教科版物理 必修一 第四章 物体的平衡6 应用相似三角形法解决动态平衡问题(讲义)

重点：掌握利用相似三角形法解决动态平衡问题的方法。

难点：图解法和相似三角形法使用条件的区别。

1. 相似三角形法则概述
相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例，求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

2. 适用条件
往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常用到的一种方法，解题的关键是正确地进行受力分析，寻找力的三角形和几何三角形的相似关系。

3. 和图解法的区别
图解法：三个力，一力为恒力，一力大小方向变，一力仅大小变。

相似三角形法：三个力，一力为恒力，其余两个力方向都变。

例题1 半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）
A. N 变大，T 变小
B. N 变小，T 变大
C. N 变小，T 先变小后变大
D. N 不变，T 变小
思路分析：如图2所示，对小球：由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢，视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图2中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其他条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：
可得：mg R
h L T += 运动过程中L 变小，所以T 变小。

mg R
h R N += 运动中各量均为定值，所以支持力N 不变。

正确答案为D 。

答案：D
例题2 一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图所示。

现将细绳缓慢往左拉，
使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是（ ）
A. F N 先减小，后增大
B . F N 始终不变 C. F 先减小，后增大 D. F 始终不变
思路分析：取杆BO 的B 端为研究对象，其受到绳子拉力（大小为F ）、杆BO 的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G ）的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图所示：
将代表三个力的有向线段构成一个封闭的矢量三角形（如图中阴影部分），其中F N 、F 方向均改变，G 是不变的，力的三角形与几何三角形OBA 相似，利用相似三角形对应边成比例可得： l
F L F H
G N ==（设AO 高为
H ，BO 长为L ，绳长为l ），式中G 、H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小。

答案：B
【方法提炼】图解法在求极值中的妙用：图解法直观地显示了各个力的变化过程，所以变化的力的极值就直接暴露出来。

例题 如图所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态。

若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小（ ）
A. 可能为
3
3mg B. 可能为25mg C. 可能为2mg D. 可能为mg
答案：BCD 思路分析：对A 、B 两球整体受力分析，受重力G=2mg ，OA 绳子的拉力T 以及拉力F ，三力平衡，将绳子的拉力T 和拉力F 合成，其合力与重力平衡，如下图所示，当拉力F 与绳子的拉力T 垂直时，拉力F 最小，最小值大小为2mgsin30°，即mg ；由于拉力F 的方向不确定，所以拉力F 的最大值理论上可以取任意值。

B 、C 、D 的值都大于mg ，所以都有可能。

故选BCD 。