2014年高考数学最后一卷

2014年宣城二中高考最后一卷
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、A ，B 是ABC ∆的两个内角，则“sin sin A B >”是“cos cos A B <”成立的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、随机变量ξ服从正态分布N （2，a ²），且P （ξ<3）=0.8，则P （1<ξ<3）=（ ） A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
3、以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，
圆的参数方程为2cos (sin x y θ
θθ
=+⎧⎨
=⎩为参数）
，则圆上点到直线L 的距离的最大值为 （ ）
A.
B.
1 C.
1 D.2
4、P 是ABC ∆所在平面内一点，若3
CA PA PB λ=+,其中R λ∈，则P 点一定在 （ ） A. ABC ∆内部 B. BC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D. AC 边所在直线上
5、已知函数()f x 的定义域为R, 21,0,
()(1),0,
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+恰有两不等的实根，则实
数a 的取值范围是 （ ） A. a <1 B. 1a ≤ C.（0,1） D.R
6、已知复数1cos11sin11z i =+和复数2cos49sin 49z i =+，则12·z z = （ ）
A.
122i + B. 122+ C. 122i - D. 1
22
i - 7、设函数12
()2f x x x =+-，则(1)y f x =-的单调减区间为 （ ）
A. (1,2)-
B. (1,2)-
C. (,1)-∞-
D. (2,)+∞
8、已知等比数列{}n a ，且46a a +=⎰，则5357(2)a a a a ++的值为 （ ）
A. 2
π B.4 C.
π D. 9π-
9、设12,F F 分别是椭圆2
2
2:1(01)y E x b b
+=<<的左，右焦点，过1F 的直线l 与
E 相交于A ，B 两点， 且22,,A
F AB BF 成等差数列，则AB = （ ） A.
23 B.1 C. 43 D. 53
10、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，时间A=“取到的两个数之和为奇数”，事件B=“取到的两个数中 有一个为2”，则()P B A = ( ) A.
13 B. 14 C. 25 D. 12
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷的相应位置）
11、一个空间几何体的三视图及部分数据，如图所示，则这几个几何体的体积是 ．
12、已知函数()ln lg 1007f x m x n x =++，且(2014)0f =，则1
(
)2014
f = ．
13、如图，是一程序框图，则输出结果为K= ，Ｓ＝ ．
14、已知不等式组1,20,0,x x y kx y ≥-⎧⎪
--≤⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域为P,其中0k ≥，则P 的面积最小值是 ，
此时k 的值为 ．
15、判断下列命题的真假，其中假命题有 ． ①向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；
②如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ③“A=B ”是“tan tan A B =”的既不充分也不必要条件；
④线性回归直线y bx a =+恒过样本中心点(,)x y ，且至少过一个样本点；
⑤方程13
1()02x
x -=在区间11(,)32
内有根．
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16、（本小题满12分）
2013年11月在广东等地发现H7N9疑似患者，已知5名发热感冒的患者中，有1人被H7N9禽流感病毒 感染，需要通过化验血液来确定谁是H7N9禽流感患者，血液化验结果呈阴性的即为普通感冒患者，呈阳 性的即为禽流感患者．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，知道能确定禽流感患者为止；
方案乙：先任选3人，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性，则表明禽流感患者在他们3人之中， 然后在逐个化验，直到确认禽流感患者为止；若结果呈阴性，则在另外2人中任选1人化验.
（1） 若采用方案乙，求所需化验次数恰好为2的概率；
（2） 是比较两种方案，哪种方案更有利于尽快查找到禽流感患者.
18、（本小题满分13分）如图，将x 轴正半轴绕原点O 逆时针旋转120°得到射线t ，点A 在射线t 上，且
OA =B 在x 轴上.若动点P 满足·
0PB BO =,且·PA PB ，1·2AO AP ，21
2
AB 成等差数列. （1） 问动点P 的轨迹C 是什么曲线？
（2） 设12M M 、是曲线C 上两个不同点，且12M M 、的纵坐标之和为1，
记u 为12M M 、的横坐标之积.问是否存在最小的常数m ，使u m ≤恒成立？ 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
19、(本小题满分12分)
已知向量(,cos ),(cos ,3cos )(0)m sia x x n x x ωωωωω==>，函数3
() f x m n =-，且f(x)图像上一个最高点的坐标为(
,1)24
π
，与之相邻的一个最低点的坐标为7(
,1)24
π
-。

(1)求f(x)的解析式与单调减区间；
(2)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且acosB-bcosA=1
2
c ,当tan （A —B ）取最大值时，
求()f c .
20、（本小题满分13分）
设111222333,,,A B C A B C A B C ∆∆∆…,n n n A B C ∆…是坐标平面上的一列正三角形，它们的底边
112233,,,B C B C B C …n n B C
…都在x 的正半轴上，且顶点123,,,A A A …n A ，…都在斜率为
3
的直线上，对每一个正整数n,B 1与原点O 重合，B 2与C n-1，…，以a n 表示n n n A B C ∆的边长，已知{}n a 为递增数列且
12a =.
