4分)是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ADCB 的面积为 1∶3两部分？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
2020年中考模拟考试
数学参考答案
一、选择题(每题3分，共计30分)
二、填空题(每题4分，共计28分)
11．
2 ； 12． 4.67×109 ； 13． mn (m +3)(m －3) ； 14. (-3,4) ； 15. 75 °
；
16
； 17.
512π . 三、解答题(一)(每题6分，共计18分) 18、解：原式=1(4)4(4+-+- ………………4分
=34-+-+ =7
………………6分
19、解：原式 2112
()
(1)11x x x x x +-=
÷+---
211
(1)1x x x x ++=
÷--
………………2分
1
1x =
-
………………4分
2
1
313131
31313+=+-+=-=
=）
）（（时，原式当x ………6分 20．解：(1)如图(1)，DE 为所作； (无写结论扣1分)
………………3分
(2)∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB
∴∠A=∠DBA=30°…………………………4分∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
∴∠CBA=90°—∠A=60°
∴∠CBD=∠CBA—∠DBA=30°
即BD平分∠CBA…………………………5分又∵DE⊥AB，∠C=90°
∴DE=DC…………………………6分四、解答题(二) (每题8分，共计24分)
21．(1)m=8，n=0.35 (每空1分) …………………………2分
(2)频数分布直方图略(频数为8) …………………………4分
(3)84.5~89.5 …………………………6分
(4)2
3
…………………………8分
22．解：(1)如图，过C作CH⊥AB于H．…………………………1分设CH＝x，
由已知∠EAC＝68°，∠FBC＝45°，
则∠CAH＝90°－68°=22°，∠CBA＝90°－45°=45°．
在Rt△BCH中，BH＝CH＝x，
在Rt△HBC中，tan∠HBC＝，
∴HB＝＝，……………………………2分
∵AH+HB＝AB，
∴x+x＝2400，
解得x＝(米)，
∴农户C到公路AB的距离米．………………………………4分
(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要(y﹣4)天．
根据题意得：＝(1+20%)×，
解得：y＝24．
经检验知：y＝24是原方程的根，且符合题意…………………………6 分
2400÷24＝100(米)．
答：原计划该工程队毎天修路100米．………………………………8分23．解：(1)∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，……………………………2 分
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；…………………………4 分
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC＝2，
∴OB＝＝1，…………………………5分
∵∠AOB＝∠AEC＝90°，
∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，……………………………6 分
∴，
∴＝，
∴CE＝．……………………………8 分五、解答题(三) (每题10分，共计20分)
24．(1)证明; 连接BD…………………1分
∵BC为圆O的直径
∴∠BDC＝90°
∵BA=BC
∴AD=CD
∵O是BC中点
∴OD为△ABC的中位线…………………2 分
∴OD//AB
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD
∴DE为圆O的切线…………………3 分
(2)证明：∵BA=BC，BD⊥AC
∴BD平分∠ABC
∴DE=DF…………………4 分
∵∠ADE+∠BDE=90°, ∠BDO+∠BDE=90°
∴∠ADE=∠BDO
∵OB=OD
∴∠OBD=∠BDO
∴∠ADE=∠OBD
∴△ADE～△DBF …………………5 分
DE AE
∴=
BF DF
DE AE
∴=
BF DE
2
DE BF AE
∴=⋅…………………6分
(3)解; ∵∠A=∠C
2
cos cos 3
A C ∴==
在Rt △CDF 中，2
cos 3
CF C DC =
= 设CF =2x ,则DC =3x …………………7 分
DF ∴==
=
3x ∴=
∴DC =9 …………………9分 在Rt △CDB 中，2
cos 3
CD C BC =
= 327
922
BC ∴=⨯=
即圆O 的直径为27
2
…………………10 分 25．解：(1)令y =0，得
022
5
212=-+-x x ， 解得x 1=1，x 2=4， ∴A (4，0)，B (1，0)，
∴OA =4，OB =1． …………………2分 由矩形的性质知：CH =OB =1，BH =OC =2，∠BHC =90°， 由旋转、对折性质可知：EF =1，BF =2，∠EFB =90°，
∴E (3,1) ． …………………3分 (2)①设P (m ，0)，
∵四边形PQCB 为平行四边形，BP ∥CQ ， ∴BC ∥PQ ，
∴2==CH BH PF EF , …………………4分 ∴231=-m ,解得：25=m ， ∴P (2
5
，0)． …………………6分
②存在．
11 设点P (n ，0)，延长EF 交CD 于点R ，
易得OF =CR =3，PB =n －1．
∵S 梯形BCRF =5，S 梯形ADRF =3，记S 梯形BCQP =S 1，S 梯形ADQP =S 2， 下面分两种情况：
第一种情况，当S 1：S 2=1：3时，()
2223541
1=⨯+⨯= S ＜5，
∴此时点P 在点F (3,0)的左侧，则PF =3－n ，
由△EPF ∽△EQR ，得31
==ER EF
QR PF
,
则QR =9－3n ， …………………7分 ∴CQ =3n －6，由S 1=2，得()2263121
=⨯-+-n n , 解得49
=n ； …………………8分
∴点P 的坐标为(49
，0)
第二种情况，当S 1：S 2=3：1时，()
62235432=⨯+⨯= S ＞5，
∴此时点P 在点F (3,0)的右侧，则PF = n －3，
由△EPF ∽△EQR ，得QR =3n －9， …………………9分 ∴CQ =3n －6，由S 1=6，得()6263121
=⨯-+-n n , 解得413
=n ．
∴点P 的坐标为(413
，0) …………………10分
综上所述，所求点P 的坐标为(49，0)或(413
，0)．。