（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n b 满足23,(),1,(),2
n n n n b a n -⎧⎪
=⎨⎪⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前n 项和S
答案解析
17、解析：（1）依方案乙化验2次化验出结果，有两种可能：
①先化验3人，结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中，此时概率为2
43511
35
c c ⨯=；
②先化验3人，结果为阳性，再从其他2人中任选1人化验（无论第二次是否验中均结束），
则概率为2
4352
5
c c =．
若采用方案乙，则所需化验次数恰好为2的概率为123
555+=． ……6分
（3） 设方案甲化验的次数为η，则1411
(1),(2)5545
P P ηη====⨯=,
43114322
(3),(4)54355435P P ηη==⨯⨯===⨯⨯=，
故111214
123455555
E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……9分
设方案乙化验的次数为ξ，则ξ=2,3，由（1）知332
(2),(3)1555
P P ξξ====-=，
故3212
23555
E ξ=⨯+⨯=，可得E E ηξ>,即方案乙化验次数的期望值较小，方案乙更有利于尽快查找到
禽流感患者． ……12分
18、解：（1）设, (,),P x y ·0,PB BO =PB BO ∴⊥,
故(,0),().22
B x A -
262(,),(0,),
(,2222
PA x y PB y AO =-
--=-=-
·()2PA PB x y ∴=-
-
2·(0,)
,y y y -=-·
·AO AP AO
PA =-
=
,)x y +
,2x y +
，222
3(2,
2AB x x
=+=+由已知 2
2
422y x +=++，整理得：2
212
x y +=，∴点P 的轨迹是焦点在x 轴上
的椭圆．
……6分 （3）
若直线12M M 、不平行于y 轴，则1
1),2M 2
1)2M -或11(),2M 21(),2
M -
3
2u ∴=，若直线12M M 、不平行于y 轴，设过12M M 、两点的直线方程为,y kx b =+由2222,,
x y y kx b ⎧+=⎨
=+⎩得222(12)4220,k x kbx b +++-=2222164(12)(22)0,k b k b ∆=-+->即22(12)0,k b +->①
设111222(,),(,),M x y M x y 则2121222
422
,,1212kb b x x x x k k -+=-=++121222()2,12b y y k x x b k ∴+=++=+ 由已知2221122,12b k b k =⇒+=+代入①得：2
20,b b ->即0 2.b <<212
221.2b u x x b b b -===- 2110,u u b '=+
>∴在（0,2）上是增函数，132,22u ∴<-=故存在3
2
m =使u m ≤成立．……13分
19、解析：（1）
3
(),f x
m n =⋅
-
2()cos sin(2)3f x sinwx wx wx π∴=⋅=+， 72(),224242T w πππ=⨯-=∴=，()sin(4)3f x x π∴=+，令3242232
k x k πππ
ππ=≤+≤+， 724
2242k k x π
πππ∴
+
≤≤+，()f x ∴单调减区间为7,()242242k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
……6分 （2）由正弦定理可得1s i n c o s
s i n c o s s i n 2A
B B A
C -=，
1
sin()sin 2
A B C ∴-=，1
sin()sin()2
A B A B ∴-=+，sin cos 3cos sin A B A B ∴=，tan 0,tan 0,tan 3tan ,A B A B ∴>>=
2tan tan 2tan tan().1tan tan 13tan A B B A B A B B
-∴-==++2
tan 0,tan().13tan tan B A B B B
≠
∴-=+
当tan B =
即,,tan()632B A C A B A B ππππ===--=-
时，
取最大值， 此时()()sin(4)2
23f c f ππ
π==⨯
+=
……13分
（20）、证明：（1
）由题可知：
1113()22n n n n n n a a a a a a ++++=+=-， 即12,n n a a +=又0,n a >故数列{}n a 为公比q=2的等比数列． ……5分
（2）12a =，由（1）知{}n a 为等比数列，1
1
122
2n n n
n a a q
--∴==⨯=，123,(),
2,()n n n n b n --⎧∴=⎨⎩为偶数.为奇数，
当2,(),n k k N *=∈242221(223)2(243)22(223)k k S k -=+⨯-++⨯-++⋅⋅⋅++⨯-
242212224(12)3k k k +=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅-
214(1)41432.14233
k k k k k k k -+=+⨯-=+--- ……9分 当21,()n k k N *
=-∈，2
2122412(223)33k k k k s s b k k k -=-=+---⨯-24825.33
k k k =+-+ 综上：2
2412,(2,),33
4825,(21,),3
3k n k
k k n k k N s k k n k k N **⎧+--=∈⎪⎪=⎨⎪+-+=-∈⎪⎩ ……13分。